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1、1,第2部分有限元分析及应用 Finite Element Analysis and Applications,泵凯咨诈侨酵宙恳秘桌蔫给见躁足陇邑里病淮衡嘻会倒渡折靠澈邓肖飘达第6章有限元法绪论已排ppt课件第6章有限元法绪论已排ppt课件,2,第6章有限元法的基本概念,密招轮视匝宠战扁涯各彦龟枢急粮举倔寇河法氟诫萎糖郁茅峪查刊殃刮催第6章有限元法绪论已排ppt课件第6章有限元法绪论已排ppt课件,3,在工程技术领域内，经常会遇到两类典型的问题。第一类问题，可以归结为有限个已知单元体的组合。例如，材料力学中的连续梁、建筑结构框架和桁架结构。这类问题称为离散系统。如下图所示平面桁架结构，是由6个
2、承受轴向力的“杆单元”组成。,6.1工程和科学中典型问题,稳陵询受粱蝇宁歪维鲍览悟磺佬怔狱豁豺磨帛磷沾伦衙雏峭秽缮烧萌童送第6章有限元法绪论已排ppt课件第6章有限元法绪论已排ppt课件,4,第二类问题，通常可以建立它们应遵循的基本方程，即微分方程和相应的边界条件。例如弹性力学问题，热传导问题等。由于建立基本方程所研究的对象通常是无限小的单元，这类问题称为连续系统，或场问题。,尽管已经建立了连续系统的基本方程，由于边界条件的限制，通常只能得到少数简单问题的精确解答。对于许多实际的工程问题，还无法给出精确的解答。为解决这个困难，工程师们和数学家们提出了许多近似方法。,6.1工程和科学中典型问题,
3、亏砚泽朵搀曙勒厘扦例救僳份耕栖兰铀杏铜麓向狼办暴惰砚豌袋钩幕食妒第6章有限元法绪论已排ppt课件第6章有限元法绪论已排ppt课件,5,6.2场问题的一般描述,实例：二维热传导（稳态）问题,原理：从两个方向传入微元体的热量与微元体内热源产生的热量Q平衡,基本方程： 边界条件：,贷弗很钮蹋强膜淮异淆板趣贼尽渝酮贩没卜刹拾肝肘勤相睛布才讲得灰饵第6章有限元法绪论已排ppt课件第6章有限元法绪论已排ppt课件,6,6.3场问题的求解策略及方法,6.3.1求解策略 1、直接法：求解基本方程和相应定解条件的解； 2、间接法：基于变分原理，构造基本方程及相应定解条件的泛函形式，通过求解泛函的极值来获得原问题
4、的近似解。即将微分形式转化与其等价的泛函变分的积分形式。 6.3.2求解方法 1、解析或半解析法： 2、数值法： A）基于直接法的数值法，如差分法； B）基于间接法的数值法，如等效积分法（如里兹法）、有限元法等。,率狐鲁能汰亚速础蛙淬恨途诗渠赦虾丹享编刽喊崖寄拭残唇乡理贴悸刃注第6章有限元法绪论已排ppt课件第6章有限元法绪论已排ppt课件,7,数值计算方法分类,旨饶皆峦缄稠追邵熊稍酗捎铆粟贩尸蛆啊抽召滞稼够霍谐各脑鲍骚映因户第6章有限元法绪论已排ppt课件第6章有限元法绪论已排ppt课件,8,先将求解域离散为有限个单元，单元与单元只在节点相互连接；-即原始连续求解域用有限个单元的集合近似代替
5、 每个单元选择一个简单的场函数近似表示真实场函数在其上的分布规律，该简单函数可由单元节点上物理量来表示-通常称为插值函数或位移函数 基于问题的基本方程，建立单元节点的平衡方程（即单元刚度方程） 借助于矩阵表示，把所有单元的刚度方程组合成整体的刚度方程，这是一组以节点物理量为未知量的线形方程组，引入边界条件求解该方程组即可。,6.4有限元法基本思想,幌祷泞第囤今默炒绘勾苦滨藩阵澈原锥吠平查沛铀殖业戴灿见勤路呈澈孽第6章有限元法绪论已排ppt课件第6章有限元法绪论已排ppt课件,9,有限元法基本思想,谊阁骄软亲谓瓣掖驼孕朗砷棱蒸词辜脊冠疽虱埠脉绒箭锁劫斯猩凳螺夸坍第6章有限元法绪论已排ppt课件第
6、6章有限元法绪论已排ppt课件,10,节点位移向量表示： 节点力向量表示： 节点1沿x方向的位移 、其余节点位移全为0时轴向压力为：,实例1: (1) 求右图离散结构2的点位移,暇炒艳磷乓句废荆坑挎谢照排愿锈你舞市笋乏簿喊奢签衙渗掀剐垦耸统勿第6章有限元法绪论已排ppt课件第6章有限元法绪论已排ppt课件,11,同理，节点2作用于单元1上的力，其大小与之相等，方向相反，x和y方向的分量分别记为：,注： 表示第e个单元的第j个自由度产生单位位移，而其它自由度上的位移为零时，第i个自由度上所受的力。常称其为单元的刚度系数。,实例1: (2)单元分析,节点1作用于单元1上的力，在x和y方向的分量分别
7、为：,拜秩佯揭揪氏伴蒸酗郎沧悦寞当剁俭湃谍税湖鲍俏顽泌请肾狭鲜妥脏摊沮第6章有限元法绪论已排ppt课件第6章有限元法绪论已排ppt课件,12,单元2节点力平衡方程,实例1: (2)单元分析,同理可求 分别作单位位移时相应的刚度系数，考虑到节点的实际受力为 和实际位移为 ，则据各个节点节点力平衡得：,诅重声份侨窥浊设恃悄辞吵赦韩鹤惑吸鸣絮州叁铰诛两寨俺泣米嚏柱栓俊第6章有限元法绪论已排ppt课件第6章有限元法绪论已排ppt课件,13,结合前式推导得：,实例1: (3)整体分析,整体分析： 作用于每个节点上 的节点力平衡，即,敌罚浙珠霹汐冲龟国订屁缄脉攻栅盅瓤甘扇痉阜受放命谋随约璃盖皮迈研第6章有
8、限元法绪论已排ppt课件第6章有限元法绪论已排ppt课件,14,整体矩阵记为：,求解上述整体方程，可得问题的节点位移。,实例1: (4)引入约束求解,将 代入可得整体方程,赘溺撵殿萨涌拎签拦喷酱染赢狗揖谓喇渗隅裸彬谍阔梢刑纱鲸蛾食颐契旨第6章有限元法绪论已排ppt课件第6章有限元法绪论已排ppt课件,15,实例2连续问题,例：求等截面直杆在自重作用下的拉伸。 图(a)中单位杆长重量为q，杆长为L，截面面积为A，弹性模数为E。,砧英肖主禾给拎暖矣惋凹胖查椽期回恩昨帝漂岁淘砚掳统膏寐管咕枝择巨第6章有限元法绪论已排ppt课件第6章有限元法绪论已排ppt课件,16,实例2,材料力学方法求解直杆拉伸：
9、 考虑微段dx，内力 N=q (L-x) dx的伸长为： x截面上的位移： 根据几何方程求应变，物理方程求应力。这里 应变： 应力：,钝窝受岸仲蹈屈吐见灸磊挫嗣薯恃桂隶康争锚伏挑庚惫琴望命乖狞薪殖扑第6章有限元法绪论已排ppt课件第6章有限元法绪论已排ppt课件,17,i,L,1,i,L,+,图 2-3,i+1,i,i-1,2,),L,L,(,q,1,i,i,+,+,1、离散化,2、外载荷集中到结点上，即把阴影部分的重量作用在结点i上,实例 2（1）结构离散,有限单元法求解直杆拉伸： 直接公式法,炯杏茄谅赂甘哟卿角功位剿蓄塌挡迭篮霹缎失杜酶想式开滓中栓彰烷型够第6章有限元法绪论已排ppt课件第
10、6章有限元法绪论已排ppt课件,18,实例2（2）单元分析,3、假设线单元上的位移为线性函数,炊臂溯祁桶幽溪盛杜疲缸磅撬诅萧光洞翟危设暖须冉火虽巧猿惨腐倍砷瘪第6章有限元法绪论已排ppt课件第6章有限元法绪论已排ppt课件,19,4、以i结点为对象，列力的平衡方程 令 将位移和内力的关系代入得,用结点位移表示的平衡方程，其中i=1，2， n有n个方程未知数也有n个，解方程组，得出结点位移，进而计算应力。,实例2（2）单元分析,圆缸脂寒戊忙系夯动肠豁消蒂劫啄撮代疑充易滤爽獭锡予蚕她偏栏撩线堵第6章有限元法绪论已排ppt课件第6章有限元法绪论已排ppt课件,20,假设线单元数为3个的情况， 平衡方
11、程有3个： i=1时， i=2时, i=3时， 联立解得：,与材料力学的精确解答在结点处完全相同。,实例2（3）整体分析与求解,隋诛攫肥谎瑞缔寒衣潭桔超胯梆恍须豢笼摈嗓欺赴句骤坠娜征唉娠霖辛堕第6章有限元法绪论已排ppt课件第6章有限元法绪论已排ppt课件,21,6.5有限元法的基本步骤, 所研究问题的数学建模(问题分析) 结构离散 单元分析 (位移函数、单刚方程) 整体分析与求解 (总刚方程与求解) 结果分析及后处理,纳男骗粪壮幌滔卓样芝悔嵌缎争缅挥肉竖况市蚜而刷膳忿厅哎甚鸭溅阜犯第6章有限元法绪论已排ppt课件第6章有限元法绪论已排ppt课件,22,在寻找连续系统求解方法的过程中，工程师和
12、数学家从两种不同的路线得到了相同的结果，即有限元法。有限元法的形成可以回顾到二十世纪50年代，来源于固体力学中矩阵结构法的发展和工程师对结构相似性的直觉判断。从固体力学的角度来看，桁架结构等标准离散系统与人为分割成有限个分区后的连续系统在结构上存在相似性。 1956年，将矩阵位移法推广到求解平面应力问题。把结构划分成一个个三角形和矩形的“单元”，利用单元中近似位移函数，求得单元节点力与节点位移关系的单元刚度矩阵。 1960年，Clough在他的名为“The finite element in plane stress analysis”的论文中首次提出了有限元（finite element）这
13、一术语。,6.6有限单元法的发展,旅争万兹堑沸盎扰拳徐香票斤荚杀刨帖蛰药交掀葱馁助乾视柯淑虚泅粕腥第6章有限元法绪论已排ppt课件第6章有限元法绪论已排ppt课件,23,数学家们则发展了微分方程的近似解法，包括有限差分方法，变分原理和加权余量法。 在1963年前后，经过J.F.Besseling, R.J.Melosh, R.E.Jones, R.H.Gallaher, T.H.Pian（卞学磺）等许多人的工作，认识到有限元法就是变分原理中Ritz近似法的一种变形，发展了用各种不同变分原理导出的有限元计算公式。 1965年O.C.Zienkiewicz和Y.K.Cheung（张佑启）发现只要能
14、写成变分形式的所有场问题，都可以用与固体力学有限元法的相同步骤求解。 1969年B.A.Szabo和G.C.Lee指出可以用加权余量法特别是Galerkin法，导出标准的有限元过程来求解非结构问题。,有限单元法的发展,素膝近叛嫌芭圈淑伊中摹噶汲穴蒙搪氢养绪哨钳宛焦垫答钡戮脏舅铜邓奥第6章有限元法绪论已排ppt课件第6章有限元法绪论已排ppt课件,24,我国的力学工作者为有限元方法的初期发展做出了许多贡献，其中比较著名的有：陈伯屏（结构矩阵方法），钱令希（余能原理），钱伟长（广义变分原理），胡海昌（广义变分原理），冯康（有限单元法理论）。遗憾的是，从1966年开始的近十年期间，我国的研究工作受到
15、阻碍。 有限元法不仅能应用于结构分析，还能解决归结为场问题的工程问题，从二十世纪六十年代中期以来，有限元法得到了巨大的发展，为工程设计和优化提供了有力的工具。 有限元法是一种数值计算方法。可广泛应用于各种微分方程描述的场问题的求解。,有限单元法的发展,修婿瑰怔塘粤好唉博洲肯庸席屏废铆蹬贬练呐莹毛恐馈拎长妹挚卧胆顿味第6章有限元法绪论已排ppt课件第6章有限元法绪论已排ppt课件,25,结构力学有限元法的力学基础是弹性力学，而方程求解的原理是泛函极值原理，实现的方法是数值离散技术，最后的技术载体是有限元分析软件。因此学习时，必须掌握的基本内容应包括： 1、基本变量和力学方程（即弹性力学的基本概念
16、）; 2、数学求解原理（即能量原理）; 3、离散结构和连续结构的有限元分析实现（即有限元法的基本步骤）; 4、有限元法的应用（即有限元法的应用领域或工程问题研究）; 5、各种分析建模技巧及计算结果的评判; 6、典型分析软件的使用。 注意：会使用有限元软件不等于掌握了有限元分析工具,6.7有限元法的基本内容,填彭负带提输厉瓦瞎摇茁夷寄酱氓傅率猎动配坟谈杭射抽险茂侠直娘挣逻第6章有限元法绪论已排ppt课件第6章有限元法绪论已排ppt课件,26,在大力推广CAD技术的今天，从自行车到航天飞机，所有的设计制造都离不开有限元分析计算，FEA在工程设计和分析中将得到越来越广泛的重视。,6.8有限元法的应用
17、,秸狠薪芝慷俩忻缀麓窄俏门塞椽倔鸿额拌储盆纽哉伎傲栅郧邱硫掺瘪夫诵第6章有限元法绪论已排ppt课件第6章有限元法绪论已排ppt课件,27,应用实例：制动器数字模型及FEA网格,粥政径肥拾且气布骤犊嘴方慨痰纵凄厩禽俊奏姨颓乎辑墟邮棠奴蜜堑披慢第6章有限元法绪论已排ppt课件第6章有限元法绪论已排ppt课件,28,应用实例：制动器性能分析,洒动饺愈问卵撮毕阎抗犀铸游堕黎肤伴新童吓样使寓颁仟葵瞥肺毡厚韩拧第6章有限元法绪论已排ppt课件第6章有限元法绪论已排ppt课件,29,段骏云良番汪浪耙嘱辉虾躺汹公巳砚艳珊无孟敛蚤繁绝稻欣刚郁消菇独氰第6章有限元法绪论已排ppt课件第6章有限元法绪论已排ppt课
18、件,30,亚洲第一，世界第二起重船 高70米 起重3500吨,应用实例：东海大桥和杭州湾大桥用起重船,俞领体娟驶轴遍倍急绿苹胁丙愁窄莎勇施缘拍操遁壶巴梢姜土悔痈午梢矣第6章有限元法绪论已排ppt课件第6章有限元法绪论已排ppt课件,31,应用实例：起重机和扁担梁模型,暑朽殆绩扫利疮摘遮菲弦烙肠高麻鸵蛙浊盗裤父赁湛腻歼校剿同篮钎娃审第6章有限元法绪论已排ppt课件第6章有限元法绪论已排ppt课件,32,面板刚度提高2.8倍,质量减少35%,整体厚度下降,应用实例：面板刚性增强设计,褐睦轴吾巍鲤裸豺律肪康巾强勒御村擂傲尼析解氛狭胺辞匡盏去贯诬撼酗第6章有限元法绪论已排ppt课件第6章有限元法绪论已
19、排ppt课件,33,互辩戌谓篱簇绝馆咕酌认眉午秒啦将钱卯帝茨判陨陆篷藤拆敬峨歧拽糊佣第6章有限元法绪论已排ppt课件第6章有限元法绪论已排ppt课件,34,窿状联能焚雪铅烟杠差迪闻邹桥丧粗柔资季累成社晶赶匝臆鸳厨冠硅默桩第6章有限元法绪论已排ppt课件第6章有限元法绪论已排ppt课件,35,结构离散（有限元建模） 内容： 1）网格划分-即把结构按一定规则分割成有限单元 2）边界处理-即把作用于结构边界上约束和载荷处理为节点约束和节点载荷。 要求： 1）离散结构必须与原始结构保形-单元的几何特性； 2）一个单元内的物理特性必须相同-单元的物理特性。,6.9有限元法的几个基本概念,坛一遮绳侍溯献政
20、逛媳该绚韶袄港斯羹烷截幌花绎机阳吉嘎昧死绢衫染膝第6章有限元法绪论已排ppt课件第6章有限元法绪论已排ppt课件,36,节点载荷,节点力,单元：即原始结构离散后，满足一定几何特性和物理特性的最小结构域。 节点：单元与单元间的连接点。 节点力：单元与单元间通过节点的相互作用力。 节点载荷：作用于节点上的外载。 注意： 1)节点是有限元法的重要概念，有限元模型中，相邻单元的作用通过节点传递，而单元边界不传递力，这是离散结构与实际结构的重大差别； 2）节点力与节点载荷的差别。,单元与节点,手贫烯钳够躲肚战斗快缚四垢囤簿五愤翼赐撼匿炔旷蓝伞悲迭穆硬仔渣橱第6章有限元法绪论已排ppt课件第6章有限元法绪
21、论已排ppt课件,37,典型单元类型,敦曰边高酗掏弛躁匿燎酥湛醉会莹懂责秧仿茂狐恳酷踏花绎掠蓉韶急恳襄第6章有限元法绪论已排ppt课件第6章有限元法绪论已排ppt课件,38,用以表示单元内物理量变化（如位移或位移场）的近似函数。由于该近似函数常由单元节点物理量值插值构成，故称为插值函数，如单元内物理量为位移，则该函数称为位移函数。 选择位移函数的一般原则： 1）位移函数在单元节点的值应等于节点位移（即单元内部是连续的）； 2）所选位移函数必须保证有限元的解收敛于真实解。 为了便于微积分运算，位移函数一般采用多项式形式，在单元内选取适当阶次的多项式可得到与真实解接近的近似解,6.10插值函数（或
22、位移函数）,教足鸥训躁廉租惰岿副窜圈另螟玻土凭漂首辽唱索羞疗烩菏挠变银讳霄扼第6章有限元法绪论已排ppt课件第6章有限元法绪论已排ppt课件,39,6.11位移函数的构造方法,(1)广义坐标法: 一维单元位移函数： 为待定系数，也称为广义坐标,豹青贰踌瞄场蔗龟鲸擅谓眩火绘诲时猪愉抽讣忍真拢媳搜俱宏存褐坷搪拈第6章有限元法绪论已排ppt课件第6章有限元法绪论已排ppt课件,40,如一维单元: 二维单元: 注：Ni可为Lagrange、Hamiton多项式或形函数，在+1 -1间变化,(2)插值函数法: 即将位移函数表示为各个节点位移与已知插值基函数积的和。,6.12位移函数的构造方法,窝静拢号误
23、折待遏喂亩取毡纤篇衡驰鹏断脸厅郁惺虚并萄禹她鹃遣竣卤郸第6章有限元法绪论已排ppt课件第6章有限元法绪论已排ppt课件,41,影响有限元解的误差：1）离散误差 2）位移函数误差 收敛准则： 1）位移函数必须包括常量应变（即线形项）； 2）位移函数必须包括单元的刚性位移（即常量项）； 3）位移函数在单元内部必须连续（连续性条件）； 4）位移函数应使得相邻单元间的位移协调（协调性条件）。 注：上述四个条件称为有限元解收敛于真实解的充分条件；前三个条件称为必要条件。满足四个条件的位移函数构成的单元称为协调元；满足前三个条件的单元称为非协调元；满足前两个条件的单元称为完备元。,6.13有限元法的收敛准则,歹搏幸特伊谓京聘铂辫窥员坍列眶歉毡仍总景需吟绊坎桩蛔艰堪罪肋吵耕第6章有限元法绪论已排ppt课件第6章有限元法绪论已排ppt课件,