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1、第十章第十章 双线性函数双线性函数 与二次型与二次型 10.310.3 规范形与惯性定理规范形与惯性定理 10.210.2 化二次型为标准形化二次型为标准形 10.110.1 双线性函数与二次型双线性函数与二次型 10.410.4 正定二次型与正定矩阵正定二次型与正定矩阵 独 渭 门 浴 嫁 调 蚊 蟹 陡 琉 仙 缝 揪 唐 杯 先 毋 攀 糊 闪 布 昂 卒 殊 伪 獭 索 跺 碟 员 搜 直 第 十 部 分 双 线 函 数 与 二 次 型 教 学 课 件 第 十 部 分 双 线 函 数 与 二 次 型 教 学 课 件 一、双线性函数一、双线性函数 二、度量矩阵二、度量矩阵 10.1 10
2、.1 双线性函数与二次型双线性函数与二次型 三、对称双线性函数与二次型三、对称双线性函数与二次型 忆 顶 新 庄 醛 涡 励 雄 散 闰 陵 惋 彭 冀 蔡 收 金 篮 芹 忧 酚 抠 递 即 到 胚 萤 艇 拙 谩 册 朝 第 十 部 分 双 线 函 数 与 二 次 型 教 学 课 件 第 十 部 分 双 线 函 数 与 二 次 型 教 学 课 件 一、一、双线性函数双线性函数 设设 是数域 上的 维线维线 性空间间，映射定义定义 为为 上的二元函数. 即对对 根据 唯一地对应对应 于 中一个数 如果 具有性质质: 其中 则则 称为为 上的一个双线线性函数. 赖 吨 挠 保 荡 属 慨 缩
3、莫 堕 铡 矢 忱 还 大 拘 炼 辐 面 粟 盒 裴 礼 损 少 您 趴 谷 坯 帽 鸿 怨 第 十 部 分 双 线 函 数 与 二 次 型 教 学 课 件 第 十 部 分 双 线 函 数 与 二 次 型 教 学 课 件 对对于线线性空间间V上的一个双线线性函数 当固定一个向量 (或 )不变时变时 ，可以得出一 个线线性函数. 注注 例1.线线性空间间 上的内积即为一个双线性函数. 寻 涟 昼 黎 烙 娜 慢 逊 适 纫 厩 脂 卒 空 貉 拘 群 迅 姥 郁 锋 毗 许 照 撤 撵 的 由 房 洞 掘 皿 第 十 部 分 双 线 函 数 与 二 次 型 教 学 课 件 第 十 部 分 双
4、线 函 数 与 二 次 型 教 学 课 件 例2. 上两个线线性函数 定义义 证证明: f 是V上的一个双线线性函数. 证证： 二 写 地 旬 棋 桔 尹 徊 蓄 拢 罢 径 科 暴 洁 木 惯 蓄 租 佬 烂 谷 惫 贫 秉 吭 刻 役 韶 戌 沛 恤 第 十 部 分 双 线 函 数 与 二 次 型 教 学 课 件 第 十 部 分 双 线 函 数 与 二 次 型 教 学 课 件 例3.设设 是数域 上的 维线维线 性空间间， 令 则则 为为 上的一个双线线性函数. 若 则则 袱 砍 低 阀 利 奢 践 帆 杨 材 积 躁 洗 菲 赃 诌 泼 浮 幽 吃 暇 瞪 讯 尖 楞 糟 松 嵌 促 历
5、 混 剁 第 十 部 分 双 线 函 数 与 二 次 型 教 学 课 件 第 十 部 分 双 线 函 数 与 二 次 型 教 学 课 件 事实实上，或是数域 上任意上的 维线维线 性 空间间 上双线线性函数 的一般形式. 设设 为为数域 上线线性空间间V的一组组基， 设设 做 躇 滩 顾 托 屈 蚁 照 游 壮 凸 赚 牺 踊 赚 狐 赌 馏 的 壮 猛 直 衍 扣 曙 察 喧 版 柞 跺 贱 论 第 十 部 分 双 线 函 数 与 二 次 型 教 学 课 件 第 十 部 分 双 线 函 数 与 二 次 型 教 学 课 件 则则 令 则则 其中 观 型 钵 姥 年 突 浑 籍 群 僧 餐 洞
6、库 哟 犯 砸 卓 沾 婿 曝 涝 唬 镐 脸 嗓 搐 伎 砰 沦 趁 反 脊 第 十 部 分 双 线 函 数 与 二 次 型 教 学 课 件 第 十 部 分 双 线 函 数 与 二 次 型 教 学 课 件 设设 是数域 上任意上的 n 维线维线 性 空间间V上一个双线线性函数， 为为V的 一组组基，则则矩阵阵 称为为 在 下的度量矩阵阵. 二、度量矩阵二、度量矩阵 定义定义 掖 机 药 笺 蹋 桃 翻 综 光 瓢 凋 膏 习 偷 谐 来 工 盯 料 皆 糖 郊 龋 强 壬 次 石 础 百 夺 姜 有 第 十 部 分 双 线 函 数 与 二 次 型 教 学 课 件 第 十 部 分 双 线 函
7、数 与 二 次 型 教 学 课 件 三、三、 对称双线性函数与二次型对称双线性函数与二次型 定义定义1. 1. 设设 为为数域P上线线性空间间V上的一个双线线 性函数，如果对对V中任意向量 均有 则则称 为为对对称双线线性函数. 刃 划 坐 哥 尽 铃 碰 查 侨 扰 躇 僻 辕 帮 捷 岗 娘 霜 趟 桔 该 摧 膛 漏 拍 戴 眯 类 斩 癸 置 夸 第 十 部 分 双 线 函 数 与 二 次 型 教 学 课 件 第 十 部 分 双 线 函 数 与 二 次 型 教 学 课 件 定义定义2. 2. 设设 为为数域P上线线性空间间V上的一个双线线 性函数，如果对对V中任意向量 均有 则则称 为
8、为反对对称双线线性函数. 酗 搞 果 爆 楚 朵 婿 疽 索 畸 呕 怠 馈 断 感 绅 制 洋 惰 易 烬 盐 解 窑 毅 单 采 费 舜 欢 性 宰 第 十 部 分 双 线 函 数 与 二 次 型 教 学 课 件 第 十 部 分 双 线 函 数 与 二 次 型 教 学 课 件 定理2设设V是数域P上n 维线维线 性空间间. 是V上对对称双线线性函数，则则存在一组组基 ，使 在这组这组 基下的度量 矩阵为对阵为对 角形. 定理1 数域 P上n 维线维线 性空间间 V上双线线性函数 是对对称的（反对对称的） 在V的任意 一组组基下的度量矩阵阵是对对称的（反对对称的）. 骄 腿 蚕 绝 插 稍
9、凛 输 东 裳 举 嫌 缚 符 蜜 侮 彻 担 稚 置 镜 至 宪 偿 耪 测 耘 告 糯 锋 寂 了 第 十 部 分 双 线 函 数 与 二 次 型 教 学 课 件 第 十 部 分 双 线 函 数 与 二 次 型 教 学 课 件 线线性空间间V上双线线性函数 当 时时，V上函数 称为为与 关联联的二次 齐齐次函数. 设设 的度量矩阵为阵为 给给定V的一组组基 式中 的系数为为 有（1） 定义定义3. 3. 竹 虏 妮 武 岛 懂 缮 拓 弓 丽 脓 裔 逼 面 苟 阐 我 岿 鄂 鹏 下 栖 恭 传 沦 貌 钟 吁 祖 但 叮 明 第 十 部 分 双 线 函 数 与 二 次 型 教 学 课
10、件 第 十 部 分 双 线 函 数 与 二 次 型 教 学 课 件 一个对对称双线线性函数只能导导出一个二次型. 此即为为以前学过过的二次型. 此时时， 而二次型与对对称矩阵阵1-1对应对应 . 赋 惊 彪 谅 且 闯 亩 曼 幻 狠 万 椎 上 峙 紊 丸 臆 溃 恕 侧 懂 鞘 楞 跨 集 徐 物 妨 府 迷 绚 钳 第 十 部 分 双 线 函 数 与 二 次 型 教 学 课 件 第 十 部 分 双 线 函 数 与 二 次 型 教 学 课 件 作业 练习 10.1.1， 10.1.3 习题 10.1.2 鞋 多 慧 蛔 滨 箩 降 遏 录 锑 疗 藏 荷 景 些 同 榨 完 资 抓 叛 赦 息 猾 忘 痪 原 巳 沧 礼 韩 晰 第 十 部 分 双 线 函 数 与 二 次 型 教 学 课 件 第 十 部 分 双 线 函 数 与 二 次 型 教 学 课 件