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1、4-6 刚体角动量和角动量守恒定律 1. 定轴转动刚体的角动量定理 刚体定轴转动定理： 则该系统对该轴的角动量为： 由几个物体组成的系统，如果它们对同一给 定轴的角动量分别为 、 、， 对于该系统还有 衰 蜂 绩 规 滔 寺 义 愿 茵 杆 回 妊 满 攻 爹 销 擅 响 园 卯 菩 靛 淄 杨 帛 秋 籽 雪 拎 好 巡 乳 刚 体 角 动 量 刚 体 角 动 量 为 时间内力矩M 对给定轴的冲量矩。 角动量定理的微分形式： 在外力矩作用下，从 角动量 变为 ， ， 则由得 定轴转动刚体的角动量定理 忍 思 态 卑 微 蘑 宴 脆 拇 念 侍 贝 鸽 熬 焊 讣 视 译 出 廓 饲 殃 涅
2、绝 障 卤 质 疮 廖 馋 翠 砸 刚 体 角 动 量 刚 体 角 动 量 2. 定轴转动刚体的角动量守恒定律 角动量守恒定律：若一个系统一段时间 内所受合外力矩M 恒为零，则此系统的总角 动量L 为一恒量。 恒量 讨论： a.对于绕固定转轴转动的刚体，因J 保持不变， 当合外力矩为零时，其角速度恒定。 =恒量 =恒量 械 净 咏 勤 仙 蹈 筛 袒 璃 胯 悉 降 龄 举 蜒 蛀 木 缀 迁 臂 择 恳 或 挪 详 楼 疆 丸 赢 冶 政 魏 刚 体 角 动 量 刚 体 角 动 量 b.若系统由若干个刚体构成,当合外力矩为零时,系 统的角动量依然守恒。J 大 小,J 小 大。 c.若系统内既
3、有平动也有转动现象 发生，若对某一定轴的合外力矩为 零,则系统对该轴的角动量守恒。 定轴转动刚体的角动量守恒定律 嘲 郑 奇 脱 碴 柴 溃 授 萤 廖 凿 烷 瓤 嫡 吱 赴 奴 戎 节 罩 菏 腔 登 伟 希 棘 哈 媚 啦 炼 潜 泣 刚 体 角 动 量 刚 体 角 动 量 L A B A B C C 常平架上的回转仪 应用事例： 定轴转动刚体的角动量守恒定律 精确制导 直升飞机 躇 岩 坞 聋 核 左 应 虫 陈 给 遇 团 佑 晴 抿 卷 最 昧 柏 簧 遥 匿 图 晌 件 州 泊 喊 肥 傻 糕 闷 刚 体 角 动 量 刚 体 角 动 量 直线运动与定轴转动规律对照 质点的直线运动
4、刚体的定轴转动 定轴转动刚体的角动量守恒定律 卤 途 喝 搪 辫 吟 暑 哉 繁 笑 摈 擅 频 郎 阁 索 超 铂 吹 悦 倡 白 活 处 讣 族 躲 赣 拍 挺 昂 弹 刚 体 角 动 量 刚 体 角 动 量 例题4-11 一匀质细棒长为l ，质量为m，可绕通过其端 点O的水平轴转动，如图所示。当棒从水平位置自由释 放后，它在竖直位置上与放在地面上的物体相撞。该物 体的质量也为m ，它与地面的摩擦系数为 。相撞后物 体沿地面滑行一距离s而停止。求相撞后棒的质心C 离地 面的最大高度h，并说明棒在碰撞后将向左摆或向右摆的 条件。 解： 这个问题可分为三个阶段 进行分析。第一阶段是棒自由 摆落
5、的过程。这时除重力外， 其余内力与外力都不作功，所 以机械能守恒。我们把棒在竖 直位置时质心所在处取为势能 C O 定轴转动刚体的角动量守恒定律 体 滔 摘 解 晶 雨 留 柠 雌 作 菌 知 赔 痉 垣 宦 用 昂 侠 愈 恤 明 搔 捎 痘 菏 奋 黎 钨 指 酮 戏 刚 体 角 动 量 刚 体 角 动 量 零点，用表示棒这时的角速度,则 （1） 第二阶段是碰撞过程。因碰撞时间极短，自由的 冲力极大，物体虽然受到地面的摩擦力，但可以忽略 。这样，棒与物体相撞时，它们组成的系统所受的对 转轴O的外力矩为零，所以，这个系统的对O轴的角 动量守恒。我们用v表示物体碰撞后的速度，则 （2） 式中棒
6、在碰撞后的角速度，它可正可负。 取正 值，表示碰后棒向左摆；反之，表示向右摆。 定轴转动刚体的角动量守恒定律 斡 莹 腋 烽 磨 段 陇 挛 鳖 耻 荫 豆 止 牟 寇 镐 扯 东 吨 述 赐 援 螟 讳 低 个 隘 亏 聚 蹿 妄 矿 刚 体 角 动 量 刚 体 角 动 量 第三阶段是物体在碰撞后的滑行过程。物体作匀减 速直线运动，加速度由牛顿第二定律求得为 （3） 由匀减速直线运动的公式得 （4） 亦即 由式（1）、（2）与（4）联合求解，即得 （5） 定轴转动刚体的角动量守恒定律 咽 糠 勇 纪 栋 呐 眨 希 祖 宾 两 所 曳 驮 娄 冬 长 唬 钮 央 舵 务 绳 拙 雪 生 障
7、掠 问 哭 辱 蔼 刚 体 角 动 量 刚 体 角 动 量 亦即l6s；当取负值，则棒向右摆，其条件 为 亦即l 6s 棒的质心C上升的最大高度，与第一阶段情况 相似，也可由机械能守恒定律求得： 把式（5）代入上式，所求结果为 当取正值，则棒向左摆，其条件为 (6) 定轴转动刚体的角动量守恒定律 着 剪 顽 螟 止 歪 骑 捡 骨 堂 来 坟 氰 猾 时 菲 娃 叶 霜 泉 茹 班 舞 昨 涤 来 草 孰 广 稽 履 婚 刚 体 角 动 量 刚 体 角 动 量 例题4-12 工程上，两飞轮常用摩擦啮合器使它们 以相同的转速一起转动。如图所示，A和B两飞轮的 轴杆在同一中心线上，A轮的转动惯量为
8、JA=10kgm2 ，B的转动惯量为JB=20kgm2 。开始时A轮的转速为 600r/min，B轮静止。C为摩擦啮合器。求两轮啮合 后的转速；在啮合过程中，两轮的机械能有何变化 ？ A A C B A C B 定轴转动刚体的角动量守恒定律 忱 瞩 专 动 腺 武 赶 杨 下 撰 吸 建 拽 坐 宪 啥 蓝 惹 熄 榨 靖 捞 愈 清 彝 帆 堪 蔼 绑 增 潮 景 刚 体 角 动 量 刚 体 角 动 量 解 以飞轮A、B和啮合器C作为一系统来考虑，在 啮合过程中，系统受到轴向的正压力和啮合器间的 切向摩擦力，前者对转轴的力矩为零，后者对转轴 有力矩，但为系统的内力矩。系统没有受到其他外 力矩
9、，所以系统的角动量守恒。按角动量守恒定律 可得 为两轮啮合后共同转动的角速度，于是 以各量的数值代入得 定轴转动刚体的角动量守恒定律 仔 积 由 扁 励 脱 乞 袱 煤 纯 裂 压 感 丽 钉 殖 苑 昧 寿 焉 料 颂 牢 怒 属 理 玻 烫 摔 闻 鲍 拍 刚 体 角 动 量 刚 体 角 动 量 或共同转速为 在啮合过程中，摩擦力矩作功，所以机 械能不守恒，部分机械能将转化为热量，损 失的机械能为 定轴转动刚体的角动量守恒定律 籽 瓤 框 眶 菱 愈 忻 焰 趾 够 犬 刁 牛 哨 咽 坷 挚 皿 页 挽 囊 韭 佃 煽 发 黎 腋 物 梨 新 歌 病 刚 体 角 动 量 刚 体 角 动
10、量 例题4-13 恒星晚期在一定条件下，会发生超新星 爆发，这时星体中有大量物质喷入星际空间，同时 星的内核却向内坍缩，成为体积很小的中子星。中 子星是一种异常致密的星体，一汤匙中子星物体就 有几亿吨质量！设某恒星绕自转轴每45天转一周， 它的内核半径R0约为2107m，坍缩成半径R仅为 6103m的中子星。试求中子星的角速度。坍缩前后 的星体内核均看作是匀质圆球。 解 在星际空间中，恒星不会受到显著的外力矩，因 此恒星的角动量应该守恒，则它的内核在坍缩前后的 角动量J00和J应相等。因 定轴转动刚体的角动量守恒定律 辉 淄 欲 娱 纳 烯 坞 丸 烤 李 败 洛 妻 卢 琅 擎 妹 操 袭
11、炼 递 故 锣 糙 挨 嘱 蕉 综 彻 辗 描 经 刚 体 角 动 量 刚 体 角 动 量 代入J00=J中，整理后得 由于中子星的致密性和极快的自转角速度，在 星体周围形成极强的磁场，并沿着磁轴的方向发出 很强的无线电波、光或X射线。当这个辐射束扫过地 球时，就能检测到脉冲信号，由此，中子星又叫脉 冲星。目前已探测到的脉冲星超过300个。 定轴转动刚体的角动量守恒定律 绚 惹 同 锥 也 四 竣 呼 球 疵 类 糠 科 囊 复 湍 韩 巧 厕 郁 叉 悲 炮 骇 唉 绍 伞 瘫 擅 崩 人 边 刚 体 角 动 量 刚 体 角 动 量 例题4-14 图中的宇宙飞船对其中心轴的转动惯量为 J=
12、2103kgm2 ，它以=0.2rad/s的角速度绕中心轴旋 转。宇航员用两个切向的控制喷管使飞船停止旋转。 每个喷管的位置与轴线距离都是r=1.5m。两喷管的喷 气流量恒定，共是=2kg/s 。废气的喷射速率（相对 于飞船周边）u=50m/s，并且恒定。问喷管应喷射多 长时间才能使飞船停止旋转。 r dm/2 dm/2 u -u L0Lg 解 把飞船和排出的 废气看作一个系统， 废气质量为m。可以 认为废气质量远小于 飞船的质量， 定轴转动刚体的角动量守恒定律 陆 醇 令 轩 状 监 煞 碎 邓 暖 篇 凸 壳 镶 仍 毁 堂 谈 狞 杀 广 扇 摔 排 使 矾 阵 戳 骑 英 爆 忌 刚
13、体 角 动 量 刚 体 角 动 量 所以原来系统对于飞船中心轴的角动量近似地等 于飞船自身的角动量，即 在喷气过程中，以dm表示dt时间内喷出 的气体，这些气体对中心轴的角动量为dm r(u+v)，方向与飞船的角动量相同。因 u=50m/s远大于飞船的速率v(= r) ，所以此 角动量近似地等于dm ru。在整个喷气过程 中喷出废气的总的角动量Lg应为 定轴转动刚体的角动量守恒定律 浙 赘 攀 喊 辛 择 戮 坡 仪 奥 粳 暑 郝 肃 槽 丢 康 摸 不 叶 埃 阶 指 痈 河 帝 贷 愁 悲 安 巫 巢 刚 体 角 动 量 刚 体 角 动 量 当宇宙飞船停止旋转时，其角动量为零。系统这时
14、的总角动量L1就是全部排出的废气的总角动量，即 为 在整个喷射过程中，系统所受的对于飞船中心轴的 外力矩为零，所以系统对于此轴的角动量守恒，即 L0=L1 ，由此得 即 定轴转动刚体的角动量守恒定律 讽 路 阎 钾 齐 娇 惟 摇 律 坑 糜 浊 缔 瞩 贿 氯 寨 慨 限 棱 乖 簿 如 铲 箕 涂 氛 踢 肖 幢 绕 剪 刚 体 角 动 量 刚 体 角 动 量 于是所需的时间为 定轴转动刚体的角动量守恒定律 谨 累 蹄 疙 扳 圾 箩 信 取 然 债 姑 龄 界 欧 筹 贡 邹 缴 关 西 嘉 洪 番 镐 勤 希 植 摔 洱 客 洪 刚 体 角 动 量 刚 体 角 动 量 例1 一长为l
15、、质量为m 的匀质细杆，可绕光滑轴O 在 铅直面内摆动。当杆静止时，一颗质量为m0 的子弹水 平射入与轴相距为a 处的杆内，并留在杆中，使杆能偏 转到q=300，求子弹的初速v0。 解：分两个阶段进行考虑 其中 (1)子弹射入细杆,使细杆获得初速 度。因这一过程进行得很快,细杆 发生偏转极小,可认为杆仍处于竖 直状态。子弹和细杆组成待分析 的系统,无外力矩,满足角动量守 恒条件。子弹射入细杆前、后的 一瞬间,系统角动量分别为 定轴转动刚体的角动量守恒定律 砌 技 括 杭 扼 固 堤 刹 讫 哮 惟 栽 确 懂 封 拽 于 潭 惩 吴 亭 置 危 葫 品 授 儡 竿 族 时 宅 赐 刚 体 角
16、动 量 刚 体 角 动 量 (2)子弹随杆一起绕轴O 转 动。以子弹、细杆及地球构 成一系统，只有保守内力作 功，机械能守恒。选取细杆 处于竖直位置时子弹的位置 为重力势能零点，系统在始 末状态的机械能为： 由角动量守恒，得： (1) 势能零点 定轴转动刚体的角动量守恒定律 园 且 推 穿 龚 峰 翟 腺 壮 曲 懊 矢 扛 咕 兄 污 瘴 仑 铃 矾 底 靠 廖 缴 爪 蜂 暖 烈 每 迪 峨 恨 刚 体 角 动 量 刚 体 角 动 量 由机械能守恒，E=E0, 代入q=300，得： 将上式与 联立，并代入J 值，得 定轴转动刚体的角动量守恒定律 颊 羞 吵 陡 吧 惺 卓 絮 造 肩 骏
17、抽 兵 倡 氢 傲 煎 棒 诉 诫 赠 太 健 暖 亩 橇 乱 汗 茫 莎 长 示 刚 体 角 动 量 刚 体 角 动 量 例2 A、B两圆盘绕各自的中心轴转动，角速度分别 为：A=50rad.s-1, B=200rad.s-1。已知A 圆盘半径 RA=0.2m, 质量mA=2kg, B 圆盘的半径RB=0.1m, 质量 mB=4kg. 试求两圆盘对心衔接后的角速度 . 解：以两圆盘为系统，尽管在衔接过 程中有重力、轴对圆盘支持力及轴向 正压力，但他们均不产生力矩；圆盘 间切向摩擦力属于内力。因此系统角 动量守恒，得到 定轴转动刚体的角动量守恒定律 镣 蹈 谨 腹 乱 焉 近 立 岿 敲 崔
18、雨 络 肋 背 舔 黄 黍 蛹 匈 翱 峪 损 韵 勤 委 粱 逢 橇 献 脑 腹 刚 体 角 动 量 刚 体 角 动 量 例2 A、B两圆盘绕各自的中心轴转动，角速度分别 为：A=50rad.s-1, B=200rad.s-1。已知A 圆盘半径 RA=0.2m, 质量mA=2kg, B 圆盘的半径RB=0.1m, 质量 mB=4kg. 试求两圆盘对心衔接后的角速度 . 解：以两圆盘为系统，尽管在衔接过 程中有重力、轴对圆盘支持力及轴向 正压力，但他们均不产生力矩；圆盘 间切向摩擦力属于内力。因此系统角 动量守恒，得到 定轴转动刚体的角动量守恒定律 邀 碟 贾 旦 谍 眷 矽 弛 仰 踩 猎 馈 铬 河 枚 刺 耻 村 帖 罚 逻 疤 张 拜 罕 拓 渺 谢 怒 颓 毁 酋 刚 体 角 动 量 刚 体 角 动 量