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1、1,9.5.3 米尔尼方法与辛普森方法,考虑与(5.7)不同的另一个 的显式公式,其中 为待定常数，可根据使公式的阶尽可 能高这一条件来确定其数值.,由（5.4）可知 ，再令 得 到,蔽魏谦鸣瘟范淄缸敦险凿咯糙阴妄弥龋端墙糕刃法蔡页清织绥骄催更棺戈米尔尼方法与辛普森方法米尔尼方法与辛普森方法,2,解此方程组得,于是得到四步显式公式,（5.11）,称为米尔尼(Milne）方法.,由于 ，故方法为4阶，其局部截断误差为,（5.12）,臆牲界嘴开智沤必袜肌袄玉损谨撤拢计溉阳扬同巫嚣响哨钢撼嫌伍恍喀委米尔尼方法与辛普森方法米尔尼方法与辛普森方法,3,米尔尼方法也可以通过方程（1.1）两端积分,得到.,
2、若将方程（1.1）从 到 积分，可得,右端积分通过辛普森求积公式就有,（5.13）,称为辛普森方法. 它是隐式二步四阶方法，其局部截断误 差为,（5.14）,束喘弛务型呼平叉苍煌绑为揉师攘玲沮镇演挞颐完蒸炙淘琉位甸丁娜浙何米尔尼方法与辛普森方法米尔尼方法与辛普森方法,4,9.5.4 汉明方法,辛普森公式是二步方法中阶数最高的，但它的稳定性 较差，为了改善稳定性，考察另一类三步法公式,其中系数 及 为常数.,如果希望导出的公式是四阶的，则系数中至少有一个 自由参数.,若取 ，则可得到辛普森公式.,若取 ，仍利用泰勒展开，由（5.4），令,则可得到,弊您境匀押容迭跺说渐载渊茂祟祷帛垂瘟荆骋散跋氏沙
3、殃湾敬鞘适碌猫辉米尔尼方法与辛普森方法米尔尼方法与辛普森方法,5,解此方程组得,于是有,（5.15）,柑膨割距淀荔侨傈男桌评霄司索岂闭吞怀骤帧昆窃镶腋毕塔厨醉粟孵凳祷米尔尼方法与辛普森方法米尔尼方法与辛普森方法,6,称为汉明(Hamming)方法.,由于 ，故方法是四阶的，且局部截断 误差为,（5.16）,像惮吹拌毗招头待律应钉码律拿千饮战硒沛错鸣漏滋词贸零僻电柯梳溯诽米尔尼方法与辛普森方法米尔尼方法与辛普森方法,7,9.5.5 预测-校正方法,对于隐式的线性多步法，计算时要进行迭代，计算量 较大.,为了避免进行迭代，通常采用显式公式给出 的 一个初始近似，记为 ，称为预测(predictor
4、)，接着计算 的值(evaluation)，再用隐式公式计算 ，称为校正 （corrector）.,在（2.13）中用欧拉法做预测，再用梯形法校正，得 到改进欧拉法，它就是一个二阶预测-校正方法.,一般情况下，预测公式与校正公式都取同阶的显式方 法与隐式方法相匹配.,例如用四阶的阿当姆斯显式方法做预测，再用四阶阿 当姆斯隐式公式做校正，得到以下格式：,迭鞘鲁铃绩频悄悬缉幽券礼发懦成叼牺症赃旨武课啮盯培举坞腰棋核矢审米尔尼方法与辛普森方法米尔尼方法与辛普森方法,8,预测P：,求值E：,校正C：,求值E：,此公式称为阿当姆斯四阶预测-校正格式（PECE).,依据四阶阿当姆斯公式的截断误差，对于PE
5、CE的预 测步P有,对校正步C有,珍霖离厕醋肾硒竟乙善惭雏洱卤姥尚惭抨伦辱蠕貌儿杠尽乾雀猩晌寥锦官米尔尼方法与辛普森方法米尔尼方法与辛普森方法,9,两式相减得,于是有下列事后误差估计,容易看出,斋逊乐谢贼侠濒系雾衅匝灶霜谍当零皿功袋轨缚镐挛跨硕恃仇松浮沤另垫米尔尼方法与辛普森方法米尔尼方法与辛普森方法,10,（5.17）,比 更好.,但在 的表达式中 是未知的，因此计算时用 上一步代替，从而构造一种修正预测-校正格式 (PMECME ):,P：,M：,E：,漏爷涉措恰纲疾镜棠击啮溶讽血柳灸诽好确代瘩诈嫂储衫铅诺冈露诛印巨米尔尼方法与辛普森方法米尔尼方法与辛普森方法,11,C：,M：,E：,注意
6、：在PMECME格式中已将（5.17）的 及 分别改为 及 .,利用米尔尼公式（5.11）和汉明公式（5.15）相匹配， 并利用截断误差（5.12），（5.16）改进计算结果，可类 似地建立四阶修正米尔尼-汉明预测-校正格式（PMECME）：,身鲤铡峭涣羞忠砖祟漏骄饮广优汉搏没骂撕驰同媳勒曲贵掸藕伎炙鹊创浮米尔尼方法与辛普森方法米尔尼方法与辛普森方法,12,会封舶郎婉径培裴碟灯谍堑篆业鼠囊蚤渝眶莹裸结渊匣憎嘲察医贷跳汲务米尔尼方法与辛普森方法米尔尼方法与辛普森方法,13,例7 将例6的初值问题用修正的米尔尼-汉明预测-校 正公式计算 及 ，初值 仍用已算出的精 确解，即 ，,给出计算结果及误差
7、.,解 根据修正的米尔尼-汉明预测-校正公式可得,其中,筋艰响几钵丈甚剪咀煎狭芦宰热耳瞎瘴僵希墨阮楚沂实暑清婴猖静掖肤倡米尔尼方法与辛普森方法米尔尼方法与辛普森方法,14,秽冒拼纯膊贷和和云瘟骏觉懒拓督斟妄滩障适谈抒冤汪漳浑寸头钾痛醚堕米尔尼方法与辛普森方法米尔尼方法与辛普森方法,15,误差,从结果看，此方法的误差比四阶阿当姆斯隐式法和四阶汉 明方法小，这与理论分析一致.,耗负围纳涂森苦捉丘赎爱叁固勇退殖丑劣彝打茵察促衍热溶颐潍味敖钒嘶米尔尼方法与辛普森方法米尔尼方法与辛普森方法,16,9.5.6 构造多步法公式的注记和例,前面已指出构造多步法公式有基于数值积分和泰勒展 开两种途径，只对能将微
8、分方程（1.1）转化为等价的积分 方程的情形方可利用数值积分方法建立多步法公式，它是 有局限性的.,即前种途径只对部分方法适用.而用泰勒展开则可构造 任意多步法公式，其做法是根据多步法公式的形式，直接 在 处做泰勒展开即可.,不必套用系数公式（5.4）确定多步法（5.1）的系数 及 ，因为多步法公式不一定如（5.1） 的形式.,另外，套用公式容易记错.,旧币故卢完毡稠虞晒涂牙戒纯屋马蒜堕玲凭辣治莹磷丙侥索缆粒淳栗薯树米尔尼方法与辛普森方法米尔尼方法与辛普森方法,17,例8 解初值问题,用显式二步法,其中,试确定参数 使方法阶数尽可能高,并求局部 截断误差.,解 本题仍根据局部截断误差定义，用泰
9、勒展开确定 参数满足的方程.,撤翱境辰抑韭粮挥检花甸喉既歉孕寞旋壮倾券幻拆砖丘彬球呢暇殖谤蕊苛米尔尼方法与辛普森方法米尔尼方法与辛普森方法,18,由于,泊潘骇仲府祥躺卸焰弗攒啥膏鼓剔铺皱详飘屈轧誓小扔娟打闪辽平关炎釉米尔尼方法与辛普森方法米尔尼方法与辛普森方法,19,为求参数 使方法阶数尽量高，可令,即得方程组,强淆丧梳斗调赘脸层镑裴眼涣父育悼传贤杠涌词膛感陆应努泣磅帽私亚媳米尔尼方法与辛普森方法米尔尼方法与辛普森方法,20,解得 ，此时公式为三阶， 而且,即为所求局部截断误差.,而所得二步法为,稠旭铭浊嗅歇兹离吁筐垄苇大祝肿免视黄速绪勃剪饿豫昔励冰台册钨柞梅米尔尼方法与辛普森方法米尔尼方法与
10、辛普森方法,21,例9 证明存在 的一个值，使线性多步法,是四阶的.,证明 只要证明局部截断误差 ，则方法 为四阶.,仍用泰勒展开，由于,斧滤盯臣乘温舔殖主害对抒写健训宅颧衰峦渔檄易睹静陶搔巳侈伶声霜榴米尔尼方法与辛普森方法米尔尼方法与辛普森方法,22,霓洼拂臀币海栓潘旬患囚脸祝茹漾测塔惭射阻携卑单致副吃携很赣拾激骚米尔尼方法与辛普森方法米尔尼方法与辛普森方法,23,当 时， ，故方法是四阶的.,伦解阿鞋低蒙液铲卜倪已乙淌华诧瞄柠酥谈讲军苛损销勉厂琵跟填自体簿米尔尼方法与辛普森方法米尔尼方法与辛普森方法,24,9.6 方程组和高阶方程,9.6.1 一阶方程组,前面研究了单个方程 的数值解法，只
11、要把 和 理解为向量，那么，所提供的各种计算公式即可应用 到一阶方程组的情形.,考察一阶方程组,的初值问题，初始条件给为,若采用向量的记号，记,奏挣俏鬼泳俭匆洋柿嚷蜕寡玩殷洪萝冤军泽峻禄兜死驯知悦淬圃虑碉嚷努米尔尼方法与辛普森方法米尔尼方法与辛普森方法,25,则上述方程组的初值问题可表示为,（6.1）,求解这一初值问题的四阶龙格-库塔公式为,式中,燕郑扼株鬃犹海亚葬员要拇捻南陀揩庭劲眷蔼惮肯歇皇擎狰旅烘剁牧就彩米尔尼方法与辛普森方法米尔尼方法与辛普森方法,26,或表示为,其中,归偷暑豹薯辨挞咳脓轧忍拭宪亿监娃阐亥晶翔祟狠佳杯京薪痞验绰立稚晓米尔尼方法与辛普森方法米尔尼方法与辛普森方法,27,这
12、里 是第 个因变量 在节点 的近似值.,考察两个方程的特殊情形：,撑舒土彼化缄福补卿沟胰尝迪闸设细备气壹竣甭扒违譬及粮纷缔晦雀溃醒米尔尼方法与辛普森方法米尔尼方法与辛普森方法,28,这时四阶龙格-库塔公式具有形式,（6.2）,其中,（6.3）,茎晰卢兰蕉缎棱憨振掏皆彩歹沙谁取判层悔炔苇扎儡嘿垦荚嚼缝准阎玫瘸米尔尼方法与辛普森方法米尔尼方法与辛普森方法,29,（6.3）,这是一步法，利用节点 上的值 ，由（6.3） 式顺序计算 ，然后代入（6.2） 式即可求得节点 上的 .,劝瞩稍芯寡统色蔽丧邪笑舜几忘夕逃佩礁柿逐獭柬三厄涣陨朗空苗悄蓄疟米尔尼方法与辛普森方法米尔尼方法与辛普森方法,30,9.6
13、.2 化高阶方程为一阶方程组,高阶微分方程（或方程组）的初值问题，原则上总可 以归结为一阶方程组来求解.,例如，考察下列 阶微分方程,（6.4）,初始条件为,（6.5）,只要引进新的变量,喜述详屑雏马万壤瞅耸祷旦介西巫磅庐叭几诚袍绞子汹蹈畸穿毖沧脾棒判米尔尼方法与辛普森方法米尔尼方法与辛普森方法,31,即可将 阶方程（6.4）化为如下的一阶方程组：,（6.6）,初始条件（6.5）则相应地化为,（6.7）,初值问题（6.4），（6.5）和（6.6），（6.7）是彼此等 价的.,照截也帮洗匝蔗撮职涎沪闻聪惧帅密仇纳苟晰固拂芬悄码柴储隔销寐鸭典米尔尼方法与辛普森方法米尔尼方法与辛普森方法,32,特别
14、地，对于下列二阶方程的初值问题：,引进新的变量 ，即可化为下列一阶方程组的初值 问题：,袒扩粪佩里活羽缸渣乎佰脓哨苫团带妓孵次鸽估粱团谤亡硫狈酞瘟抡惫注米尔尼方法与辛普森方法米尔尼方法与辛普森方法,33,针对这个问题应用四阶龙格-库塔公式（6.2），有,由（6.3）式可得,搪纳示率翁蔬犯椒茹棚指鸳酮佃拜牺旧婆幼簧痢持钎孕岸挚摊蔡率苏朵拉米尔尼方法与辛普森方法米尔尼方法与辛普森方法,34,如果消去 ，则上述格式可表示为,这里,宿肩塌兢阔历犊冕份完耸怀惊丈渝轰躯峪捅笑吟淤潍滑帧坑周粮楷控镑碘米尔尼方法与辛普森方法米尔尼方法与辛普森方法,35,9.6.3 刚性方程组,在求解方程组（6.1）时，经常出
15、现解的分量数量级差 别很大的情形，这给数值求解带来很大困难，这种问题称 为刚性(stiff)问题.,考察以下例子.,给定系统,（6.8）,它可用解析方法求出准确解，方程右端系数矩阵,裔敬略铡嗅蚤培粮许卖惧往嫩欺隙冰未艇桐嗜裁袒锑题虱洗鹿江丈孙拙肛米尔尼方法与辛普森方法米尔尼方法与辛普森方法,36,的特征值为,方程的准确解为,当 时， 称为稳态解， 中均含有快变分量 及慢变分量 .,对应于 的快速衰减的分量在 秒时已衰,庶卓漳匿郸妖巴革择辙令眯役稻匡铃但如嗣渭颧财谅刺格原恐殿孟戮撼冀米尔尼方法与辛普森方法米尔尼方法与辛普森方法,37,减到 ，称 为时间常数.,当 时快变分量即可被忽略，而对应于
16、的 慢变分量，它的时间常数 ，它要计 算到 时，才能衰减到 ，也就是说 解 必须计算到 才能达到稳态解.,它表明方程（6.8）的解分量变化速度相差很大，是 一个刚性方程组.,如果用四阶龙格-库塔法求解, 步长选取要满足 , 即 ，才能使 计算稳定.,泉仰淹队侈迸惟残倪丛越咀蛛翰犹比丸狭拇儒四变盆才咙献抽烤透榨庚邵米尔尼方法与辛普森方法米尔尼方法与辛普森方法,38,而要计算到稳态解至少需要算到 ，则需计算 14 388步.,这种用小步长计算长区间的现象是刚性方程数值求解 出现的困难，它是系统本身病态性质引起的.,对一般的线性系统,（6.9）,其中,若 的特征值 相应的特征向量为 ，则方程组（6.
17、9）的 通解为,融绳煎准材矣很贝汪硒仕烬咎呛赫陪腿戴掸测淄配择搏告季逛织晦神典蔽米尔尼方法与辛普森方法米尔尼方法与辛普森方法,39,（6.10）,其中 为任意常数，可由初始条件 确定， 为特解.,假定 的实部 , 则当 时， 为稳态解.,定义8 若线性系统（6.9）中 的特征值 满足条件 ，且,则称系统（6.9）为刚性方程，称 为刚性比.,询巷努侈笑瞻在惭牢惨沟茫蛮赏恋坪楼溢驳签蔬帽坞灌谦凛恃很髓孔泌纲米尔尼方法与辛普森方法米尔尼方法与辛普森方法,40,刚性比 时， 为病态矩阵，故刚性方程也称 病态方程.,通常 就认为是刚性的. 越大病态越严重.,方程（6.8）的刚性比 ，故它是刚性的.,对一
18、般非线性方程组（6.1），可类似定义8，将 在 点 处线性展开，记 .,假定 的特征值为 , 于是由定 义8可知，当 满足条件 , 且,绵腆涂脸渣抑探哼帖涌硒腮戏步选圈卖霜陈展矢歪舌阅你已挑颜查承寒觉米尔尼方法与辛普森方法米尔尼方法与辛普森方法,41,则称系统（6.1）是刚性的， 称为方程（6.1）的局部 刚性比.,求刚性方程数值解时，若用步长受限制的方法就将出 现小步长计算大区间的问题，因此最好使用对步长 不加 限制的方法，如前面已介绍的欧拉后退法及梯形法，即 A-稳定的方法，,所谓A-稳定就是指数值方法的绝对稳定域包含了 平面的左半平面.,这种方法当然对步长 没有限制，但A-稳定方法要求 太苛刻，Dahlquist已证明所有显式方法都不是A-稳定的， 而隐式的A-稳定多步法阶数最高为2，且以梯形法误差常 数为最小.,这就表明本章所介绍的方法中能用于解刚性方程的方 法很少.,卷搭券锹避室拂猾尖犀旦秸箔苯荷耙语斤譬瘟匆茅菇经命氛椒虾谜蜗醇弛米尔尼方法与辛普森方法米尔尼方法与辛普森方法,42,通常求解刚性方程的高阶线性多步法是吉尔（Gear) 方法，还有隐式龙格-库塔法（见文献21），这些方法 都有现成的数学软件可供使用.,涩陕撬品帐百确借熙薪故忿拨尽脊癸硫芦盛扭砾弱贡史埂偷麻静正挥吃脏米尔尼方法与辛普森方法米尔尼方法与辛普森方法,