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1、求解排列组合应用题的“八字诀”分注意利用分类计数原理和分步计数原理解题。对于一个比较复杂的排列组合应用问题；通常情况下，可以通过“分类”、“分步”等手段分解成若干个易于解决的小问题，然后各个击破之。特从特殊的元素、特殊的位置入手解题。附条件的排列组合应用问题往往涉及一些特殊的元素或特殊的位置；对特殊的元素和特殊的位置作特殊的照顾，则容易找到通向成功之路的入口处。反利用“正难则反”的原则解题。当问题的正面情况错综复杂时，即正面进攻很难奏效时，可以考虑从问题的反面入手，有时会帮你进入“柳暗花明”的境界。等利用概率相等解题。充分利用各元素在每个位置上出现的概率相等，有时可以直捣题目结论。化注意用转化
2、思想指导解题。许多排列组合应用问题，表面上看似乎是风马牛不相及，若能用转化的思想方法剥去其外包装，则会发现其本质是相同的，仅仅是问题的“情境”不同而已。转化思想是我们通向成功彼岸的指路明灯，对此要引起特别的重视。捆解决若干元素必须排在一起的重要解题技巧。插解决若干元素必须互不相邻的重要解题技巧。推运用递推关系解决排列组合应用问题。递推方法是把复杂问题化归为简单问题，未知问题转化为已知问题的重要手段之一，也是应用转化思想指导解题的重要体现。若能对上述“八字诀”做到烂熟于心，又能对具体情况作具体分析，合理地选择方法和技巧，并综合运用之；则通常情况下能立于不败之地。下面通过几个例题的解答和评注，说明
3、“八字诀”的具体应用。例2（1994年上海高考题）计划在某画廊展示出10幅不同的画，其中1幅水彩画，4幅油画，5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须放在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有（ ）种A B C D 解：第一步：确定4幅油画的相对位置（捆在一起）的方法数.第二步：确定5幅国画的相对位置（捆在一起）的方法数.第三步：确定国画和油画的相对位置的方法数，再把水彩画插在国画和油画之间.满足条件的陈列方式有：种故选D。评注：由于本题的主要附加条件是“连在一起”，故容易相到使用“捆”的技巧。例3（2002年全国高考题）从正方体的6个面中选取3个面，其中有两个面不相邻的选法共有
4、（ ）A.8种 B.12种 C.16种 D.20种解评：由于正面考虑比较复杂，而问题的反面即为三个面两两相邻，一个顶点对应于一种取法，故用“正难则反”的方法解之，即种故选B。例4五个成年人和两个小孩（一男一女）排成一排照相，要求每个小孩两边都是成年人，且小女孩要和其母亲（五个成年人之一）排在一起，问：有多少种不同的排法？解：第一步：从其他四位成年人中选出一人和小女孩的母亲排在小女孩的两边成“成女母”的方法数为：。第二步：把“成女母”看成一个成年人和另外三位成年人排成一排的方法数：第三步：把小男孩插入相应的位置的方法数为：.满足条件的排法数为：8243=576.评注：由于小女孩最为特殊，故首先照
5、顾小女孩，即从特殊的元素入手；小女孩必须和母亲在一起，且两边都是成年人，故易想到用“捆”的技巧；由于小男孩必须排在两成年人之间，故可采用“插”的技巧。例5编号为1.2.3n的n个人，坐到编号为1.2.3n的n把椅子上，且每个人都不对号入座的方法数记为。求，。解：易见：=0 , ，n个人坐到n把不同的椅子上的方法数为。其中：有且仅有n个对号入座的方法数为：1.有且仅有（n-1）个人对号入座的方法数为：.有且仅有（n-2）个人对号入座的方法数为：.有且仅有（n-3）个人对号入座的方法数为：.有且仅有（n-k）个人对号入座的方法数为：.有且仅有1个人对号入座的方法数为：.有且仅有0个人对号入座的方法
6、数为：.=1+.令n=4可得：24=1+=1+6+8+ =9.令n=5可得：120=1+=1+10+20+45+，=44.首先我们把人数推广到 n个人，即n个人排成一列，重新站队时，各人都不站在原来的位置上。设满足这样的站队方式有an种，现在我们来通过合理分步，恰当分类找出递推关系： 第一步：第一个人不站在原来的第一个位置，有n-1种站法。 第二步：假设第一个人站在第2个位置，则第二个人的站法又可以分为两类：第一类，第二个人恰好站在第一个位置，则余下的n-2个人有an-2种站队方式；第二类，第二个人不站在第一个位置，则就是第二个人不站在第一个位置，不站在第三个位置，第四个人不站在第四个位置，第
7、n个人不站在第n个位置，所以有an-1种站队方式。 由分步计数原理和分类计数原理，我们便得到了数列an的递推关系式： an=(n-1)*(an-1+an-2)，显然，a1=0,a2=1，a3=2,a4=9,a5=44评注：给出的问题本身就有点递推数列的“味道”，故选择递推方法解之。在实施递推策略的过程中，注意到问题的反面至少有一人对号入座的问题已经解决，故又使用了“正难则反”的解题策略。从理论上讲，上述给出的公式已彻底解决了n个元素对n个位置的错位排列问题。例6：（1993年全国高考题）同室4人然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡的不同分配方式有（ ）A.6种 B.9种 C.11种
8、 D.23种解评：本题可转化为：编号为：1.2.3.4的四个人坐在编号为1.2.3.4的四把椅上，4人都不对号入座的方法数为多少？由例5可知：=9.故选（B）.例7：4对夫妻排成一排照相，每对夫妻要排在一起的方法数为多少？解：第一步：请每对夫妻各自手拉手（捆）的方法数为：2222=16. 第二步：把每对夫妻看成一个人排成一排的方法数为：. 满足条件的排法数为：1624=384.评注：由于每对夫妻要排在一起，故使用先捆后排的策略。例84对夫妻排成前后两排，每排4人，使每对夫妻前后对号的排法有多少种？解评：易见本题和例7是同一个问题，故方法数为384.例对夫妻排成前后两排，每排人，使每对夫妻前后都
9、不对号的排法有多少种？解：第一步：对四对夫妻进行重新组合，建立个新的临时家庭，使每个家庭一男一女，但不是夫妻，由例5可知其方法数为.第二步：对四个临时家庭进行排队，由例解法可知，其方法数为384.满足条件的排法数为：9384=3456.评注：本题看似复杂，但利用分步计数原理可以分解为两个小题，事实上本题可以看成是由例6和例8组合并成的。各写一张贺年卡，先集中起来，二 知识要点(一).两个计数原理:1.分类计数原理:做一件事,完成它可以有n类办法,在第一类办法中有m1种不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的方法,在第n类办法中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N= m1+ m2+ m2+
10、mn种不同的方法.(分类满足的条件是不重不漏).2.分步计数原理:做一件事,完成它需要分成n个步骤,做第一步有m1种不同的方法,做第二步有m2种不同的方法,做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N= m1 m2 m2 mn种不同的方法.(注意分步的标准,既不重步也不漏步).3.注意:两个原理是解决以后问题的基础,多数的问题在解决的最后,都可以归结到这两个原理上来,特别要注意分步与分类的区别.(二)排列1.排列的定义:从n个不同元素中,任取m(mn)个元素(被取出的元素各不相同),按照一定的顺序排成一列,叫做从n个元素中取出m个元素的一个排列(有序性是排列的本质).2.排列数的定义:从n
11、个元素中取出m(mn)个元素的所有排列的个数,叫做从n个元素中取出m个元素的排列数,用符号表示.3.排列数公式:(1)当mn时,排列称为选排列,排列数为(必须熟记.)(2)当m=n时,排列称为全排列,排列数为.规定.(3)排列数公式的另一种形式: (在计算,化简,证明中用途比较大).(4)两个性质:;.(三).组合1.组合的定义:从n个不同元素中,任取m(mn)个元素并成一组,叫做从n个元素中取出m个元素的一个组合(组合中的元素与顺序无关).2.组合数的定义:从n个元素中取出m(mn)个元素的所有组合的个数,叫做从n个元素中取出m个元素的组合数,用符号表示.3.组合数公式:(1)基本公式(必须
12、熟记.)(2)组合数公式的另一种形式: (在计算,化简,证明中用途比较大).规定.(3)两个性质:;.(两个很重要的公式,一定要记住).4.排列组合常见问题解题策略:(1).特殊元素优先安排的策略;(2).合理分类与准确分步的策略;(3).排列、组合混合问题先选后排的策略;(4).正难则反、等价转化的策略;(5).相邻问题捆绑处理的策略;(6).不相邻问题插空处理的策略;(7).定序问题除法处理的策略;(8).分排问题直排处理的策略;(9).“小集团”排列问题中先整体后局部的策略;(10).构造模型的策略.(四)二项式定理1.二项式定理:一般地,对于任意正整数n,都有:这个公式所表示的定理叫做
13、二项式定理,右边的多项式叫做的二项展开式,其中系数叫做二项式系数,式中的叫做二项式的通项公式,用表示,式展开式中的第r+1项.2.二项式系数的性质对称性:与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等,即.增减性与最大值:如果二项式的幂指数是偶数,中间一项的二项式系数最大;如果二项式的幂指数是奇数,中间两项的二项式系数相等并且最大.当n是偶数时,n+1是奇数,展开式共有n+1项,所以展开式有中间一项,并且这一项的二项式系数最大,最大为.当n是奇数时,n+1是偶数,展开式共有n+1项,所以展开式有中间两项,并且这两项的二项式系数相等并且最大,最大为.各项二项式系数的和:.奇数项的二项式系数和等于偶数
14、项的系数和:.3.展开式中各项的系数和:只需要将变元值令为1,算出值即可.4.二项展开式中系数最大问题由二项式系数性质可知,当项数n是偶数时,展开式中二项式系数最大的项是中间项,最大为;当n是奇数时,展开式中二项式系数最大的项为中间两项,最大为.展开式中系数与二项式系数不同,设是展开式中项的系数,若项为系数最大的值,则必有.由此不等式组,可确定r的值,从而确定系数最大的项.(五)概率1.随机事件的概率(1)基本概念随机事件:在一定条件下可能发生也可能不发生的事件.必然事件:在一定条件下必然要发生的事件.不可能事件:在一定条件下不可能发生的事件.基本事件:一次试验连同其中出现的每一个结果称为一个
15、基本事件.(2)随机事件的概率定义:一般地,在大量重复进行同一试验时,事件A发生的频率总是接近于某一个常数,在它附近摆动,这时就把这个常数叫做事件A的概率,记作:P(A).必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,所以随机事件的概率0P(A)1.(3)等可能事件的概率一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件,通常一次试验中的某一事件A由几个基本事件组成.如果一次试验中可能出现的结果有n个,即此试验由n个基本事件组成,而且每一个结果出现的可能性都相等,那么每一个基本事件的概率都是.如果某个事件A的结果有m个,那么事件A的概率为.求等可能事件的基本步骤:A.算出基本事件的总个数n;B.
16、算出事件A中包含基本事件的个数m;C.算出事件A的概率,.2.互斥事件有一个发生的概率(1)基本概念:互斥事件:事件A与B不可能同时发生,这种不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件.对立事件:其中必有一个发生的互斥事件叫做对立事件,事件A的对立事件记作.两个对立事件一定是互斥事件,反之两个互斥事件不一定是对立事件;两个事件对立是两个事件互斥的充分非必要条件;两个事件互斥是两个事件对立的必要非充分条件.(2)事件A+B的意义及其概率运算公式若事件A,B互斥,事件A+B的含义是A,B中有一个发生且只有一个发生,只有对于互斥事件才能运用概率运算的加法公式.如果事件A,B互斥,那么P(A+B)=P(A)
17、+P(B).如果事件A1,A2,A3,An彼此互斥,则P(A1+A2+An)= P(A1)+P(A2) +P(An).对立事件A与的概率和等于1,即.3.相互独立事件同时发生的概率(1)相关概念:相互独立事件:如果事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响,那么这样的两个事件叫做相互独立事件.性质:如果事件A与B相互独立,那么也都是相互独立的.事件AB:表示相互独立事件A与B同时发生的事件.(2)两个相互独立事件A与B同时发生的概率公式: P(AB)=P(A)P(B).(3)推广:如果事件A1,A2,A3,An相互独立,则P(A1A2An)= P(A1)P(A2)P(An).(4)两个相互独立事件A与B至少有一个发生的概率:.(5)相互独立事件同时发生的概率的乘法公式求概率的解题步骤:确定诸事件是相互独立的;确定诸事件会同时发生;先求每个事件发生的概率,再求其积.4.独立重复试验n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率记为,设在一次试验中事件A发生的概率是P,则.