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1、空间向量复习 方 烟 哟 内 歪 律 晰 闺 汗 惶 瘟 虏 眉 废 汾 坯 沾 买 慎 风 郁 钓 聘 绷 租 泣 抵 厚 肄 肿 阿 连 高 三 数 学 空 间 向 量 复 习 课 件 高 三 数 学 空 间 向 量 复 习 课 件 例3、如图，一块均匀的正三角形面的钢板的质 量为500kg,在它的顶点处分别受力F1，F2，F3， 每个力与同它相邻的三角形的两边之间的角都 是60，且|F1|=|F2|=|F3|=200kg.这块钢板在这 些力的作用下将会怎样运动？这三个力最小为多 少时，才能提起这块钢板？ o A B C F1 F2 F3 500kg 委 巧 满 峦 耪 蒜 玉 汉 蔬 撑
2、 于 挛 片 唉 潮 很 府 涝 御 披 匹 狗 娶 促 弄 像 诅 腐 双 永 张 棵 高 三 数 学 空 间 向 量 复 习 课 件 高 三 数 学 空 间 向 量 复 习 课 件 例4，如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD底面ABCD，PD=DC， E是PC的中点，作EF PB交PB于点F。 （1）求证：PA平面EDB； （2）求证：PB 平面EFD； （3）求二面角C-PB-D的大小。 D A B C E P F 户 面 龄 惧 喘 疡 糠 釉 扒 劈 壳 扇 蘸 谊 泊 卑 鼠 沼 琶 俄 挺 宛 致 问 箍 家 仪 拄 捆 邪 邑 树 高 三 数 学 空
3、间 向 量 复 习 课 件 高 三 数 学 空 间 向 量 复 习 课 件 a b OA B b a 结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用 同一平面内的两条有向线段表示。 因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有 关结论仍适用于它们。 3.1.1空间向量的运算 队 弥 妹 盗 惨 囚 吩 确 厚 檬 闭 厦 遮 褒 众 婉 拢 危 翁 衍 堑 在 茁 示 卞 及 毗 池 苇 若 警 渴 高 三 数 学 空 间 向 量 复 习 课 件 高 三 数 学 空 间 向 量 复 习 课 件 平面向量 概念 加法 减法 数乘 运算 运 算 律 定义 表示法 相等向量 减法:三角形法则
4、加法:三角形法则或 平行四边形法则 空间向量 具有大小和方向的量 数乘:ka,k为正数,负数,零 加法交换律 加法结合律 数乘分配律 加法交换律 数乘分配律 加法结合律 类比思想 数形结合思想 数乘:ka,k为正数,负数,零 襄 帘 献 渺 膀 翌 杀 恐 这 斩 恢 教 寨 痕 邀 荷 淹 懈 瘴 奶 寡 哆 倒 重 挺 辙 赴 兜 奎 管 捡 证 高 三 数 学 空 间 向 量 复 习 课 件 高 三 数 学 空 间 向 量 复 习 课 件 推广: （1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始 向量的起点指向末尾向量的终点的向量； （2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形，则它们的和为零向
5、量。 侨 装 井 人 吠 族 肋 坚 羔 雨 佰 高 假 尹 呼 赌 偏 充 宏 官 廖 面 纺 绣 稍 累 直 包 咐 谚 晦 坊 高 三 数 学 空 间 向 量 复 习 课 件 高 三 数 学 空 间 向 量 复 习 课 件 AB CD A1B1 C1D1 G M 始点相同的三个 不共面向量之和，等 于以这三个向量为棱 的平行六面体的以公 共始点为始点的对角 线所示向量 假 附 勤 廊 录 接 低 鸣 犀 笺 掠 琅 唱 镍 胀 缄 怀 乐 缎 丹 叠 夺 淹 焰 仰 直 较 嘘 奉 肝 次 命 高 三 数 学 空 间 向 量 复 习 课 件 高 三 数 学 空 间 向 量 复 习 课 件
6、 一、共线向量: 零向量与任意向量共线. 1.共线向量:空间两向量互相平行 或重合,则这些向量叫做共线向量(或平行向 量),记作 2.共线向量定理:对空间任意两个 向量 的充要条件是存在实 数使 3.1.2共线向量定理与共面向量定理 子 葫 馋 渭 坠 峭 惧 欺 洪 常 沫 码 寇 苛 晦 蛰 某 撕 铬 锁 颠 乏 粤 劳 鹤 咐 捞 吗 刺 迫 湃 拙 高 三 数 学 空 间 向 量 复 习 课 件 高 三 数 学 空 间 向 量 复 习 课 件 推论:如果 为经过已知点A且平行 已知非零向量 的直线,那么对任一点O, 点P在直线 上的充要条件是存在实数t, 满足等式OP=OA+t 其中
7、向量a叫做直线的 方向向量. O A B P a 若P为A,B中点, 则 假如OP=OA+tAB，则点P、A、B三点共线。 可用于证明点共线 靳 职 奔 棵 朝 羽 掌 婴 个 充 临 攻 宛 剁 胶 夸 蜀 厅 抗 咙 佛 狗 勤 凿 茄 杠 交 隅 眺 啦 递 鳖 高 三 数 学 空 间 向 量 复 习 课 件 高 三 数 学 空 间 向 量 复 习 课 件 二.共面向量: 1.共面向量:平行于同一平面的向量, 叫做共面向量. OA 注意：空间任意两个向量是共面的，但空间 任意三个向量就不一定共面的了。 伟 法 琐 竖 芦 抛 峻 卢 帐 额 茶 颗 蛀 禾 压 延 腥 萌 令 贬 夜 兜
8、 尉 裤 陆 光 么 牺 想 村 刹 创 高 三 数 学 空 间 向 量 复 习 课 件 高 三 数 学 空 间 向 量 复 习 课 件 2.共面向量定理:如果两个向量 不共线,则向量 与向量 共面的充要 条件是存在实数对 使 注：可用于证明三个向量共面 箕 硒 磨 爽 牢 朱 劝 奢 浦 坝 碍 槽 饰 奢 思 侧 碟 砧 铺 菲 痊 箕 国 口 段 鼎 吨 樊 债 氦 昆 阔 高 三 数 学 空 间 向 量 复 习 课 件 高 三 数 学 空 间 向 量 复 习 课 件 推论:空间一点P位于平面MAB内的充 要条件是存在有序实数对x,y使 或对空间任一点O,有 注意： 证明空间四点P、M、
9、A、B共面的两个依据 实数对 粱 瘦 阁 唱 口 蒸 学 裤 尝 玫 谍 闹 戊 星 矾 滓 瘫 汽 荤 炕 喀 苏 删 或 握 张 瞥 兹 烯 尤 册 远 高 三 数 学 空 间 向 量 复 习 课 件 高 三 数 学 空 间 向 量 复 习 课 件 1、已知a=(2,4,5),b=(3,x,y),若ab, 求x,y的值。 2、证明：三向量a=e1+e2,b=3e1-2e2,c=2e1+3e2 共面；若a=mb+nc，试求实数m、n之值。 催 感 涣 稗 瑰 豪 遂 轮 萌 棋 有 挤 应 刺 毗 汁 宽 图 逗 掉 歼 涵 盾 港 雀 噬 冰 辟 钧 确 拐 锤 高 三 数 学 空 间 向
10、 量 复 习 课 件 高 三 数 学 空 间 向 量 复 习 课 件 1） 两个向量的夹角 O A B 3.1.3空间向量的数量积 向量a与b的夹角记作： 饶 粪 娜 览 瘸 学 贱 账 您 绍 纲 孜 帆 烦 引 广 端 蘸 帝 韭 蒂 蚊 决 殿 渡 元 焙 阿 苦 门 沟 幂 高 三 数 学 空 间 向 量 复 习 课 件 高 三 数 学 空 间 向 量 复 习 课 件 2）两个向量的数量积 注意： 两个向量的数量积是数量，而不是向量. 零向量与任意向量的数量积等于零。 脂 责 稗 俭 腔 泌 眼 祷 致 鄙 箔 属 流 犹 迭 戴 惮 糠 谆 行 矗 蔫 吻 疯 挪 荔 伐 骑 拢 扩
11、 悟 挖 高 三 数 学 空 间 向 量 复 习 课 件 高 三 数 学 空 间 向 量 复 习 课 件 3）射影 B A A1 B1 注意：是轴l上的正射影,A1B1是一个可正可负的实数 ，它的符号代表向量与l的方向的相对关系，大小 代表在l上射影的长度。 吨 勉 隔 秽 叛 讥 甚 矗 同 扎 聘 艇 浦 消 渝 透 霍 却 障 泡 渔 洁 鸵 钢 阅 巨 贞 馋 亚 缔 蠢 响 高 三 数 学 空 间 向 量 复 习 课 件 高 三 数 学 空 间 向 量 复 习 课 件 4)空间向量的数量积性质 注意： 性质2）是证明两向量垂直的依据； 性质3）是求向量的长度（模）的依据； 对于非零向
12、量 ，有： 夕 五 祸 捶 腔 岔 驭 剑 敬 毙 鲸 佳 砚 狙 紧 耪 钟 余 瓮 弧 含 策 谈 伴 搏 祸 蓟 菱 畏 载 咆 逾 高 三 数 学 空 间 向 量 复 习 课 件 高 三 数 学 空 间 向 量 复 习 课 件 5)空间向量的数量积满足的运算律 注意：数量积不满足结合律 托 颐 哆 呼 裕 垢 拜 献 素 炼 芹 哼 床 杂 漆 箩 鼓 源 枯 乔 移 坠 北 双 量 扎 颠 喘 翰 糊 湾 级 高 三 数 学 空 间 向 量 复 习 课 件 高 三 数 学 空 间 向 量 复 习 课 件 1、应用 可证明两直线垂直， 2、利用 可求线段的长度。 向量数量积的应用 圃
13、败 特 伐 驻 坎 三 腮 庙 撤 闲 浦 弘 执 口 虱 宠 绦 鼎 狂 雕 知 击 暮 凭 螟 扫 力 咨 绝 牲 誓 高 三 数 学 空 间 向 量 复 习 课 件 高 三 数 学 空 间 向 量 复 习 课 件 3.1.4空间向量正交分解及其坐标表示 空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c 不共面，那么对空间任一向量p,存在有序 实数组x,y,z,使得p=xa+yb+zc. 空间所有向量的集合p|p=xa+yb+zc,x,y,zR a,b,c叫做空间的一个基底，a,b,c都叫做基向量。 靖 瘩 猾 仙 蓝 戴 潘 宦 秽 骚 存 谩 驾 拟 趟 赴 纷 亭 休 咨 纽 那 紫 脑 丁
14、 甥 截 痕 为 跑 权 望 高 三 数 学 空 间 向 量 复 习 课 件 高 三 数 学 空 间 向 量 复 习 课 件 二、空间直角坐标系 单位正交基底：如果空间的一个基底的 三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个 基底叫做单位正交基底，常用 i , j , k 表 示。 则空间中任意一个向量p可表示为 p=xi+yj+zk (x,y,z)就是向量p的坐标。 傍 帖 谭 泡 吮 纽 龚 彪 碟 拟 泄 掩 吉 讳 绰 阉 接 昆 性 续 隆 话 泊 窟 茬 霓 皮 舵 船 邵 诛 趴 高 三 数 学 空 间 向 量 复 习 课 件 高 三 数 学 空 间 向 量 复 习 课 件 3.1.
15、5 向量的直角坐标运算 僵 提 她 渍 地 闺 总 篇 腾 事 也 蛹 哭 蔗 哟 舟 蔓 宣 勉 拽 西 狞 厦 紊 圃 粤 繁 炉 干 迹 苯 锁 高 三 数 学 空 间 向 量 复 习 课 件 高 三 数 学 空 间 向 量 复 习 课 件 二、距离与夹角 1.距离公式 （1）向量的长度（模）公式 注意：此公式的几何意义是表示长方体的对 角线的长度。 融 迹 沿 叁 芍 蛆 树 蘑 匝 绰 卉 良 眠 桅 葵 彼 关 颈 卞 屈 睁 腾 且 没 战 从 防 升 叮 疟 颜 冗 高 三 数 学 空 间 向 量 复 习 课 件 高 三 数 学 空 间 向 量 复 习 课 件 在空间直角坐标系
16、中，已知、 ，则 （2）空间两点间的距离公式 终点坐标减 起点坐标 女 抬 瓶 直 辕 聊 燥 厅 吠 氮 严 乎 置 埃 非 得 讥 彩 猩 腾 晋 趣 怨 怖 颊 琢 佬 啸 禹 创 践 盅 高 三 数 学 空 间 向 量 复 习 课 件 高 三 数 学 空 间 向 量 复 习 课 件 2.两个向量夹角公式 注意： （1）当 时，同向； （2）当 时，反向； （3）当 时，。 思考：当 及 时，的夹角在什么范围内？ 唉 豺 魏 剁 我 昔 佣 邹 秽 梯 篱 侦 耿 掐 佳 慌 砖 梆 反 匹 扛 弱 网 掇 腥 攒 估 捶 锤 社 贪 练 高 三 数 学 空 间 向 量 复 习 课 件
17、高 三 数 学 空 间 向 量 复 习 课 件 立体几何中的向 量方法 姑 噪 腐 猫 催 汞 顶 步 姻 饿 沁 遁 祖 往 庆 降 衙 拭 奥 拎 责 淖 躇 钵 防 屿 紫 收 负 腥 涝 每 高 三 数 学 空 间 向 量 复 习 课 件 高 三 数 学 空 间 向 量 复 习 课 件 1、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。 （1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间 向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几 何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的 位置关系以及它们之间距离和夹角等问题； （3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。 （化为向
18、量问题） （进行向量运算） （回到图形问题） 尖 春 灭 冀 诡 氓 衰 宾 胁 襟 淫 坠 瓮 映 钙 痔 锥 孤 瘟 乔 追 厢 狮 除 夯 厂 钠 寺 田 摹 肢 筹 高 三 数 学 空 间 向 量 复 习 课 件 高 三 数 学 空 间 向 量 复 习 课 件 a l a 二、怎样求平面法向量？ 剑 届 库 恍 滦 足 蹲 匹 剔 胃 砸 菇 太 舵 脾 姑 讲 功 裙 讼 蹦 较 捧 寇 嚏 惕 细 漓 校 澈 旁 质 高 三 数 学 空 间 向 量 复 习 课 件 高 三 数 学 空 间 向 量 复 习 课 件 1、已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E、F 分别是BB
19、1、DD1的中点，求证： （1）FC1/平面ADE （2）平面ADE/平面B1C1F 证明：如图1所示建立空间直角 坐标系D-xyz，则有D（0，0，0）、 A（2，0，0）、C（0，2，0）、 C1（0，2，2）、E（2，2，1）、 F（0，0，1），所以 设 ， 分别是 平面ADE、平面B1C1F的法向量，则， ， 莉 处 秸 泪 梁 域 挫 幢 萍 快 峡 毒 胳 宛 益 秧 噶 皆 契 砷 煤 允 淌 蒸 轿 膛 铀 姬 天 延 凶 砚 高 三 数 学 空 间 向 量 复 习 课 件 高 三 数 学 空 间 向 量 复 习 课 件 2、已知向量 则 上的单位向量为： 同理可求 （1）
20、，又FC1平面ADE， 平面ADE 平面ADE/平面B1C1F （2） 取y=1，则 俩 赎 弥 绒 邵 夹 厘 乳 茵 拿 八 砧 备 宴 豹 瞩 恋 佰 席 黎 姚 凸 奠 庶 辅 庶 菜 它 鄂 味 腕 仍 高 三 数 学 空 间 向 量 复 习 课 件 高 三 数 学 空 间 向 量 复 习 课 件 设直线l,m的方向向量分别为a,b，平面， 的法向量分别为u,v,则 线线平行：lm a b a=kb; 线面平行：l au au=0; 面面平行： u v u=kv. 线线垂直：l m a b ab=0; 面面垂直： u v uv=0. 线面垂直：l a u a=ku; 三、有关结论 黑
21、 例 叫 了 止 酚 峰 雾 桃 膘 嘉 仟 鲜 贺 度 中 瘤 棍 们 淮 脊 弦 豺 颧 夯 脾 漠 甸 苯 孵 柜 徽 高 三 数 学 空 间 向 量 复 习 课 件 高 三 数 学 空 间 向 量 复 习 课 件 异面直线所成角的范围： 结论： 题型一：线线角 3.2.3利用空间向量求空间角 遥 菜 嗅 短 趋 再 督 柔 况 狰 剪 兆 膨 束 炎 买 儿 雄 败 吨 第 沦 末 菲 疙 去 钒 凝 诚 扎 倍 龋 高 三 数 学 空 间 向 量 复 习 课 件 高 三 数 学 空 间 向 量 复 习 课 件 题型二：线面角 直线与平面所成角的范围： 题型二：线面角 直线AB与平面所
22、成 的角可看成是向量与 平面的法向量所成的 锐角的余角，所以有 陇 恋 摸 疏 兔 镶 晾 菜 斯 蹋 智 恕 溜 乓 痛 捧 兹 堤 庶 源 雕 柬 绢 畦 浪 婚 呢 播 救 限 庐 庇 高 三 数 学 空 间 向 量 复 习 课 件 高 三 数 学 空 间 向 量 复 习 课 件 题型三：二面角 二面角的范围： 关键：观察二面角的范围 恤 听 汾 香 狙 荧 大 少 婚 春 贞 科 咯 捶 陡 威 虚 姿 粗 祈 手 俐 铁 胀 喜 锯 辫 去 媒 泉 恼 弄 高 三 数 学 空 间 向 量 复 习 课 件 高 三 数 学 空 间 向 量 复 习 课 件 B A a M N n a b
23、一、求异面直线的距离 方法指导:作直线a、b的 方向向量a、b，求a、b的法 向量n，即此异面直线a、b 的公垂线的方向向量； 在直线a、b上各取一点 A、B，作向量AB； 求向量AB在n上的射影 d，则异面直线a、b间的距 离为 方法指导:作直线a、b的 方向向量a、b，求a、b的法 向量n，即此异面直线a、b 的公垂线的方向向量； 在直线a、b上各取一点 A、B，作向量AB； 求向量AB在n上的射影 d，则异面直线a、b间的距 离为 3.2.4 熙 焕 颖 娩 讣 嚷 酒 躺 弟 慢 婴 枝 儿 组 滞 吉 本 胳 授 勤 宿 苗 蹈 拴 潜 烛 丛 稿 辗 耳 粪 湾 高 三 数 学 空
24、 间 向 量 复 习 课 件 高 三 数 学 空 间 向 量 复 习 课 件 如图点P为平面外一点，点A为平面内的任 一点，平面的法向量为n,过点P作平面的垂 线PO，记PA和平面所成的角为，则点P 到平面的距离 n A P O 二、求点到平面的距离 孜 鸡 孵 斡 拆 欢 糯 憎 后 鸽 氖 跋 诚 胰 淋 愧 蚤 诬 折 糟 廊 泄 糊 锋 礁 司 满 冈 念 轴 甭 橙 高 三 数 学 空 间 向 量 复 习 课 件 高 三 数 学 空 间 向 量 复 习 课 件 例4、已知正方形ABCD的边长为4，CG平面ABCD ，CG=2,E、F分别是AB、AD的中点，求直线BD到平面 GEF的距
25、离。 D AB C G F E x y z 三、求直线与平面间距离 梁 奸 梁 踪 盅 咯 如 公 辑 巢 摘 弃 拼 但 史 圣 狡 玄 是 沪 骇 晋 片 砧 丘 旷 忽 美 搪 阜 凋 皱 高 三 数 学 空 间 向 量 复 习 课 件 高 三 数 学 空 间 向 量 复 习 课 件 例5、在边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N 、E、F分别是棱A1B1、A1D1、B1C1、C1D1的中点， 求平面AMN与平面EFDB的距离。 AB C D A1 B1 C1 D1 M N E F x y z 四、求平行平面与平面间距离 蚜 蔚 苑 留 绚 则 钨 可 幻 念 议 先 韵
26、唤 伐 云 篡 吹 俱 崖 牢 捕 鬃 谦 蛛 株 经 舀 屏 忌 汁 屉 高 三 数 学 空 间 向 量 复 习 课 件 高 三 数 学 空 间 向 量 复 习 课 件 立体几何中的向量方法坐标法 问题1：已知：ABC为正三角形，EC平面ABC, 且EC,DB在平面ABC同侧，CE=CA=2BD.求证： 平面ADE平面ACE. 怎样建立适当的空间直角坐标系？ 怎样证明平面ADE平面ACE？ 如何求平面ADE、平面ACE的法向量？ 一个平面的法向量有多少个？ 能否设平面ADE的法向量为 n=(1,y,z)?这样做有什么好处？ 维 烛 舶 蓝 哼 赖 拱 彻 严 医 揭 乘 萎 詹 述 设 疲
27、兢 肆 粕 咽 睹 念 静 恿 挎 遂 辗 靶 出 苟 坡 高 三 数 学 空 间 向 量 复 习 课 件 高 三 数 学 空 间 向 量 复 习 课 件 解：分别以CB，CE所在直线为y,z轴，C为原点建立空 间直角坐标系C-xyz,如右下图,设正三角形ABC边长为2 则C(0,0,0)、E(0,0,2)、D(0,2,1)、B(0,2,0)、 设N为AC中点，则N 连接 BN，ABC为正三角形， BNAC，EC平面ABC, BNEC,又ACEC=C, BN 平 面ACE.因此可取向量 为平面 ACE的法向量.那么 设平面ADE的法向量为n=(1,y,z),则 n n 斑 蚀 悉 窍 陨 麦
28、惧 争 湘 伎 啮 茶 抄 氨 哼 焚 屿 今 动 筐 熙 泄 渐 一 钱 聪 斩 耀 酋 催 扒 构 高 三 数 学 空 间 向 量 复 习 课 件 高 三 数 学 空 间 向 量 复 习 课 件 n= n 平面DEA平面ACE. 为了方便计算，能否取平面ACE的法向量为 跪 子 咖 羡 舅 期 踌 昆 烘 仟 陪 宿 侄 汉 卞 蚜 手 碧 簿 有 拘 低 史 彪 莽 篮 挟 桃 防 券 行 芹 高 三 数 学 空 间 向 量 复 习 课 件 高 三 数 学 空 间 向 量 复 习 课 件 通过上例，你能说出用坐标法解决立体几 何中问题的一般步骤吗？ 步骤如下： 1.建立适当的空间直角坐标
29、系； 2.写出相关点的坐标及向量的坐标； 3.进行相关的计算； 4写出几何意义下的结论. 榷 盅 销 柞 雪 亭 拼 奏 诽 宵 颊 叛 倚 诲 替 蓑 匝 沂 谎 耙 乘 铃 类 铸 锦 致 腾 鸡 耸 屎 撕 躬 高 三 数 学 空 间 向 量 复 习 课 件 高 三 数 学 空 间 向 量 复 习 课 件 小结： 1、怎样利用向量求距离？ 点到平面的距离：连结该点与平面上任意一点的向量 在平面定向法向量上的射影（如果不知道判断方向， 可取其射影的绝对值）。 点到直线的距离：求出垂线段的向量的模。 直线到平面的距离：可以转化为点到平面的距离。 平行平面间的距离：转化为直线到平面的距离、点到 平面的距离。 异面直线间的距离：转化为直线到平面的距离、点到 平面的距离。也可运用闭合曲线求公垂线向量的模或 共线向量定理和公垂线段定义求出公垂线段向量的模 。 囱 苇 帽 持 陌 滥 陶 两 园 狡 抄 秉 韦 省 壳 亢 虾 次 阉 申 膛 翰 涛 峻 浴 年 辖 听 码 舅 抹 帆 高 三 数 学 空 间 向 量 复 习 课 件 高 三 数 学 空 间 向 量 复 习 课 件