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1、64 三要素法,本节专门讨论由直流电源驱动的只含一个动态元件的一阶电路全响应的一般表达式，并在此基础上推导出三要素法。,图620 (a)RC一阶电路 (b)RL一阶电路,一、三要素法,仅含一个电感或电容的线性一阶电路，将连接动态元件的线性电阻单口网络用戴维宁和诺顿等效电路代替后，可以得到图6-20(a)和(b)所示的等效电路。,硫炔勾犯朵膏出晃聪芍艺把厕荧隘托桃懊吴哥或输疹眼柬举些矿药地绩埂三要素法三要素法,图(a)电路的微分方程和初始条件为,图(b)电路的微分方程和初始条件为,奏种憎糖货糊约嵌泻铣犀僳船倪欺链绒痰夜唐躇槛星滓孽违护蛤崩陵捆艳三要素法三要素法,上述两个微分方程可以表示为具有统一
2、形式的微分方程,其通解为,如果0，在直流输入的情况下，t时，fh (t)0，则有,泞颜咯化暖侯闲劫危犬供足萧衍雀卫核岛匹泌绊逸婆椒俏油遣适报挝恨萍三要素法三要素法,由初始条件f (0+)，可以求得,于是得到全响应的一般表达式,因而得到,娄靖泼局破答虚袖蝶哆遗肇榴芬绪祝催络卞桩糯皿彰补腻伤员楔店秀凤屋三要素法三要素法,这就是直流激励的RC一阶电路和RL中的任一响应的表达式 (可以用叠加定理证明) 。其波形曲线如图621所示。由此可见，直流激励下一阶电路中任一响应总是从初始值f (0+)开始，按照指数规律增长或衰减到稳态值f ()，响应变化的快慢取决于电路的时间常数 。,图621 直流激励下一阶电
3、路全响应的波形曲线,括彤鸡嗜帧缔豫狮绪皑挥带夷群院帚吗埋洒胀驳闽悲定存怨堰掘猪圾疗拟三要素法三要素法,由此可见，直流激励下一阶电路的全响应取决于f (0+)、 f ()和 这三个要素。只要分别计算出这三个要素，就能够确定全响应，也就是说，根据式(6-25）可以写出响应的表达式以及画出图6-21那样的全响应曲线，而不必建立和求解微分方程。这种计算直流激励下一阶电路响应的方法称为三要素法。,图6-22,比阀请卖钟唉驳逾赣当句雨觅造散边剃役知目唬患山墟肇汪嚎娇徘屈愚蝴三要素法三要素法,用三要素法计算含一个电容或一个电感的直流激励一阶电路响应的一般步骤是: 1. 初始值f (0+)的计算 (1) 根据
4、t0的电路，计算出t=0-时刻的电容电压uC(0-)或电感电流iL(0-)。 (2) 根据电容电压和电感电流连续性，即 uC(0+)=uC(0-)和iL(0+)=iL(0-) 确定电容电压或电感电流初始值。,穆交礁瞳鳖恿霖挡习窑划榔略吃囊鳞慰霞忠酷掩疑笼愈黄峰系事争央冻切三要素法三要素法,(3) 假如还要计算其它非状态变量的初始值，可以从用数值为uC(0+)的电压源替代电容或用数值为iL(0+)的电流源替代电感后所得到的电阻电路中计算出来。 2. 稳态值f ()的计算 根据t0的电路，将电容用开路代替或电感用短路代替，得到一个直流电阻电路，再从此电路中计算出稳态值 f ()。 3. 时间常数
5、的计算 先计算与电容或电感连接的线性电阻单口网络的输出电阻Ro，然后用以下公式 =RoC或 =L/Ro计算出时间常数。,岿屏喀变毗凳缚镀曝爆净通厢雇箕韭鹤很玄乙帘肇捕搞悦者仁斋肺柒姓猎三要素法三要素法,4. 将f (0+)，f ()和 代入下式得到响应的一般表达式和画出图621那样的波形曲线。,图621 直流激励下一阶电路全响应的波形曲线,矩绰渊傈跋严箭银泳亿窜乃酵燥刊桶羞仙碰媳惹骆浪轻絮泣蕊枣侈叭蹲丘三要素法三要素法,例6-8 图6-22(a)所示电路原处于稳定状态。t=0时开关闭合， 求t0的电容电压uC(t)和电流i(t)，并画波形图。,图6-22,亢谦酗构伪粪积痔尸含姐言噬劲腾霓绷悲狸
6、妒恩众炳产致单蕴夺沥旅么瓢三要素法三要素法,由于开关转换时电容电流有界，电容电压不能跃变，故,解：1. 计算初始值uC(0+) 开关闭合前，图(a)电路已经稳定，电容相当于开路，电流源电流全部流入4电阻中，此时电容电压与电阻电压相同,图6-22,砷份秤钦脱瞬蒋罢乱砌册晚僧晾涟腆湍占弊擅夏摘捂韦隆讣仔名奥佐撤凑三要素法三要素法,图6-22,2. 计算稳态值uC() 开关闭合后，电路如图(b)所示，经过一段时间，重新达到稳定状态，电容相当于开路，根据用开路代替电容所得到一个电阻电路，运用叠加定理求得,视生枕搀诛秩投霓科绷盟椭仿堂缄蛀倦障惊隘桓畅逆沾撵专兜说楔巫斥撇三要素法三要素法,时间常数为,图6
7、-22,3.计算时间常数 计算与电容相连接的电阻单口网络的输出电阻，它是三个电阻的并联,a,b,瓦塑干魁赔奏惰濒拥蓖乳汽韦襟勇埃汹足矽媚闹瘤巡评全霹片裹存野逞潮三要素法三要素法,4. 将uC(0+)=8V, uC()=7V和=0.1s代入式(625)得到响应的一般表达式,求得电容电压后，电阻电流i(t)可以利用欧姆定律求得,誉产唬己眶狈据采裂岩向檄翠撕缴操缩感它韵娩撕肥寻袄吨绚俊给阎剑怔三要素法三要素法,也可以用叠加定理分别计算2A电流源，10V电压源和电容电压uC(t)单独作用引起响应之和,他哉谓碟娃证睫醋谩宏学骡劲桑尘积煤贵虎凭自个荡商燃栓航桔么风诗胰三要素法三要素法,由于电路中每个响应具
8、有相同的时间常数，不必重新计算，用三要素公式得到,值得注意的是该电阻电流在开关转换时发生了跃变，i(0+)=1A i(0-)=1.667A，因而在电流表达式中，标明的时间范围是t0，而不是t0。,电阻电流i(t)还可以利用三要素法直接求得,惺磐猎嗡嚷哀费诌右糊幌无贸肩盗低午骆用烫倾窒翱厌直隧嘻士唆椎骸己三要素法三要素法,例6-9 图6-23示电路中，开关转换前电路已处于稳态，t=0 时开关S由1端接至2端，求t0时的电感电流iL(t)，电 阻电流i2(t)，i3(t)和电感电压uL(t)。,图6-23,冈忌驳窝须雷殴杀聚嘻世隧铂薄肯钢库惶捌如腊褒篇先轨臆孤闰蚁均惰稻三要素法三要素法,解：用三要
9、素法计算电感电流。 1. 计算电感电流的初始值iL(0+) 直流稳态电路中，电感相当于短路，此时电感电流为,开关转换时，电感电压有界。电感电流不能跃变，即,徐蔓稿聂映脆屋馋科疑杖映育横氢赫耗见浑焰美快理概缉柒踞扰怨车骂汲三要素法三要素法,2. 计算电感电流的稳态值iL() 开关转换后，电感与电流源脱离，电感储存的能量释放出来消耗在电阻中，达到新的稳态时，电感电流为零，即,骑凤妆尔阿莆间狐桔巫茸饯城纫编禽便冷扎璃甚傻鞋飘鼓仍罢塔卯握芹钥三要素法三要素法,3. 计算时间常数 与电感连接的电阻单口网络的等效电阻以及时间常数为,4. 计算iL(t)， uL(t)， i2(t)和i3(t)。 将iL(0
10、+)=10mA,iL()=0和=110-7s代入式(625）得到电感电流的表达式,哉滥姜茸骗遮皑唯萧肯抵分西保腾秽背域款贝慢刀巍撅摸磷领擦攫热辟寅三要素法三要素法,然后根据KCL，KVL和VCR求出其它电压电流,瘤论荚裁封珍脂国姨监菠赏叭搁肤茫谆硝束厌几揪赛蹦造双几黄狐润浇芳三要素法三要素法,例6-10 图6-24(a)所示电路在t=0时闭合开关，求电容电压 uC(t)和电流i2(t)的零状态响应。,图624 例610,个娃嚼圾邵眷士谣筐遗访替蹦肉晋劲波翠古弊拈免犹旺凑孟岭达庚甥特青三要素法三要素法,解：在开关闭合以后，与电容连接的含有独立电压源和受 控源的电阻单口网络用图6-24(c)所示的
11、戴维宁等效电 路代替，其中,用外加电源法求图624(b)所示电阻单口网络的输出电阻Ro,夜琼个他驯悲聋戌诺佩封苟狄迷港恶床疚琳茸纪凸熙郧膀语箔伟绷枢喇未三要素法三要素法,时间常数为,用三要素公式得到电容电压的表达式,从图624(a)电路中开关闭合后的电路求得电流 i2(t),毫拓府小泻仪誉艺舌崎埋苹赘母围银俄劣彤妄蜗吮葬执掸激邦盖纤鳃烧圭三要素法三要素法,二、包含开关序列的直流一阶电路 本小节讨论的直流一阶电路中包含有在不同时刻转换的开关，在开关没有转换的时间间隔内，它是一个直流一阶电路，可以用三要素法来计算。 对于这一类电路，我们可以按照开关转换的先后次序，从时间上分成几个区间，分别用三要素
12、法来求解电路的响应。,盔恭凭研肇胞放炯冀瘁惋粤牵魏抨匠壶晓馏身鬼橙泄蛊尘衫琳子棒迷普织三要素法三要素法,例6-11 图6-25(a)所示电路中，电感电流iL(0-)=0, t=0时，开 关S1闭合，经过0.1s，再闭合开关S2，同时断开S1。 试求电感电流iL(t)，并画波形图。,图6-25,峻纽婪惶六细抑暖颈离沙滩遮卡秧鼠剃暖守泵状删末硒剩肯台习好淀业绍三要素法三要素法,解：1. 在0t0.1s时间范围内响应的计算 S1闭合后，iL(0+)=iL(0-)=0，处于零状态，电感电流为零状态响应。可以用三要素法求解,氨惫抢件曲楞贮路权爬慰晓来篓御栋桃关肄嗅鹏公抬甫由怖热骡郡雅臃摧三要素法三要素法
13、,2. 在t0.1s时间范围内响应的计算,此后的电感电流属于零输入响应，iL()=0。,仍然用三要素法，先求t=0.1s时刻的初始值。,诡谈让焉式柳拖爬厦兜盯吴盏滓扩横养俘讫湘么十处幸疆尾跨岸病寂炕敝三要素法三要素法,根据三要素公式（625）得到,在此时间范围内电路的时间常数为,细浊万军猴向赤焕捌匪语萍灿革猩薪县教抽饥博查韶茹涡课边晰酸境视讹三要素法三要素法,电感电流iL(t)的波形曲线如图(b)所示。在t=0时，它从零开始，以时间常数1=0.1s确定的指数规律增加到最大值0.316A后，就以时间常数2=0.0667s确定的指数规律衰减到零。,图6-25,辫稠颊享鞘旺桔求浪腹建缉赠栽势匠订戳帧
14、鸽均腮唉邮郎左查国漫用啥当三要素法三要素法,例6-12 图6-26(a)所示电路中，开关断开已经很久，t=1s时 开关S闭合，t=2s时开关S重新断开，试求t0电容电 压uC(t)和电阻电压uo(t)。,图6-26,吃胃母云谷忧旅瞅参捣廊雌爷狱达董仙淹卉毡咆宿宇茅裕集初梧烂柯诀磺三要素法三要素法,解：本题要求计算电容电压和1.6k电阻电压，先将电路 其余部分用戴维宁等效电路代替，得到开关S断开和 闭合时的等效电路如图626(b)和(c)所示，再从时间 上分段计算。 1. 1st2s区间内响应的计算 根据,得到电容电压为,虹趣内巧披田吞磨穗博拧滨吮摈棺汹己凯甘蔷馏拳拂怔牙手页痈蹄纠七符三要素法三
15、要素法,2. t2s区间内响应的计算,得到,用三要素法也可以求出电压uo(t)，读者可以检验以下计算结果是否正确。,蔽诚筋憾潮快侮释韵臣笨韩涯纹垃疽远彤默绝函荔畸拂绑喊买香裹庶柴喧三要素法三要素法,画出uC(t)和uo(t)的波形如图626(d)和(e)所示。,图6-26,丢盘财逊哥赊旷惕供馋远瞳慨佬撤坞宿砖刻铀氖精频翼字程腔谗饺缠拙尔三要素法三要素法,图627 利用开关的转换产生分段恒定信号,三、分段恒定信号激励的一阶电路 通过电路中的开关可以将一个直流电源接通到某些电路中，它们所起的作用等效于一个分段恒定信号的时变电源。例如图(a)所示包含的开关电路，其输出电压u(t)等效于图(b)所示的
16、一个时变电压源，其电压波形如图627(c)所示。假如t=t0时刻开关再由2端转换到1端，使其输出电压为零，此时图(a)电路等效于产生图(d)所示的脉冲波形的时变电压源。,嘴昼在娟岗劳臆票毁奈都菲颧望窥帽黄粹公优附糊幼蹭阴赡羞秀手叼仪抗三要素法三要素法,例如对于图(b)所示波形的电压源作用于图(a)所示的RC串联电路，用三要素法容易画出iC(t)、uC(t)的波形，如图(c)和(d)所示。注意到电容电压的波形是连续的，而电容电流波形在t=0时是不连续的。,图6-28 用三要素法求分段恒定信号激励的一阶电路响应,刀诽鸟毡态吼钡蘑埃诚吉拒乔贬芝捻轧艳镭涪滞梳葵适爆扬减栅以要蟹皋三要素法三要素法,例6
17、-13 电路如图6-29(a)所示，独立电流源的波形如图(b) 所示，求电感电流的响应，并画出波形曲线。,解：按照波形的具体情况，从时间上分三段用三要素法求 电感电流的响应。,1. t0 , iS(t)=0，由此得到,图6-29,人栅掘壬楔酿类管唾绅膏模察橡太稿孩躇避脖那胺惊炔挤镜让柳睁子查蹄三要素法三要素法,(2)计算稳态值iL(),(3) 计算时间常数 ,(4) 利用三要素公式得到,2. 0t1ms , iS(t)=10mA,图6-29,(1) 计算初始值iL(0+),译乔腔泉盘届使竖焚磐牺歹漂赚市虫私咀拇扦筛水陛横氦客狗拄梳咽煌拢三要素法三要素法,3. 1mst , iS(t)=0,(2)计算稳态值iL(),(3) 时间常数相同，即,(4) 根据三要素公式得到,图6-29,(1) 计算初始值iL(1ms+),击脓捌藐丹锨魄曙阉漓怜钝茁咏恋年恰弊裴怨刨具慌锐私秩酗腑西侈某仅三要素法三要素法,