不定积分技巧总结.pdf

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1、不定积分技巧总结不定积分技巧总结 作者作者: :蔡浩然蔡浩然 题记题记题记题记：不定积分不定积分不定积分不定积分，是一元函数积分学的基础是一元函数积分学的基础是一元函数积分学的基础是一元函数积分学的基础，题型极多题型极多题型极多题型极多，几乎是每几乎是每几乎是每几乎是每 一道题就一种题型。乍一看感觉思路很乱，很难把握其中的规律一道题就一种题型。乍一看感觉思路很乱，很难把握其中的规律一道题就一种题型。乍一看感觉思路很乱，很难把握其中的规律一道题就一种题型。乍一看感觉思路很乱，很难把握其中的规律， ， ， ， 结果是一做题就凭感觉乱闯结果是一做题就凭感觉乱闯结果是一做题就凭感觉乱闯结果是一做题就凭

2、感觉乱闯，运气好运气好运气好运气好，有时可以闯出来有时可以闯出来有时可以闯出来有时可以闯出来，有很多时有很多时有很多时有很多时 候是闯不出来候是闯不出来候是闯不出来候是闯不出来， 或者碰到了庞大的计算量便到此为止了或者碰到了庞大的计算量便到此为止了或者碰到了庞大的计算量便到此为止了或者碰到了庞大的计算量便到此为止了。 为了在求为了在求为了在求为了在求 不定积分时有一个确切简单的思路，我在此作以如下总结。不定积分时有一个确切简单的思路，我在此作以如下总结。不定积分时有一个确切简单的思路，我在此作以如下总结。不定积分时有一个确切简单的思路，我在此作以如下总结。 首先，除了那些基本积分公式，还要熟记

3、推广公式的有：首先，除了那些基本积分公式，还要熟记推广公式的有：首先，除了那些基本积分公式，还要熟记推广公式的有：首先，除了那些基本积分公式，还要熟记推广公式的有： + + + x c a ac x c a d x c a ac dx x c a c dx cax arctan 1 1 11 1 111 2 2 2 即即即即 + x c a ac dx cax arctan 11 2 【相乘开根作分母，前比后，开根作系数相乘开根作分母，前比后，开根作系数相乘开根作分母，前比后，开根作系数相乘开根作分母，前比后，开根作系数】 另外，另外，另外，另外， xxxxdxtanseclntansec 2

4、 1 sec3+= 最好也可以记下来最好也可以记下来最好也可以记下来最好也可以记下来，因为经常要用到因为经常要用到因为经常要用到因为经常要用到，并且也不难记并且也不难记并且也不难记并且也不难记，括号里面是括号里面是括号里面是括号里面是 xsec 的原函数和导数之和。的原函数和导数之和。的原函数和导数之和。的原函数和导数之和。 一、一、一、一、三角函数篇三角函数篇三角函数篇三角函数篇 原则是：尽量凑微分，避免万能代换。原则是：尽量凑微分，避免万能代换。原则是：尽量凑微分，避免万能代换。原则是：尽量凑微分，避免万能代换。 1.11.11.11.1、 正余弦型正余弦型正余弦型正余弦型 1.1.11.

5、1.11.1.11.1.1、分母二次带常数，分子不含一次项型、分母二次带常数，分子不含一次项型、分母二次带常数，分子不含一次项型、分母二次带常数，分子不含一次项型 + dx xA 2 sin 1 或或或或 dx xA x + 2 2 sin cos 右式可通过变形，分离常数化为左式。而右式可通过变形，分离常数化为左式。而右式可通过变形，分离常数化为左式。而右式可通过变形，分离常数化为左式。而 () + + + AxA xd dx xxA x dx xA 222 2 2 tan1 tan tansec sec sin 1 () Cx A A AA + + + tan 1 arctan 1 1 1

6、.1.21.1.21.1.21.1.2、分母一次带常数，分子常数型、分母一次带常数，分子常数型、分母一次带常数，分子常数型、分母一次带常数，分子常数型 + dx xA xA dx xA 22 sin sin sin 1 () + + dx xA xd dx xA A 2222 cos1 cos sin 特别的，当特别的，当特别的，当特别的，当1=A时，原式就可化为时，原式就可化为时，原式就可化为时，原式就可化为 +dx x xd dx x A 22 cos cos cos 1.1.31.1.31.1.31.1.3、分母一次无常数，分子常数型、分母一次无常数，分子常数型、分母一次无常数，分子常数

7、型、分母一次无常数，分子常数型 () + + dx xBA dx xBxA sin 1 cossin 1 22 () + + dxx BA csc 1 22 特别的特别的特别的特别的， 若分母带常数也可以用此方法化为若分母带常数也可以用此方法化为若分母带常数也可以用此方法化为若分母带常数也可以用此方法化为 1.1.21.1.21.1.21.1.2 的形式的形式的形式的形式， 但是会但是会但是会但是会 复杂一点，此时可以考虑万能代换了。复杂一点，此时可以考虑万能代换了。复杂一点，此时可以考虑万能代换了。复杂一点，此时可以考虑万能代换了。 1.1.41.1.41.1.41.1.4、分母一次无常数，

8、分子一次型、分母一次无常数，分子一次型、分母一次无常数，分子一次型、分母一次无常数，分子一次型 ()() + + + + dx xBxA xBxAjxBxAk dx xBxA xDxC cossin cossincossin cossin cossin 1.1.51.1.51.1.51.1.5、分母带常数括号平方，分子常数型、分母带常数括号平方，分子常数型、分母带常数括号平方，分子常数型、分母带常数括号平方，分子常数型 () 2222 2 , sin 1 sin cos sin 1 BA A b BA B a dx xBA bdx xBA x a dx xBA = = + + + + 其中，

9、左式凑微分，右式为左式凑微分，右式为左式凑微分，右式为左式凑微分，右式为 1.1.21.1.21.1.21.1.2 题型。题型。题型。题型。 1.1.61.1.61.1.61.1.6 连续几个一次项相乘型。连续几个一次项相乘型。连续几个一次项相乘型。连续几个一次项相乘型。 如：如：如：如： xdxxx5sin3sinsin 用积化和差公式拆开成多项相加，再逐项积分。用积化和差公式拆开成多项相加，再逐项积分。用积化和差公式拆开成多项相加，再逐项积分。用积化和差公式拆开成多项相加，再逐项积分。 三个积化和差积化和差公式：三个积化和差积化和差公式：三个积化和差积化和差公式：三个积化和差积化和差公式：

10、 ()()+=sinsin 2 1 cossin ()()=coscos 2 1 sinsin ()()+=coscos 2 1 coscos 方法方法方法方法：从右往左记从右往左记从右往左记从右往左记，先想右边的展开式先想右边的展开式先想右边的展开式先想右边的展开式，约掉的约掉约掉的约掉约掉的约掉约掉的约掉，剩下的就是剩下的就是剩下的就是剩下的就是 左边的式子了。左边的式子了。左边的式子了。左边的式子了。 1.1.71.1.71.1.71.1.7 有理代换有理代换有理代换有理代换 当被积函数满足当被积函数满足当被积函数满足当被积函数满足： ()() ()() cos,sincos,sin-

11、cos,sincos,sin RR RR = =或 时时时时， ， ， ， 可以用可以用可以用可以用cossin=tt或如：如：如：如： ()()() ()()() + + + + + + = dt ttt ttt dt dx xx xt 118 1 12 1 459 16- 1145 cos)sin45( 1 sin 裂项 1.1.81.1.81.1.81.1.8、其他灵活代换、其他灵活代换、其他灵活代换、其他灵活代换 就比如，对于分母为仅含正余弦相乘时，分子为常数时，如就比如，对于分母为仅含正余弦相乘时，分子为常数时，如就比如，对于分母为仅含正余弦相乘时，分子为常数时，如就比如，对于分母为

12、仅含正余弦相乘时，分子为常数时，如 xx 22 cossin 1 时时时时， 可以把分子变成可以把分子变成可以把分子变成可以把分子变成 xx 22 cossin+ 并拆开并拆开并拆开并拆开。 当当当当xxcossin 和的次数之和为偶数时的次数之和为偶数时的次数之和为偶数时的次数之和为偶数时， 又可以想到分子分母同除以又可以想到分子分母同除以又可以想到分子分母同除以又可以想到分子分母同除以 x n cos ，将分母化为正切，分子凑出，将分母化为正切，分子凑出，将分母化为正切，分子凑出，将分母化为正切，分子凑出xdtan 如如如如 xd x x dx x x dx xx tan tan 1tan

13、 tan sec cossin 1 24 3 + 当分子含有当分子含有当分子含有当分子含有 时xxcossin ，也可以想到，也可以想到，也可以想到，也可以想到 ()xxxxcossin21cossin 2 +=+ ， 或者对于或者对于或者对于或者对于 xx 44 cossin+ ，有，有，有，有 xxxxxx 2244222 cossin2cossin)cos(sin1+=+= 。等。等。等。等 等等等等 求解求解求解求解(1)(1)(1)(1) + dx xx xx cossin cossin (2)(2)(2)(2) + dx xx xx 22 44 sincos sincos 1.21

14、.21.21.2、正切正割型、正切正割型、正切正割型、正切正割型 1.2.11.2.11.2.11.2.1、通常通过分子分母同乘上、通常通过分子分母同乘上、通常通过分子分母同乘上、通常通过分子分母同乘上 x n cos 化为上化为上化为上化为上 述正余弦型，不作详细介绍。述正余弦型，不作详细介绍。述正余弦型，不作详细介绍。述正余弦型，不作详细介绍。 如如如如 + + +BxBA xd dx xBxA x dx BxA x 2222 sin)( sin cossin cos tan sec 1.2.21.2.21.2.21.2.2、分母正切一次带常数型、分母正切一次带常数型、分母正切一次带常数型

15、、分母正切一次带常数型 + + + + + + + + + = = tdt AA A dx A tA dx A t dx t t A dx xA A xt tan 1 1 11 tan tan tantan1 tantan1 tantan 1 tan 1 222 1 tan 得到 其中 令 1.2.31.2.31.2.31.2.3、有理代换、有理代换、有理代换、有理代换 当被积函数满足当被积函数满足当被积函数满足当被积函数满足 ()()cos,sincos,sinRR= 时时时时，可可可可 以用以用以用以用 xttan= 二、二、二、二、分式函数篇分式函数篇分式函数篇分式函数篇 2.12.12

16、.12.1、关于裂项（避免待定系数）、关于裂项（避免待定系数）、关于裂项（避免待定系数）、关于裂项（避免待定系数） 逐项裂开即可逐项裂开即可逐项裂开即可逐项裂开即可 ()()() = )( 1 )( 111 CxBxBxAxACCxBxAx 若分母含有二次项则可以用如下方法：若分母含有二次项则可以用如下方法：若分母含有二次项则可以用如下方法：若分母含有二次项则可以用如下方法： ()()()() ()() + + + + + + + Ax Bx BxBA BxAx BxBxAx BABxAx 2 2 2 2 11 )()(11 2.22.22.22.2 关于倒代换关于倒代换关于倒代换关于倒代换

17、倒代换的好处是化简分母（分子复杂无关紧要倒代换的好处是化简分母（分子复杂无关紧要倒代换的好处是化简分母（分子复杂无关紧要倒代换的好处是化简分母（分子复杂无关紧要） ，以便于积分。对，以便于积分。对，以便于积分。对，以便于积分。对 于 形 如于 形 如于 形 如于 形 如 () dx cbxaxdx n + 2 1 的 积 分 ， 可 作 倒 代 换 ， 令的 积 分 ， 可 作 倒 代 换 ， 令的 积 分 ， 可 作 倒 代 换 ， 令的 积 分 ， 可 作 倒 代 换 ， 令 t dx 1 = 化简。化简。化简。化简。 ) 12() 12( 2 1 )2() 1( 1 3 21 1 42

18、+ + = udu xx u x 2.32.32.32.3 有些时候有些时候有些时候有些时候， 不要一看到就分项不要一看到就分项不要一看到就分项不要一看到就分项， 多观察一下多观察一下多观察一下多观察一下。 就比如：就比如：就比如：就比如： + + = + + 173 )173( 173 32 2 2 2 xx xxd dx xx x 2.42.42.42.4 当分母为当分母为当分母为当分母为 1 4 +x 时，有如下几个结论：时，有如下几个结论：时，有如下几个结论：时，有如下几个结论： () () C x x xx xxd dx xx x dx x x + = + + + + + 2 1 a

19、rctan 2 1 2 1 1 1 2 2 1 1 22 2 4 2 () () C xx xx xx xxd dx xx x dx x x + + + = + + + + 12 12 ln 22 1 2 1 1 1 2 2 2 1 1 22 2 4 2 请用上述结论求解请用上述结论求解 + dx x1 1 4。 另外，若分子为一次或三次的式子，直接凑微分就行了另外，若分子为一次或三次的式子，直接凑微分就行了另外，若分子为一次或三次的式子，直接凑微分就行了另外，若分子为一次或三次的式子，直接凑微分就行了 ( ) ( ) + = + 2 2 2 4 1 1 2 1 1 xd x dx x x T

20、ipTipTipTip: : : :分式函数的形式还有很多及其灵活方分式函数的形式还有很多及其灵活方分式函数的形式还有很多及其灵活方分式函数的形式还有很多及其灵活方 法法法法，难以一一列举难以一一列举难以一一列举难以一一列举，下面还有几个例子指出相下面还有几个例子指出相下面还有几个例子指出相下面还有几个例子指出相 应代换应代换应代换应代换， 并计算出结果并计算出结果并计算出结果并计算出结果。 想一想想一想想一想想一想， 为什么会为什么会为什么会为什么会 （或或或或 要）想到如此的代换，它们的作用各自是什要）想到如此的代换，它们的作用各自是什要）想到如此的代换，它们的作用各自是什要）想到如此的代

21、换，它们的作用各自是什 么？适用于什么类型？计算出结果么？适用于什么类型？计算出结果么？适用于什么类型？计算出结果么？适用于什么类型？计算出结果，并加深映并加深映并加深映并加深映 象。象。象。象。 （1 1 1 1） C x x xx dx tx + + + = 2 4 tan 4 11 ln 2 1 1 2 (2)(2)(2)(2) () Ceedx e ee xxte x xx x + + = 2sin 2 1arcsin 1 1 (3)(3)(3)(3) Cxxxdx x x x tx + + = )11ln(lnarccos 1 11 2cos (4)(4)(4)(4) C xx x

22、xx x t x + = ln)ln( ln1 1 2 (5)(5)(5)(5) () () C xxx xxx xx dx txx + + + + =+ 2 1 2 1ln 2 1 11 1 (6)(6)(6)(6) ()() C ab ax xbax dx tabxbtabax + = arcsin2 22 cos)(sin)(， （7 7 7 7） C x x xx dx t x + = 12 2 arcsin 2) 1( 1 1 2 ( ( ( (此题也可以用三角代换解决此题也可以用三角代换解决此题也可以用三角代换解决此题也可以用三角代换解决) ) ) ) （8 8 8 8） + +

23、+ + + 1)( )( 11 22224 3 xx xx xx xx xx xx ee eed dx ee ee dx ee ee （9 9 9 9） x x x x x x x x x x xedxxe dxe x xedxe x x 11 111 )( ) 1 ( 1 1 + + = + + 还有，在求不定积分还有，在求不定积分还有，在求不定积分还有，在求不定积分 dx e xe x x 2 时，令时，令时，令时，令 2= x et 时，时，时，时， 得到得到得到得到 2 2 +=te x 直接两端微分，就得到直接两端微分，就得到直接两端微分，就得到直接两端微分，就得到 tdtdxe x 2= 把整个把整个把整个把整个 （ dxe x ）代回到原式中去，简化计算量。）代回到原式中去，简化计算量。）代回到原式中去，简化计算量。）代回到原式中去，简化计算量。