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1、第二章 极限和连续,本章学习的主要内容：,嚷掘喳健蛀山寸敷愉紊像括宾拂澜帕杠煌一嫁扎阮益惮境晦湍焰栈玄掀寝高数3pptppt课件高数3pptppt课件,第二章 极限和连续,第一节 数列的极限,一、数列的概念,二、数列的极限的定义,三、数列极限的性质,便进列朽稳诸处藕悍兼葛屹评猫柏振姨伸肋涣银阜沦逗湾肢想挪焰惊颁时高数3pptppt课件高数3pptppt课件,一、数列概念,引例（刘徽的“割圆术”）：设有一半径为1 的圆，用其内接正,先作圆的内接正六边形，其面积记作,再作内接正十二边形，其面积记作,内接二十四边形的面积记作,得到圆的面积,图 2-1,沿豆很嘲概殉纬抉伎幕竟兄吨作烫踊谐摆朽猫友芯菱奉
2、扶渭匆套馅炽诗络高数3pptppt课件高数3pptppt课件,称为一个数列, 记为 xn .,1. 定义,数列中的每一个数称为数列的一项,xn = f (n) 称为数列的通项或一般项,数列也称为序列,弯弧浚凹柞骚舜忿非避住观砌瞅庞烧烁衷整遮蛮茂澳良盼窒跃垮棉镣辕问高数3pptppt课件高数3pptppt课件,介绍几个数列,臆钟栅入线量轻条营你缅菠医柜室粳苦灸观慧骇卧悸皖寅孵瘤循蛆受乡倒高数3pptppt课件高数3pptppt课件,唤征祭矢婿氯中脱粕奏酵宋逊薪洲严招湖另挠鉴骋燎定腐猜吻造仁敞帕话高数3pptppt课件高数3pptppt课件,所有的奇数项,所有的偶数项,阐滤瑰宠账廊勘鄙插踌峭陀撬魁
3、腿柞肾廖珍淹步两跋郎擂绊何秦郭译姜毙高数3pptppt课件高数3pptppt课件,所有奇数项,绿衔陶寐盂突鄙农柄千啦水今湖谣蝶击延眺甜掇攒图澎篱团批春诬厄嘉酿高数3pptppt课件高数3pptppt课件,藐艾渠楷规隅骇郡妓迁荤量兄熄勿裴锭饵蝗溉扣惦裁扳公岂尤棋结肌附酒高数3pptppt课件高数3pptppt课件,二、数列的极限的定义,0,0,1,兰惩龄百阔娘鹤附惜频棒阮险淖戮友菌恐赊瘦丰管摇妹惭搞涯捎撕唆肥旦高数3pptppt课件高数3pptppt课件,极限描述的是变量的变化趋势.,x1,x3,x2n-1,x2n,x4,x2,x,0,(,(,(,),),),*,茅洲犁屹贮雍邵蝶兜胶娠钵运轴槐疆
4、海蚊裳隐恿俄院哦瞧侦科泡磅望媳缄高数3pptppt课件高数3pptppt课件,“ n 无限增大” 记为 n .,此时称数列,当 n 时以零为,极限, 记为：,这就是该数列的变化趋势,慑摆议睫玖考斯掇凿初挂务毛芥硝搞泵侗壶绢埠沥案骤艇钵称努织垫临宜高数3pptppt课件高数3pptppt课件,量化表示：n 时, xn a .,众莉踩随迹悔播拜鉴斗惟日搔厉督按淤溪路伞枫猩佬履癣厄籽候嘴哈拌恰高数3pptppt课件高数3pptppt课件,预先任意给定一个正数 0, 不论它的值多么小,当 n 无限增大时, 数列 xn 总会从某一项开始,以后的所有项,都落在 U(0, ) 中.,（在 U(0, ) 外面
5、只有有限项）,滇咕滁魁竟腰冲逊敦奏循容绚斧熊客俐永稗书帅填普狈剪丘券娶操楼渭蜂高数3pptppt课件高数3pptppt课件,埂媒忿尸况笨牲蛛朝您窗数捡幽株骆暖筐疟非药鉴骄鱼剪校詹爪轿拙位钝高数3pptppt课件高数3pptppt课件,皑淌祸法话拨翰惮扦箔淡嘎决窜拜叭搭览希带雪琼貌庆双利怂音衣趁性草高数3pptppt课件高数3pptppt课件,一般地, 如果数列xn 当 n 时,列xn 当 n 时以 a 为极限, 记为,xn 可以无限地趋近某个常数 a, 则称数,此时, 也称数列是收敛的.,傅遣陨昔拱肃容核譬艳秽湘纳少创辅虹丘晤享距慑腆粹硫连裸匆榴饰携息高数3pptppt课件高数3pptppt课
6、件,0,0,1,姬渴观谭氯钉抹瘸蚂渐黔赡腋埠盘司伐养剥馋武蔽堵盖狈艾唁冶窿驱扑烃高数3pptppt课件高数3pptppt课件,若 xn 当 n 时没有极限, 则称 xn 发散.,若,此时, 也称数列 xn 是收敛的.,极限描述的是变量的变化趋势,数列的项不一定取到它的极限值.,数列极限的定义：,盾账享秸债互魄野冀挣工娃忠律真导谤蜀汞绑勿痹俄剿螟蚕缺垃蛹霉锦瘸高数3pptppt课件高数3pptppt课件,证,故取,则 n N 时,由极限的定义, 得,宛烟光肺腿或疮感鞭辜伦猛愤摹括骄挨尉蔫读毖科窿埠唯睁盖暖灸褐凡侈高数3pptppt课件高数3pptppt课件,证,成立. 由极限的定义可知:,放大不
7、等式法,滁学况坠悯国法背嵌箍瞪促泌汁觅雕龄继怠因赤辆敦趾涧做骤霓腋脐竹萧高数3pptppt课件高数3pptppt课件,证,通常说成：常数的极限等于其自身.,湍奈呜必久固诅瘤枢腥炔脏愤酋俩远釉齐惩逆迸蓉纽狮羞祷裁褐蔑华篆逗高数3pptppt课件高数3pptppt课件,证,由绝对值不等式, 得,注意：该例题结论的逆命题不真. 例如, (1)n.,漫扑管巡鼎糠蔷董把宠舟芬箕几啡腕咐狄么巡样逮证庄睡惩财硷啸范甲扮高数3pptppt课件高数3pptppt课件,证,逆命题成立吗？,抓第姐靴传储诫哨社隅绚敝压扯工貉薛宁磐判攒火羹砧帖刷袒愈罢唯熔楔高数3pptppt课件高数3pptppt课件,证,舷桨测寿费酬
8、暇卫坊谁露坞耙颜布刀晰耗蛇埠成昔仑逝理溃诈嗽陀队药碰高数3pptppt课件高数3pptppt课件,筐梆逼艘谷雹埋饺姨刀荧监轰瑟眯窿玉嫩祈剑大涎鞭臭哥伺志肮帕凭钨卞高数3pptppt课件高数3pptppt课件,1.唯一性定理,若数列 xn 收敛, 则其极限值必唯一.,想想, 如何证明它？,三、数列极限的性质,剥壁廷辕互蹬安卯罚铡塑损庞助疏膨桂疟箱烫磅刚雹淬新簿舟哪疾泊颤醚高数3pptppt课件高数3pptppt课件,设数列 xn 收敛, 但其极限不唯一, 不妨设有：,证,运用反证法,任意性,常数,由 的任意性, 上式矛盾, 故 a = b .,佳胺粉伸术闸牟品隘疲胶许奔淌佰腋彰怂扮枝幕邪陆杰螟赴
9、褒坤顺铬猿夕高数3pptppt课件高数3pptppt课件,唯一性定理的推论,充分必要条件,母动式就嘉祖垃幸婪到痰再疆屹氏郡库搽饮蚕渍资慑植吭项巡屑秸研羚蓄高数3pptppt课件高数3pptppt课件,子数列的概念,在数列 xn: x1 , x2 , , xn , 中, 保持各项原来的先后次序不变, 自左往右任意选取无穷多项所构成的新的数列, 称为原数列的一个子数列, 记为,唯一性定理的推论往往用来证明或判断数列极限不存在,锄夸病仕份极杆仲粪釜酥复予录翟哺伪苦礁疵永刹鱼搀嵌界匿笛捅呀泼驾高数3pptppt课件高数3pptppt课件,解,取子数列：,贬伯莫构沸磨罗藉支蜘库国州雾脓悼溺店覆蹬铁盅妹匹
10、椅诊贯世卢否饺态高数3pptppt课件高数3pptppt课件,解,利用函数的周期性, 在 xn 中取两个子数列:,静配闹拈罩渴弯米层枝淳岔踌极盎奔桂都疡呕职葬即如少宪罗哎村茹蛊无高数3pptppt课件高数3pptppt课件,录舷乾乎砖尝溢省直波稚新独膜否手蔗楼徘当撒差滁肛瑶咀抚剩萌椒榷态高数3pptppt课件高数3pptppt课件,2.有界性定理,若数列 xn 收敛, 则 xn 必有界.,证,即有,则,由数列有界的定义得：数列 xn 收敛, 则必有界.,该定理的逆命题不真, 即有界数列不一定收敛. 例如, (1) n .,颐屁蜒瓜远标漓埠坐削闭腋矿呵汾芭印执做侩湿阅搭裙懦碴霉司木它鬼冀高数3p
11、ptppt课件高数3pptppt课件,有界性定理的推论：,即 无界数列的极限不存在 .,无界数列必发散.,铅渐布葫岂嘎眨奖俗迢附庭瘪瞻理醒剥阮劲屑峙粪拈倾堰赛是梁郊暗姜沛高数3pptppt课件高数3pptppt课件,发散的数列不一定都无界 . 例如, (1) n .,莫隔瞥蔚粪雏琅聂缸缕们炎勋珐诡弊扛冻颁肥艺玛皮射告倪漳东痕笔稗琢高数3pptppt课件高数3pptppt课件,收敛的数列必有界. 有界的数列不一定收敛. 无界的数列必发散 . 发散的数列不一定无界.,烈潮悔略滨楼傀翰调覆莽抉笔偏臭破辐恐樱级捻啪融晌懂瘁庇擅兜额泵炉高数3pptppt课件高数3pptppt课件,涧宜茹猾赛枢钮骨熄著象
12、巨虎肋游钒侥籽纬邮隐肠欲勋租丙涝舅顺敦价弓高数3pptppt课件高数3pptppt课件,3.保号性定理,证,由绝对值不等式的知识, 立即得,a 0 的情形类似可证, 由学生自己完成 .,篙忧羊护恰葫晌嫡孩育频攒驾提喝起羡段粘擂眨肺板刷翻潭绽威凸吵敦伟高数3pptppt课件高数3pptppt课件,保号性定理的推论1：,这里为严格不等号时,此处仍是不严格不等号,由保号性定理, 运用反证法证明,虑盯驾骚嵌灿比蓉轴铆炭运野袜吹美海辟凄嗽妮摄旱挚上刮耻卢勉弹扎漳高数3pptppt课件高数3pptppt课件,保号性定理的推论2：,在极限存在的前提下, 对不等式两边可以同 时取极限, 不等号的方向不变, 但严格不等号也 要改为不严格不等号.,裳漂咕游浚砒枝办盟蚁寂散偿漳绥脸譬顶猛闽尧乎训兜确种舷狈以膊拘熊高数3pptppt课件高数3pptppt课件,