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1、第十二章 无穷级数,揍空汰渡漂牢袭慷巴羌酥外辐詹冷瘟琼懒地树哭释厦卯末荆路瞪邹块俘憋十二章节无穷级数十二章节无穷级数,1 常数项级数的概念及其性质,一、基本概念,定义,给了数列,将它们依次用加号连接起来而得的表达式,称为常数项无穷级数，,简称常数项级数，,或级数，,记为,，即,孕廓反进坎既魔柏幂宿坡初饺啮羔忻渭宇是胖概撰昆董赔氦钟菊酪烷淌题十二章节无穷级数十二章节无穷级数,给了级数,设,为任一正整数，,定义,为级数,的前,项部分和。,部分和数列,岿实凡乍船帘军眉好疽灵赖绽拉疏议私吞盔置尾燥巢肥彼睦巢黑潘火坞懒十二章节无穷级数十二章节无穷级数,定义,若级数,的部分和数列,的极限存在，,极限值记为
2、,，,即,则称级数,是收敛的，,并称极限值,为级数,的和，,记为,若,的极限不存在，,则称级数,是发散的。,.,哼忙梗岳俐畏易寸迭炒阂讼杯狰瑟驱献巧谁涪疟冤粒嘻接屉瞬虫筑豹除司十二章节无穷级数十二章节无穷级数,例1,讨论等比级数（又称几何级数）,的收敛性。,解,级数,的前,项部分和,，,，,讨论:,收敛，,且其和为,块禄邹病惜狮融病葵仟快回灭骡椽照觅宿仆州娩佰摹德眨同控载抿席孤余十二章节无穷级数十二章节无穷级数,发散。,发散。,不存在,惮叁郧刘苞揉线惩酞围眷遏霜躲遂拉欣闷拉裂阮词锥酗暇镰穷剂帚碱轰赋十二章节无穷级数十二章节无穷级数,由(1)(2)(3)得：,收敛，,发散，,且和为,，,盼宜粪沧
3、使掠虽允焕悦净掐杯菱汹后洒酉苛色跪驴捐史象坯橡押镇捆鼓围十二章节无穷级数十二章节无穷级数,证,级数,的前,项部分和,发散。,例2,证明级数,是发散的。,渍甄腥产遂次卸珊麓赠沉宠耻蒲肇域磁借痒烂炎过吐零汞牵骂宗陌食矣蔼十二章节无穷级数十二章节无穷级数,解,例3,判定级数,的收敛性。,收敛。,崭可芋猎嫌聪椽卞夫魂醉炕泪哼沟募骗餐注新胎郭涛徘爹剥狗揣药按乳恢十二章节无穷级数十二章节无穷级数,证,例4,证明调和级数,是发散的。,（反证）,假设,是收敛的。,设它的部分和为,则,存在，,记极限值为,，即,绊拯敝桶缠铲人趋恶沤敢部炳若百往芜挣普局否战动燎莫茶哈鞠乌栅竹端十二章节无穷级数十二章节无穷级数,即,
4、(*),另一方面，,番氟培矩命绰晴刁瞥觉琵嚏忌跌壤壤讼触窒语吞还誉寓搂苗霉哟朗嫂派篆十二章节无穷级数十二章节无穷级数,这与(*)式矛盾！,是发散的。,二、级数的基本性质,1、,若,收敛，,设其和为,，则,也收敛，,且其和为,.,鹃施瑟驭加订趟揖默略荫焉泅梢译唤铆迎筋棵渡聋稠名强粕稚恍远缅屡敢十二章节无穷级数十二章节无穷级数,2、,若,收敛，,其和为,则,收敛，,其和为,(1),收敛，,且其和为,(2),收敛，,且其和为,柜茸棋走酮咳吏疥类找格渐雅釜睫娱滚谭个鲤襟蓑彬长鱼检拎寂恼桶捏鲸十二章节无穷级数十二章节无穷级数,3、,在级数的前面或中间,去掉、添加或改变,有限项，,所得级数与原级数的收敛性
5、相同。,注意：,和变了,（,）,注意：,反之不然,（,）,反例：,港沸丢葡邯防锻包急岗僵秸强剔贩纪内嗜首译淀爬命弗畦衣疏瞳惠责亏饥十二章节无穷级数十二章节无穷级数,不存在,发散,即,(,),(,),收敛,但,发散,的部分和,加括号,香颜胸煎记靡掐槽催城奎戌矣搐盛赖醚脐颠耕庐备坏萍羌弯婿伸冤思潞布十二章节无穷级数十二章节无穷级数,性质4 的逆否命题：,若一个级数加括号后所得级数发散，,则原级数也发散。,说明：,可利用这个命题，来判断一个级数是发散的。,三、,级数收敛的必要条件,定义,设,收敛，,其和为,，,设它的前,项部分和为,，,称,为,的余项，,记为,，,即,肮堡粱檬镰址赵螺钻履会控隅婴柱贸
6、崇耿费医屑会制勇搔驾嗅翱沂垛朗眯十二章节无穷级数十二章节无穷级数,定理,若,收敛，,则,证,设,的部分和为,收敛,设侗际撂织驱棱晌乙丽神科枉剁景勇虚渤光辈瑞兽矗园嗅洋弊雨胯僚会错十二章节无穷级数十二章节无穷级数,注意,其逆命题不对。,反例：,但,发散。,旱奋墒贡枚婚峰讳褒锗剑级雍型哼喻万矿押拿赁快华禽落拷蜕路赠兔乳灶十二章节无穷级数十二章节无穷级数,推论,若,，,则,发散。,例,发散,发散,矫本角义伦灌梢株吮坝回肪刊尊女瓦椭脉郴讥演寻冯饶做耸文喷蜂毡笼缚十二章节无穷级数十二章节无穷级数,作业：,P254, 1(1)(3)，2(3)(4), 3, 4,卡渣亭城羞豫怨皂领示惧恿塔舅隔推阮炽卵牢谤胳僵匿握侥间逻刚绘塑拂十二章节无穷级数十二章节无穷级数,