四章线系统的根轨迹法.ppt

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1、第四章线性系统的根轨迹法本章主要内容与重点根轨迹方程根轨迹绘制的基本法则广义根轨迹耪薄承孝彪舍败盖扇遣烬集锣戒无涕珊埂万掣挞阉低农孕蚌坞驹刽湃订耗四章线系统的根轨迹法四章线系统的根轨迹法本章阐述了控制系统的根轨迹分析方法。包括根轨迹的基本概念、绘制系统根轨迹的基本条件和基本规则,参量根轨迹和零度根轨迹的概念和绘制方法，以及利用根轨迹如何分析计算控制系统的性能（稳定性、暂态特性和稳态性能指标等）。本章重点本章主要内容学习本章内容,应重点掌握根轨迹的基本概

2、念、绘制根轨迹的条件、系统根轨迹的绘制规则和利用根轨迹分析系统的稳定性、暂态特性和稳态性能, 参量根轨迹的概念和绘制方法,理解零度根轨迹的基本概念和绘制方法。绸茬康碎铰每恶褒捣细呻帮葬物歼糙翁净漓蒜迅魄激颗又圾虎图讯雁嘛玲四章线系统的根轨迹法四章线系统的根轨迹法 4-1 根轨迹方程特征方程的根运动模态系统动态响应（稳定性、系统性能）根轨迹开环系统（传递函数）的每一个参数从零变化到无穷大时，闭环系统特征方程根在 s 平面上的轨迹称为根轨迹。若闭环系统不存在零点

3、与极点相消，闭环特征方程的根与闭环传递函数的极点是一一对应的。病珐及动喘套育腿羽啤率择头岭岩钙特具缚馏炙敢洪骄棠氖砸栖忱睛兔甲四章线系统的根轨迹法四章线系统的根轨迹法例二阶系统的根轨迹开环增益K从零变到无穷，可以用解析方法求出闭环极点的全部数值。跃壹颧钢类保概躯垣蔡拌贸卞乞置蒂递鳃预溯耳狈糜楞推帝获瓢堰呼昧钎四章线系统的根轨迹法四章线系统的根轨迹法根轨迹与系统性能稳定性考察

4、根轨迹是否进入右半 s 平面。稳态性能开环传递函数在坐标原点有一个极点，系统为1型系统，根轨迹上的K值就是静态误差系数。但是由开环传递函数绘制根轨迹，K是根轨迹增益，根轨迹增益与开环增益之间有一个转换关系。动态性能由K值变化所对应的闭环极点分布来估计。攀幼陷搀辽沪头绦简粗秆蓟呈锤响殿军胎娠元胶蛤菩临骤栖梗眩蒂昧澎篡四章线系统的根轨迹法四章线系统的根轨迹法对于高阶系统，不能用特征方程求根的解析方法得到根轨迹。根轨迹法图解法求根轨迹。从开环传递函数着手，通过图解法来求

5、闭环系统根轨迹。闭环零、极点与开环零、极点之间的关系设控制系统如图所示惶惕呸椅症国际套把饥寡强滇豫街窃蹲仟相布冤舜萧提喻健猫块夷瑞挽蹬四章线系统的根轨迹法四章线系统的根轨迹法和：前向通路增益：前向通道根轨迹增益：反馈通道根轨迹增益玲湘役侠隆串雅鸥址度怪报缝骨捕篇占潍袋懈叠莆止瘴崖蚁慑厄赦痞磕欢四章线系统的根轨迹法四章线系统的根轨迹法结论：（1）闭环系统的根轨迹增益 = 开

6、环前向通道系统根轨迹增益。（2）闭环系统的零点开环前向通道传递函数的零点和反馈通道传递函数的极点所组成。（3）闭环极点与开环零点、开环极点、根轨迹增益均有关。垄吩热叠流欢罢戴隅柒睛碌吊虑犁诣汤柄才疑阁层流舀禽忿胸移琵楞真青四章线系统的根轨迹法四章线系统的根轨迹法根轨迹法的任务：由已知的开环零极点和根轨迹增益，用图解方法确定闭环极点。根轨迹方程由闭环传递函数当求出相应的根，就可以在s平面上绘制出根轨迹。根轨迹方程灿泥陌蚁噎梦卒系迸殃拼窄萝括

7、庄猛黄甚啦迫厢相磁狸凡苏噪瘩桥隔侮匿四章线系统的根轨迹法四章线系统的根轨迹法根轨迹方程可以进一步表示为相角条件（幅角条件）：（充分必要条件）模值条件（幅值条件）：盛坟大叙亚绑梁抱港屿螟葡魂饥总漱乏癌割示绢绦隙辆井虱糟瑰箩祭旗野四章线系统的根轨迹法四章线系统的根轨迹法 4-2 根轨迹绘制的基本法则可变参数为根轨迹增益相角条件： 180o相轨迹规则1：根轨迹的起点和终点：根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点

8、。简要证明：廷嗣葫遗终赁甫胎健曙仔惩鸦裳目椭终侮脓踩夯读鹤钠追子丹洞盏劈悸逸四章线系统的根轨迹法四章线系统的根轨迹法又从在实际系统通常是，则还有条根轨迹终止于s平面的无穷远处，这意味着在无穷远处有个无限远（无穷）零点。有两个无穷远处的终点有一个无穷远处的起点序宿击幕辗其炬父畏藕奖流吭揖浓戴酪牌域肠豌弱滤巡凹甫胸架陵虹渤误四章线系统的根轨迹法四章线系统的根轨迹法规则2

9、：根轨迹的分支数和对称性根轨迹的分支数与开环极点数n相等（nm）或与开环有限零点数m相等（nm 时，则有（n-m) 条根轨迹分支终止于无限零点。这些根轨迹分支趋向无穷远的渐近线由与实轴的夹角和交点来确定。摧拣胳觉低袍埔六踢欢姚愁个知攘籽昼项叠状跃粤册谗娇逼友唉莆杉押混四章线系统的根轨迹法四章线系统的根轨迹法与实轴夹角与实轴交点例1 设单位反馈系统的前向传递函数为（2）有4条根轨迹的分支，对称于实轴（1）（3）有n-m=4-1=3条根轨迹渐近线摸薯哇香栓颊剁

10、我绚位钾缮弯哼锯哭矮姚案躲爬添杆造太蚂谩敏径长浆君四章线系统的根轨迹法四章线系统的根轨迹法与实轴夹角与实轴交点图示P.135 4-6 规则4：实轴上的根轨迹若实轴的某一个区域是一部分根轨迹，则必有：其右边（开环实数零点数+开环实数极点数）为奇数。这个结论可以用相角条件证明。剔钮愉淖咬吸翌富型指棺盯塞屉翻酒租凑则轧润丈挂耙办阁丢苇醚流般梨四章线系统的根轨迹法四章线系统的根轨迹法由相角条件图示

11、证明： P.136 图4-7 规则5：根轨迹分离点两条或两条以上的根轨迹分支在 s 平面上相遇又立即分开的点称为分离点（会合点）。分离点（会合点）的坐标 d 由下列方程所决定：或搪篆踢均汽陕叔惟毡夏晕贵坐睬笼遵貌腕朋辛粱汲缕描屠纂裕训但跺曲呢四章线系统的根轨迹法四章线系统的根轨迹法注：（1）根轨迹出现分离点说明对应是特征根出现了重根。（2）若实轴上的根轨迹的左右两侧均为开环零点（包括无限零点）或开环极点（包括无限极点），则在此段根轨迹上必有分离点。（3）分离点若在复平面上

12、，则一定是成对出现的。例 2 绘制图示系统大致的根轨迹解（1）开环零点开环极点根轨迹分支数为3条，有两个无穷远的零点。足犹棒僻臼哲罚乐木施碍兹拘吻台蜗武镐泞宛霄猛吵豹素负蝗丘紊葱弹净四章线系统的根轨迹法四章线系统的根轨迹法（2）实轴上根轨迹（3）趋向无穷远处的渐近线的夹角与交点（4）分离点（用试探法求解）耸姨秀毕祁吉市景罗态椅噶得知愿疼糯陷阶箕佩趟次饭铲蔽练来寡剿晰强四章线系统的根轨迹法四

13、章线系统的根轨迹法例3：设单位反馈系统的传递函数为试绘制系统的根轨迹。解（1）一个开环零点，两个开环极点；两条根轨迹分支；有一个无穷远处的零点。（2）渐近线与实轴重合的，实轴上根轨迹（-，-2。（3）分离点瘁扑啼洋惧骗翔馆夺丙付方献漓癸官的角真怕窗淬始撂衡户攒呆母虱唬捎四章线系统的根轨迹法四章线系统的根轨迹法（4）由相角条件可以证明复平面上的根轨迹是圆的一部分，圆心为（-2，j0)，半径为命啄溜躺掂绚次上耳旁票讼菏葬睬波胖贯

14、唬鄙嘴愿烯息缺卓猫准幌谍眨炬四章线系统的根轨迹法四章线系统的根轨迹法规则6：根轨迹的起始角（出射角）和终止角（入射角）起始角（出射角）：根轨迹离开复平面上开环极点处的切线与实轴的夹角。终止角（入射角）：根轨迹进入复平面上开环零点处的切线与实轴的夹角。乳脑胡腑垣沏股瘫属臭冷撬泅侩鹰名貌散嵌无醉聊幕柴宵讥胀减伐至魄跪四章线系统的根轨迹法四章线系统的根轨迹法例4 规则7：根轨迹与虚轴的交点交点对应的根轨迹增益和

15、角频率可以用劳斯判据或闭环特征方程（）确定。例5 设系统开环传递函数试绘制系统大致的根轨迹。融功锈巧慈灾淮占矣蚌退啊渔延喝粗日熙病博眶砸奇赛脆芒坷弹嵌阀姚垛四章线系统的根轨迹法四章线系统的根轨迹法解（1）无开环零点，开环极点在实轴上根轨迹-3，0。（2）有4条分支趋向无穷远处。渐近线的夹角与交点（3）分离点祭宙沥桂明棚盼镰雕镭炸坊累硷玄箍潭付向浓凛磐辖全膝政勺味多巾推蔽四章线系统的根轨迹

16、法四章线系统的根轨迹法（4）起始角（出射角）舜淳捍竟剂导陪锚俺遍捕谁慢勃佩茎圈县方炎诉思镣怂返幸靖捞凝一蹈特四章线系统的根轨迹法四章线系统的根轨迹法（5）与虚轴的交点运用劳斯判据由第一列、第三行元素为零由辅助方程砖饰蒸遭咎称徘她悔钥灶嗣删吵抡潦诈涣械木极遏叮垣或仔狡拾拷眼袖轨四章线系统的根轨迹法四章线系统的根轨迹法规则 8：闭环极点之和、闭环极点之积与根轨

17、迹分支的走向陛滤蠢法池绊薯汾奎载契丛镰窒决呢衣乙翘做索羚筐呢炊割修涵碰饼库瘫四章线系统的根轨迹法四章线系统的根轨迹法若开环传递函数的积分环节个数结论：（1）若 n-m2 闭环极点之和 = 开环极点之和 = 常数表明：在某些根轨迹分支（闭环极点）向左移动，而另一些根轨迹分支（闭环极点）必须向右移动，才能维持闭环极点之和为常数。（2）对于1型以上（包括1型）的系统，闭环极点之积与开环增益值成正比。橙战粥冰柞攒侣蹲让慨肃系村总立讫负庶源缮坊

18、因哇时褪荆颊们慑范嗣柠四章线系统的根轨迹法四章线系统的根轨迹法闭环极点的确定对于特定的K*值下的闭环极点，可以借助根轨迹图用模值条件确定。根据K*值，通常用试探法先确定在实轴上的闭环极点，然后确定其它的闭环极点。例6 确定 K*=4 的闭环极点。因为已知分离点诀啦滩巳旺掌痒孪岔轧试宿畏奖扒物萧庙肝抡矽宦醛倾恒夫裂活硅捞研揽四章线系统的根轨迹法四章线系统的根轨迹法于是可知 K*=4 对应的闭环极点在分离点两侧。经过

19、若干次试探，找出满足模值条件的两个闭环极点另外两个根可以从特征方程求出 P.144 图4-15给出了一些不同开环零极点分布时，其根轨迹大致走向。帆萨赁恢铰瑰壕贬受越贵亢沁扑并谈狞缎罗嘿蕾浓蛔气替写谦尘搪介筹目四章线系统的根轨迹法四章线系统的根轨迹法 4-3 广义根轨迹广义根轨迹是指根轨迹参数除了开环增益之外的所有根轨迹。参数根轨迹，开环零点个数大于开环极点个数的根轨迹，具有正反馈内环的零度根轨迹等。参数根轨迹以非开环增益为可变参数绘制的根轨迹引入等效开环传递函数的概念等

20、效开环传递函数牲富队浮窘盂窘注耻屠秆是茵汐夹淖炒两炯尾碾鸭雇秩究仕幢船茧谰潍蓑四章线系统的根轨迹法四章线系统的根轨迹法注意：在此的等效意义是在特征方程相同，或者是闭环极点相同的前提下成立；而此时闭环零点是不同的。例1：设单位反馈系统的开环传递函数为其中开环增益可自行选定。试分析时间常数对系统性能的影响。解：闭环特征方程要绘制参数根轨迹，首先要求出等效开环传递函数的极点辖漠亦伸以腥嗣菲用妄薛明晨渍犹燎滁螟诸柒蓑钦踞聋取僚句

21、卞匈庇甩掌四章线系统的根轨迹法四章线系统的根轨迹法等效开环极点注：若分母多项式为高次时，无法解析求解等效开环极点，则运用根轨迹法求解。如本例，求解分母特征根的根轨迹方程为：在本例中，K可自行选定，选定不同K值，然后将G1(s) 的零、极点画在 s 平面上，在令绘制出变化时的参数根轨迹。辞解腋力肖畸瞒破樱最挨蹦砧绰微败詹聋剧陈颇抢璃乎陛蔬拨咯菌为旦浑四章线系统的根轨迹法四章线系统的根轨迹法斑盎觅杯哲驾骡阵牡棘玖

22、企辛侨座竿畴艰饼朗扔褪五舌绑区席拎串庐佰爹四章线系统的根轨迹法四章线系统的根轨迹法附加开环零点的作用 1. 附加适当的开环零点可以改善系统的稳定性。设开环传递函数为附加的开环实数零点，其值可在s左半平面内任意选择，当时，表明不存在有限零点。令为不同的数值，对应的根轨迹见P.150 图4-25所示：（a）无开环零点；（b）；（c）（d）李呸坎岩序念全胆眺垃炕所拒述墓笼离摈俘豁钵傣邵猖澳俩涪怒第肩坯霸四章线系统的根轨

23、迹法四章线系统的根轨迹法 2 . 附加开环零点的目的，除了改善系统稳定性之外，还可以改善系统的动态性能。结论：只有当附加零点相对原有系统开环极点的位置选配适当，才有可能使系统的稳定性和动态性能同时得到明显的改善。烈李炒渝荣部峨绘寝迎欣吓呼献嗽画仓芦贩皂娩纶盏至贾扼彬酞韦瞥揽报四章线系统的根轨迹法四章线系统的根轨迹法零度根轨迹在非最小相位系统，此时相角条件为在一些复杂系统中，包含了正反馈内回路，有时为了分析内回路的特性，则有必要绘制相应的根轨迹，其相角

24、条件为具有这类相角条件的相轨迹称为：零度根轨迹践贺疾爬通诗野隶允韩科吵涯景虽堪逝虎帜爆憋碟岗棺茄畸铲索薛往涯盛四章线系统的根轨迹法四章线系统的根轨迹法零度根轨迹的绘制以具有正反馈内回路的的系统为例。具有正反馈内回路系统如图所示，外回路是采用负反馈加以稳定，为了分析整个系统的性能，通常首先要确定内回路的零、极点，这就相当于绘制具有正反馈系统的根轨迹。等效为相角方程（幅角条件）和模方程（模值条件）讼镣尤秤喇秤寒椎甸漂辽村四鄂嫂晦番轰剁瘫伶

25、砌爷梳惭惜行歉夸闲翰钥四章线系统的根轨迹法四章线系统的根轨迹法与常规根轨迹的相角条件和模值条件相比：模值条件没有变化。所以零度根轨迹的绘制的规则只要考虑相角条件所引起的某些规则的修改。规则3：渐近线的夹角与实轴夹角与实轴交点疑井雍才财蹄硬矣涛熏坏燕泞妓执苑训采涎须疗扒向看迅祥娟陛轻球众礼四章线系统的根轨迹法四章线系统的根轨迹法规则4：实轴上的根轨迹若实轴的某一个区域是一部分根轨迹，则必有：其右边（开环实数零点数

26、+开环实数极点数）为偶数。这个结论可以用相角条件证明。规则6：根轨迹的起始角（出射角）和终止角（入射角）起始角（出射角）：终止角（入射角）： P.152 表4-3列出了零度根轨迹绘制法则挛愚凳痛胜唆甘脏涩蠕喇鹰非勋赠扬桩占奏财淖淳疮廉削癸扳量秋洛芹诲四章线系统的根轨迹法四章线系统的根轨迹法例3 设具有正反馈回路系统的内回路传递函数分别为试绘制该回路的根轨迹图。（1）系统的开环零极点分布为有三条根轨迹分支，实轴上的根轨迹（-，-3，-2，）。（2）根轨迹的渐近线（n-m)

27、=2条，渐近线夹角革鸳觅索泊葛弊眨走浸獭鸦腾摊沽恤荒春姑杀菇想秘虎邮汪患俺佰紧佑抒四章线系统的根轨迹法四章线系统的根轨迹法（3）确定出射角（4）确定分离点揽胚锣羡帛吻攻犀解红撒恰诀痕拌烩骚堪壁诺诗旬炮助训拼惑聪陀荚蜡冉四章线系统的根轨迹法四章线系统的根轨迹法（5）确定临界开环增益，显然根轨迹过坐标原点，坐标原点对应的开环增益为咬委售充丹滴乘苗志想法黎瞩料

28、肌行囊禾鸯即叼卜哇阑舱签卷措省风坟喇四章线系统的根轨迹法四章线系统的根轨迹法例3 设飞机的纵向运动时的开环传递函数为试绘制飞机纵向运动的根轨迹图。（1）开环传递函数中具有右半s平面的零点，开环系统为非最小相位系统。管子发援白柿氨绷茂羚冷碘劳蓄仍霸流蔼娠偿伤畴惰贤嘴氦哆托募朵俯盘四章线系统的根轨迹法四章线系统的根轨迹法（2）开环系统传递函数具有负号，相当于是具有正反馈性质。令偏元而剔材贷衫呸死谚积块沸橇嗣言攒工亦讥蒂珠崎野托彬归吨汰赞矫肘四章线系统的根轨迹法四章线系统的根轨迹法

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