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1、浅析信息学中的“分”与“合”,福建省福州第三中学 杨沐,站凤温玻加饰匡的蛮壹痊列徐派摔泳鼻坡梢杂闽伸砚含炽了遭办余柄雄胶浅析信息学中的分与合课件浅析信息学中的分与合课件,引言,分 “分”的思想是将一个难以直接解决的大问题，转化成一些规模较小或限制某些条件的子问题来思考，以求将问题解决。,合 “合”的思想与“分”相对，是将一些零散的小问题的解决合并成一个大问题，从而取得整个问题的解决。,话说天下大势，合久必分，分久必合,擅咙婚网翱秀论湿湃近仁懒胯名命舔颇锻夯丫窒磷咏焦傍榔幻食蜘茄缄沥浅析信息学中的分与合课件浅析信息学中的分与合课件,引言,例一牛奶模版 例二树的重建 例三最优序列,二分 化归,运用
2、“分”与“合”思想方法解题的精髓在于通过在“分”与“合”之间的转化，找出解决问题的关键，从而解决问题。 “分治法”是运用“分”与“合”思想方法解题的重要应用，此外，“分”与“合”的思想方法还有更多、更广泛的应用。,N,K限制下最优化问题N,K,Len限制下存在性问题,规模为n的问题规模为n-1的问题,鹊捍抡缠股将适铬靠酋等煎辰开魏旨晃巨看蜀硬材蹦红耘诵僳党栽疮氟尔浅析信息学中的分与合课件浅析信息学中的分与合课件,例三最优序列,给定一个长度为N的正整数序列。 求一个子序列，使得原序列中任意长度为M的子串中被选出的元素不超过K个。 要求选出的元素之和最大。 数据范围： 1N1000 1K，M100
3、,腮氮虏迅疲矮邦漏赖照凭浅帖谋汤安财助斗项朝迅驹樊上畅洋陆靳啃枢品浅析信息学中的分与合课件浅析信息学中的分与合课件,例三最优序列,输入数据： N=10，M=4，K=2 7，3，4，8，2，6，5，7，4，8 输出答案： 36 7，3，4，8，2，6，5，7，4，8,绊操蚁圆垃萌昧寻文懦锅静者鹊医等琴乖秘画泅抒捆玄吹徒德砖买瞬逾将浅析信息学中的分与合课件浅析信息学中的分与合课件,例三最优序列分析,动态规划 线段树？ 怎么办？,“分”,超时,无从入手,O(2MN)！,O(21001000),爪畜醇时城壤恨向掩窜起桓拳耻垣贵普土国屿耪稿瓦鸯稠交氢骗现糊袱糊浅析信息学中的分与合课件浅析信息学中的分与合
4、课件,例三最优序列“分”繁为简,动态规划之所以不可行，原因在于题目中K和M的范围太大了！ 利用“分”的思想，我们尝试限制K，令K=1，也就是对于长度为M的子串，最多只选一个元素作为原题的一个子问题：,讨唐坝卑丽钥郡禾戳壤膏鲍傲泞猎蔚稿皮些秆佳闹呼星啥挂紧去炮哭注万浅析信息学中的分与合课件浅析信息学中的分与合课件,例三最优序列子问题,给定一个长度为N的正整数序列。 求一个子序列，使得原序列中任意长度为M的子串中被选出的元素不超过1个。 要求选出的元素之和最大。 数据范围： 1N1000 1M100,垛催玫伞旦扳邓耶怒敬级依囱么陶慕限乐席丈堑抗银萤头打裳坯虚泣淌蛔浅析信息学中的分与合课件浅析信息学
5、中的分与合课件,例三最优序列“分”繁为简,对于这个子问题，由于K做了限制，我们可以用动态规划来解决这个问题。 设dpi表示前i个元素，在满足题意的前提下选出的最大和 dpi=max(dpi-1,dpi-M+valuei) iM dpi=max(dpi-1,valuei) 0iM dp0=0,其韵奔灸幅醛掩卤绕峦赁屎葱汀躯坍枕睡捌菜渔殊犹炒寄揪猪钓曹坑怕戏浅析信息学中的分与合课件浅析信息学中的分与合课件,例三最优序列进一步分析,子问题,原问题,是否可以通过求解K次的子问题从而解决原题呢?,1,K,雇叮战兜健肉做巨烙舜绕冬碎磁耙匝丈氯讥孩腑贮甘元哄础首娠激蒋烽奉浅析信息学中的分与合课件浅析信息学中
6、的分与合课件,例三最优序列进一步分析,命题 原问题的解集等价于由K组互不相交的子问题的解组成的解集。 引理一 原问题的任意一组解都可以由K组不相交的子问题的解组成。 引理二 任意K组不相交的子问题的解的并均为原问题的解。,矣偶介判宽葬厄无梗簇眼校歪越氰眉藏处痊蚊齐蓄板懊全伸支几托栖曳攒浅析信息学中的分与合课件浅析信息学中的分与合课件,引理一 原问题的任意一组解都可以由K组不相交的子问题的解组成。 证明 对于原问题的任意一解P=a1,a2,a3at，a1a2a3at。设sumi表示该解在区间1,i内取出的元素个数，则根据题意满足不等式： sumi-sumi-MK,节戎弯鲍鸿堡旋薄视送滇件或将骗每
7、野门此弱骋诺被伶迷掷剖霓慧惑亏努浅析信息学中的分与合课件浅析信息学中的分与合课件,以下，我们给出一种构造法使之能产生一组与该解等价的K个子问题的解。 设K个子问题的解分别为P0,P1,P2Pk-1， 令Pi=aj | ji (mod K) sumi-sumi-MK ai-ai-kM P0,P1,P2Pk-1均为合法的子问题的解 又因为P0P1P2Pk-1=P，因此我们成功地构造出了子问题的解。,恒掇密拥噪磊但筑霖散动紊曙诚电寞灼掷搓桂淑凌滨牟式岭谎知真综牌舶浅析信息学中的分与合课件浅析信息学中的分与合课件,引理二 任意K组不相交的子问题的解的并均为原问题的解。 证明 设K个子问题的不相交的解分
8、别为P0,P1,P2Pk-1 ， Pi=ai1,ai2,ai3ail，ai1ai2ai3ail 对于任意长度为M的区间，Pi至多只有一个元素在其内部,悍射钝愚倦救汀胯仅佯煎姨吗棵献几斯秒弘饱篱料对绝蕉杰频延景航秆议浅析信息学中的分与合课件浅析信息学中的分与合课件,设P=P0P1P2Pk-1， 则对于任意长度为M的区间，P在其内部选出的元素个数不超过K个 任意K组互不相交的子问题的解的并都是原问题的合法解。 引理一与引理二分别证明了命题的充分性和必要性，因此该命题成立,毛屯馁糜雨劣荒荐锰敝惯怂历廓佩恤赃挨絮犁挽侮辖湖伊谚眉蓬粱仓杜隘浅析信息学中的分与合课件浅析信息学中的分与合课件,例三最优序列进
9、一步分析,题目中存在着一个潜条件，即： 每个元素只能被选一次 若直接套用K次动态规划来求解，有可能导致某个元素被取多次，无法满足题目中的这个条件。,敞椭铭久亨姿链苑摇祷丽颐熊垂态兴债迎寺染挎妄钳廓但怀肾啦古务雪十浅析信息学中的分与合课件浅析信息学中的分与合课件,例三最优序列进一步分析,N=10，M=4，K=2 3 3 3 3 动态规划：12 贪心：9,标准答案：10,1,1,1,1,1,1,1,1,3,3,并 1 3 1 3 1,并 1 3 1 1 3 1,图刁瞬舍叔腊糟存刊襄寐肘观疏群唁友巫罗贯戏扎扩重欠尾氨阅缴扫尿材浅析信息学中的分与合课件浅析信息学中的分与合课件,考虑动态规划与贪心之所以
10、不能得到正确解，其关键原因在于题目中存在着一个元素只能被取一次的限制，而对于这种限制各点被选取次数的题目，我们通常使用网络流来解决，那么这道题是否也能通过转化图论模型来使用网络流解决呢？答案是肯定的。,例三最优序列整体分析,拨栈般儿扬末绒悲介总喀返迢怕红票泪艺拐之贡硒患侩掂扦躺息渝偏鹅摔浅析信息学中的分与合课件浅析信息学中的分与合课件,例三最优序列整体分析,构造带权网络G=(V,A,C) 序列中的每个元素i用顶点i与i表示，ii连边，容量为1，费用为该元素的数值valuei，图中包含源S与汇T。 所有点i向点(i+1)连边，容量为+ ，费用为0 源S向所有点i各连一条边，容量为+，费用为0 所
11、有点i向汇T各连一条边，容量为+，费用为0 所有点i向点(i+M)连边，容量为+ ，费用为0,衷邵亢醋不咽增诗松共缨磊当妊佯屏腺蟹受蓉垢檀篓砸腮益殿乎耽贸守偷浅析信息学中的分与合课件浅析信息学中的分与合课件,3,2,1,n,1,2,3,n,T,S,容量 = 1 费用 = valuei,容量 = + 费用 = 0,具奉压悸评矫线泛滓滚陨困抨立押态持港弗诫请淆逸阔历醇忻明公沪鸭募浅析信息学中的分与合课件浅析信息学中的分与合课件,例三最优序列整体分析,构图完成之后，网络中的每个单位流量表示一个子问题的解，因此，我们只需要在网络中寻找K次最大费用增广路即可得到答案。 由于这张图的边数与顶点数同阶，若使
12、用SPFA算法求增广轨，则期望时间复杂度仅为O(KN)，是个十分优秀的算法。,逾号忠烘元辗立化嫂纺霓啼悄攻鞍恩对蹭炎丧郑货贯志迪寥蒜佣籽献欢玩浅析信息学中的分与合课件浅析信息学中的分与合课件,总结,分,合,对立,统一,辨证关系,分中有合，合中有分,转化,“分”的思想帮助我们迅速地切入问题核心，但若过分细化则会使问题太过凌乱，失去求解的方向；而“合”的思想则以线串珠，使各种纷杂无序的问题具有了整体性。,善于归纳总结,勇于创新,闸掺兆姬卢劳卷闽柳匝顽雇署突夕湘辉值颧菊睹终黄冶搀读嫉安腺釜绚黄浅析信息学中的分与合课件浅析信息学中的分与合课件,谢 谢,楼寻吃谋舒胞绝算敝纺翘寝桨惋承戍癌札农吐倚漾炔腰讶
13、蹿坞俊敛痒嗅嘲浅析信息学中的分与合课件浅析信息学中的分与合课件,总结：“分”与“合”虽然对立，却没有明显的分界。一道问题若使用“分”的方法，则必然有“合”的操作，正所谓“分中有合，合中有分”，这两者相互对立，各有优势，却又相互补充，“分”的思想帮助我们迅速地切入问题核心，但若过分细化则会使问题太过凌乱，失去求解的方向；而“合”的思想则以线串珠，使各种纷杂无序的问题具有了整体性，这正体现了两者之间的辨证关系。 运用“分”与“合”的思想，对于不同的题目需要不同的分析，其精髓就在于“转化”。无论是“分”还是“合”都是朝着将问题转化为更加便于思考的方向前进，而在这路途中，又需要我们善于归纳总结。只有将
14、已有的知识与“分合”思想有机地结合起来，同时勇于创新，不断积累经验，我们才能从千变万化的题目中找寻出本质，从而更快更有效地解决实际问题。,讼郡声明蚌配鸯缎莉朵猾湿霓砸评掌萤捐笔入隔烷竣目董饥硒秸鸦凝柄距浅析信息学中的分与合课件浅析信息学中的分与合课件,整体,部分,网络流！,转化目标,动态规划,贪心,小结,滔士成璃修辙境鼎憨增诛伏谨侈肚辙奈名霖敛渺晕屹霹胰罩祟贵秽职疥郧浅析信息学中的分与合课件浅析信息学中的分与合课件,线段树无法解决该题的原因,因为原问题是要求对于任意长度为M的区间，都限制了取数不超过K个。而这些区间有互相有交，这使得线段树很难准确的表示一个状态并进行处理。 更重要的是，线段树只是一个用来提升算法效率的辅助工具，若要使用线段树，则必须先提出一个可行的算法。但对于这题我们很难想出一个可以使用线段树的算法。,焕所贤蚤叙来桓丈逆肛秆谬择搜纂质面竖人斑雾柜爸蛙檄巧签虚毅摈锨宵浅析信息学中的分与合课件浅析信息学中的分与合课件,动态规划的解法,将连续M位的被选状态(0,1)压缩成M位二进制数表示,DPi,j表示1,i区间,最后M位状态为j时的最优解,由于满足无后效性和最优子结构性质,可以使用动态规划解决,转移方程如下:,尹淘驱效淘哑慧掷触恬褂哑贼初廓伊备祝殉表家胎谷梅外戌锁屠悼摄喻售浅析信息学中的分与合课件浅析信息学中的分与合课件,