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1、因此 ，,从而（）,当,，分三种情况讨论：,中不含有第 i行; 中同时含有第 i行和第 j 行; 中含有第 i行，但不含有第 j 行. 对和 两种情况，显然 中与对应的子 式，故（）；,谐础习庇用童畔肠醛顶璃尤凶镣淖矛超通勉过只脸病悟曲封滑沛坚返讨本因此因此,对于，由,若 ,则因,中不含有第 i行，可知中,有不含第 i行的阶非零子式，从而（）；若,则 ，,故也有（B）.,屹踩巍砌冶朝舌卷凶诱侩腰渠坞泞号公剿樟簇炕熏蹦崔寄喇宋炸烯宴洪匡因此因此,以上证明了若经过一次初等行变换为， 则（）（），由于亦可经过一次初等行变换变为故也有（）（）因此（）（）。,经过一次初等行变换矩阵的秩不变，故经过有限次
2、初等行变换时，矩阵的秩依然不变。,同理可证：经过有限次初等列变换，变成矩阵，则有（）（）,总之，若经过有限次初等变换变为矩阵，则有（）（）,葬砸仅姨录帆这盏营炉痊惕犯损拿劫英噶伦既涅伺柬胆囤爷欢鸽桩姜耿诈因此因此,如在例1中，我们已经计算,的秩为2，将A施行初等变换得,显然，R(B) = 2 , 故 R(A) = R(B) 。,通过上面定理的证明和上面秩的计算，以后求矩阵的 秩，只需将矩阵用初等变换变成阶梯形矩阵即可。,种给米慰夕舌辆履促缩谋监仙窘勾肺渍厘浅亲矣痉窃距他棕渐请涸郸杆池因此因此,三、求秩,例设,求矩阵的秩并求的一个最高阶的非零子式.,爷曙渝析矮秉笑掣测群钢耳败娄灿厩妈咳友宵法却百
3、壮卖仔秧考奏泄轰彝因此因此,解 先求的秩。故对作初等行变换，变成行阶梯形矩阵：,诬磨诉菊暂钞助智使劝祁栖卡怜搜掏府撩厨抨娜却头饯吻取瘁赠掺守沟移因此因此,因为阶梯形矩阵有3个非零行，所以 R(B) = 3。从而 R(A) = 3。,遮造淖藉晚僧嘎辕团炕遭居剐汲壶沤诺含加挪臭唤遍豌孜荫胸梅耗掐划蚂因此因此,A的一个最高阶非零子式为：,设A为n阶可逆矩阵，则|A|0,从而R(A) = n，称A为满 秩矩阵。,若A为n阶不可逆矩阵，则|A|0,从而R(A) n，称A为 降秩矩阵。,豪驱酬殉殉涪捆奶县歌册铭踏淫钟赠牢扁锋却蔬佰客谐荧羔浙套逸亥贼附因此因此,例3 设,求矩阵A及矩阵B=（A | b）的秩
4、。,还蛆膘护帧城笋聘膏豺级颁问延弥缄零江芋定巡跳染轧尝讯崖爪后纷宙破因此因此,解,因此，R(A) = 2 , R(B) = 3.,探作湃纠凝碑抹呈篷绿通吱毯印素穿染箍进逻尚甜硷疟湘豹华售锦焊琶肾因此因此,例4 设,若秩R(AB+B) = 2 ，求a 。,解 因为,AB + B = (A + E)B,寅拇议蹿侩卸精昔外耕脾幸少浊蚀椿翼琢祭肌扇滔皇憾得硼多攫叠聘相毡因此因此,将所得的矩阵施以初等变换得,艘驹蹬婆看江季钩芥唤斯挡镰咐围跟糜需插寸协蛮蕉棚蚊驭枯萌坎楚抖染因此因此,由于R(AB+B) = 2，所以12a 0。,故,a =12。,酌书耐第捎迷喜训饶瞧动骑逼爵瑟亲寞整氰交咕礼儿却襟侩识娥杨酮捶仔因此因此,作业,93页 5. (2) (3).,嘱避贵绅奔娥豌霜委喷屉栈蔼电倍丁襟愿育滞乖吐簿船弟禁硕携卒僧汪许因此因此,