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1、小班化教案导学案制的教案设计：抛物线的标准方程一、教案目标：.知识与技能使学生了解抛物线的定义，理解焦点、准线方程的几何意义，能够根据已知条件写出抛物线的标准方程，根据所给的抛物线方程写出焦点坐标、准线方程 .过程与方法掌握开口向右的抛物线标准方程的推导过程，进一步理解求曲线方程的方法，通过本节课的学习，培养学生在解决数学问题时能够具备观察、类比、分析、计算的能力 .情感态度与价值观通过本节课的学习，让学生体验研究解读几何的基本思想，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用，进一步体会数形结合的思想.二、教案重难点：、教案重点： 根据抛物线定义推导标准方程；事物间的联系，转化观点；分类
2、的思想方法。、教案难点： 四种形式的标准方程的由来和区分；启发学生心理潜能，培养学生的心理素质。三、教材分析：. 抛物线及其标准方程的地位和作用平面解读几何“抛物线及其标准方程”一节内容主要是抛物线的概念和抛物线标准方程，这是继椭圆、双曲线之后的又一重要内容，有着广泛的应用。根据抛物线定义推出的标准方程，也为以后用代数方法研究抛物线的几何性质和实际应用提供了必要的工具和基础。因此，它是圆锥曲线这章的重要知识点。. 抛物线及其标准方程的教育功能分析抛物线作为点的轨迹，标准方程的推出过程充满了辩证法，处处是数与形之间的对照、翻译和相互转换。而要得到标准方程，必须适当建立坐标系，抛物线作为“无心”的
3、二次曲线 ( 圆、椭圆、双曲线都是有心的二次曲线 ) ，方程对坐标系的依赖关系有其独特的地方。抛物线标准方程的结构和形式不仅依赖于坐标系的选择，还依赖于焦点和准线间的相互位置关系，这是抛物线标准方程有四种形式而不是两种形式的内在原因 ( 椭圆、双曲线只有两种形式的标准方程 ) 。因此，抛物线标准方程的推导是培养辩证唯物主义观点的好素材。四、学情分析：本节课是在学习了椭圆，双曲线的基础上而进行的课，对于学生而言，动点到焦点的距离与到准线的距离只剩下当这两个距离相等时，点的轨迹是什么的这种情况。通过多媒体的演示，让学生先从视觉上感知这样的动点的轨迹是抛物线 ，再通过严格的证明满足这样的条件的点的轨
4、迹确实是抛物线。 接着再利用抛物线的定义推导抛物线的标准方程。五、教案方法探究性设计方法，教案中利用多媒体课件，创设问题情境，激发学生求知欲望，引导学生参与教案过程，体会数学思想方法的应用，展示思路的形成过程，总结规律方法，提高学生分析问题和解决问题的能力 .六、教案环节 ( 与导学案同步 )（一）复习旧知2在初中，我们学习过了二次函数yaxbxc ，知道二次函数的图象是一条抛物线例如：（） y4x2 ，（） y4x2 的图象（展示两个函数图象） ：设计意图： 让学生回顾已学的知识，有利于本节课的顺利进行.（二）讲授新课.课题引入在实际生活中，我们也有许多的抛物线模型，例如年竣工的密西西比河河
5、畔的萨尔南拱门 , 它就是用不锈钢铸成的抛物线形的建筑物。到底什么样的曲线才可以称做是抛物线？它具有怎样的几何特征？它的方程是什么呢？这就是我们今天要研究的内容.（板书：课题 2.4.1抛物线及其标准方程）.抛物线的定义信息技术应用 （课堂中展示画图过程）先看一个实验：如图：点是定点， l 是不经过点的定直线， 是 l 上任意一点，过点作 MHl ，线段的垂直平分线m 交于点。拖动点，观察点的轨迹，你能发现点满足的几何条件吗？（学生观察画图过程，并讨论）可以发现，点随着运动的过程中，始终有, 即点与定点和定直线l 的距离相等。（也可以用几何画板度量，的值）（定义引入）：我们把平面内与一个定点和
6、一条定直线l （ l 不经过点）距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线 . （板书）思考？若在 l 上呢？（学生思考、讨论、画图）此时退化为过点且与直线l 垂直的一条直线 .设计意图： 使学生直观认识抛物线的形成过程. 抛物线的标准方程从抛物线的定义中我们知道，抛物线上的点Mx, y满足到焦点的距离与到准线 l 的距离相等。那么动点Mx, y 的轨迹方程是什么，即抛物线的方程是什么呢？要求抛物线的方程，必须先建立直角坐标系.问题 设焦点到准线 l 的距离为 p( p 0) ，你认为应该如何选择坐标系求抛物线的方程？按照你建立直角坐标系的方案，求抛物线的方程
7、.（引导学生分组讨论， 回答，并不断补充常见的几种建系方法，叫学生应用投影仪展示计算结果）y22 pxp2 ( p0)y 22pxp2 ( p0)y22 px( p0)注意： . 标准方程必须出来，利用课件展示此表格。. 若出现比较复杂建系方案， 可以以引入的字母参数较多为由，先排除计算. 强调的意义。. 教师说明曲线方程与方程的曲线：从上述过程可以看到， 抛物线上任意一点的坐标都满足方程， 以方程的解x, y 为坐标的点到抛物线的焦点的距离与到准线的距离相等，即方程的解为坐标的点都在抛物线上。所以这些方程都是抛物线的方程 .设计意图： 如何建系体现最优化方案，通过严谨细致的分析展现知识的发生
8、、发展形成的过程，进一步加强过程性教案.（选择标准方程）师：观察个建系方案及其对应的方程，你认为哪种建系方案使方程更简单？（学生选择，说明 . 对称轴 . 焦点 . 方程无常数项，顶点在原点）推导抛物线的标准方程 ：如图所示，建立直角坐标系，设KFp （ p0 ）,p,0)xp(2 ，那么焦点 F 的坐标为 2，准线 l 的方程为M (x, y)( xp) 2y 2| xp |设抛物线上的点，则有22化简方程得y 22 pxp 0yDMK OFx(1)方程 y 22 pxp0 叫做抛物线的标准方程p(,0)（）它表示的抛物线的焦点在x 轴的正半轴上，焦点坐标是F2，px它的准线方程是2设计意图
9、： 对标准方程的说明，加深对标准方程的认识.师：在建立椭圆、双曲线的标准方程的过程中，选择不同的坐标系得到了不同形式的标准方程，对于抛物线，当我们选择如图三种建立坐标系的方法，我们也可以得到不同形式的抛物线的标准方程：（学生分前两排，中间两排， 后面两排三组分别计算三种情况，一起填充表格）图形标准方程焦点坐标准线方程( )（ p ） p22 ( )（ p ）p22( )（,p ） p22 ( )（, p ）p22标准方程的特点：、焦参数的几何意义 : 焦点到准线的距离。所以恒有;、只有顶点在原点，焦点在坐标轴上的抛物线，方程才是标准形式；、方程的一次项变量与焦点所在的坐标轴名称相同， 一次项系
10、数的符号决定开口方向；、一次项系数的是焦点的非零坐标。设计意图： 体会数学中的变换，并能够观察出其中的规律。( 三) 例题讲解例（）已知抛物线的标准方程是y26x ，求它的焦点坐标和准线方程,（）已知抛物线的焦点是F 0, 2 ，求它的标准方程 .分析：（）在标准方程下焦点坐标和准线方程都是用p 的代数式表示的，所以只要求出p 即可；（）求的是标准方程，因此所指抛物线应过原点，结合焦点坐标求出p ，问题易解。解：（）抛物线方程为，则焦点坐标是（ 3，），准线方程是 3 .22（）焦点在轴的负半轴上，且p ，2则所求抛物线的标准方程是：x28 y变式训练：(1) 已知抛物线的准线方程是 1 ，求
11、它的标准方程 .4(2) 已知抛物线的标准方程是 , 求它的焦点坐标和准线方程 .解() 焦点是（，），抛物线开口向上，且p ，则2所求抛物线方程是() 抛物线方程是，即 5 ， 524 高考学习网 则焦点坐标是 ( 5 ) ，准线方程是 588例点与点（，）的距离比它到直线的距离小，求点的轨迹方程.解：如右图所示，设点的坐标为（)由已知条件可知， 点与点的距离等于它到直线的距离. 根据抛物线的定义，点的轨迹是以（， ）为焦点的抛物线 . p ，2因为焦点在轴的正半轴上，所以点的轨迹方程为.变式训练：在抛物线上求一点，使到焦点与到点（，）的距离之和最小 .解：如下图所示，设抛物线的点到准线的距
12、离为由抛物线定义可知：显然当、三点共线时，最小 . () ，可设（ ) 代入得故点的坐标为（，）.总结： 将方程化为标准方程判定焦点位置，开口方向写出画草图解决问题设计意图： 掌握四种形式的标准方程的数形特点，并会简单的应用。( 四)课堂检测：判断下列抛物线的开口方向并求出焦点坐标、准线方程： 根据下列条件写出抛物线的标准方程1（）焦点是 F (3,0)x（）准线方程是4（）焦点到准线的距离是 2七、小结：师：下面请同学们回忆一下，这节课学习的主要内容？生：抛物线的定义、焦点、准线、标准方程等基本知识及其相互联系；理解的几何意义，即焦点到准线的距离，；掌握用坐标法求曲线方程的方法，要注意选好坐
13、标系的恰当位置。师：用到了哪些数学思想方法：生：坐标法、数形结合、待定系数法、定义法八、作业：同步练习优化探究课时作业九、板书设计：拋物线及其标准方程拋物线的定义建系方案一建系方案三拋物线的标准方程应用与小结建系方案二例题练习十、教案反思：抛物线是学生接触到第三种圆锥曲线，它相对于椭圆和双曲线而言要简单一些，只是出于其开口有四个方向，所以使得抛物线的标准方程、焦点坐标和准线方程个数较多，形式又很接近，学生便极容易记混。我在设计这节课时，考虑到理科慢班的学生的理解能力和数学基础， 采用引导探究， 将问题简单化，语言通俗化，知识及习题反复的强调，反复的变换及反复的练习，真正达到慢班学生的掌握水平。就整一节课而言，由于学生多次被问题激发，小组一直处于探索创新活动中，课堂气氛跟整体反应还是不错的，积极思考、 参与性较强，课后的作业也完成得好，说明这节课的设计还是比较成功的。但比较遗憾的是觉得自己这节课在给学生思考时间的控制上还做得有欠缺，对学生积极思考提出的各种问题不能一一解答、逐一引导，这些都要在平时的教案中不断锻炼、提高，争取以后能做得更好。