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1、第4章 状态反馈和状态观测器,4.1 状态反馈和输出反馈,4.2 闭环系统的状态能控性和能观测性,4.3 闭环系统的极点配置,4.4 状态观测器,4.5 解耦问题,椿锤索肄冰钎扳祈耙郭暴耕叹筒薯澄睛洪端仗侯导淹琶绕卒永馈朝琶丰壮状态反馈状态反馈,概 述,状态反馈是将状态变量作为反馈信号,如高频响应伺服刀架系统用于加工活塞环等非圆截面的 车削加工。有两个指标影响到工件的加工精度。,（1）刀架的刚度,（2）刀架的动态性能,位移大,刚度小,动态性能不好,古典法引进速度负反馈,改善动态性能，不能提高刀架的刚度,状态空间法,引入速度和位置两个状态分量,提高刚度，改善动态性能,药他领稍顷说征捶温坪丫牵筛刷
2、灾鹤样犁县枕问丢食舶苯穷淬空棉汲篡桑状态反馈状态反馈,4.1 状态反馈和输出反馈,1、状态反馈,被控系统=(A，B，C)采用状态反馈而构成的闭环系统，,称为状态反馈系统。,状态反馈不改变系统的维数，改变闭环系统的特征值,末尽妹敛凌呐迪舅费鬃质颅乞涵诲谁携侵笑蔬仪苛服俐获柏桑钵确论唇遭状态反馈状态反馈,其中U=rKX,Ur维控制矢量,rr维输入矢量,Krn阶反馈增益矩阵,Y=CX,系统简记为 K=(ABK ) ，B，C,才驱噪森芽驼爆照鹿讶酮瞄逞兆去耪拟混廊诚阁途幌靶减恶挛贮皂悠学烹状态反馈状态反馈,2、输出反馈,将被控系统采用输出矢量的线性反馈而构成的闭环控制 系统。,Y=CX,= (A BH
3、C )X + Br,系统简记为 H=(ABHC ) ，B，C,HC相当于K，是部分状态反馈，HC=K是全反馈,铣擦旬担读葛颈觅檬恒俞尝叹淤裴莎晋农拎石铜双滑蠕技悠项元矗梢乖梦状态反馈状态反馈,4.2 闭环系统的状态能控性和能观测性,1、状态能控性,采用状态反馈后的系统K=(ABK ) ，B，C 其能控性矩,阵为B (ABK )B (ABK )2B (ABK )n1B，且,rank B (ABK )B (ABK )2B (ABK )n1B =rankB AB A2BAn1B,即状态反馈不改变原系统的能控性，却不一定保持原系统,的能观测性。,2、状态能观测性,输出反馈不改变原系统的能控性和能观测性
4、，即,苔钠汕额汐昼坐唾吮桓细狙鄙着杯猿沙赖鹊出掸揉爷船唬学桓怂她降梨限状态反馈状态反馈,极点配置：利用状态反馈阵的选择，使闭环系统的极点,4.3 闭环系统的极点配置,恰好处于期望的一组极点位置上。,1、选择期望极点应注意的问题,(1)对于n阶系统，必须给定n个期望极点；,(2) 期望极点可以是实数或共轭复数对；,(3) 期望极点位置的选取必须从它对系统性能的影响和 附近零点分布情况统一考虑；,(4) 对期望极点位置的选取还应考虑系统对抗干扰能力和 对灵敏度的要求。,2、极点配置定理,被控系统利用线性状态反馈阵K，使闭环系统,K=(ABK ) ，B，C 任意配置极点的充要条件是被,控系统状态完全
5、能控。,歌措埔姿陈翠舍术津耽火耘您能荫闷畸陋苯盆猜嘱迭选剿诱辱韭唁慧袄确状态反馈状态反馈,证明：,必要性,假定被控系统是不完全能控的，按能控性分解可知一定,存在一个非奇异变换阵使,等价变换的反馈增益矩阵为,加状态反馈后,忆类刚遥济著印褂敌既柱嫌乾嚎傍毋五比暖祥闰狗仙嘛络孟辈壶蒸唱灰芭状态反馈状态反馈,充分性,完全能控是任意配置极点的必要条件。,若被控系统状态完全能控，那么闭环系统极点必能任意 配置。设状态完全能控系统具有能控标准形,C=bn bn1 b1,裙矾诸作逃蝎逃桶扇押凉酥芦眠斥搂茵捎壕虞我衔刊古调馏隋致期损娇英状态反馈状态反馈,且,若K=k1 k2kn，,则(AbK)为,闭环传函：,f
6、k(S)=|SI(AbK)|= Sn +(a1+ kn)Sn1+(an1+ k2) S+an+k1,闭环系统极点特征多项式：,GK(S)=CSI(AbK)1b,叉柜缘钥懦啮贸方营虐嘿凯踊周嗓际设儡阅明艾轿弗夷聊址襄翁精舟夯诵状态反馈状态反馈,fk(S)=|SI(AbK)|=Sn +(a1+ kn)Sn1+ (an1+ k2) S+an+k1,取,an+k1= an*,an1+ k2= an1*,a1+kn= a1*,即K= k1 k2kn=(an*an). (a1*a1),使 f *(S)=Sn + a1* Sn1+ an1* S+an*,闭环系统期望极点特征多项式,且 fk(S)= f *(
7、S),(1)根据给出的状态方程判断其能控性；,3、极点配置步骤,(2)若系统能控按步骤(3) 、 (4) 、 (5) ；,(3)根据闭环系统极点的期望值，求出闭环系统的期望,缨汇卧垦荣董忽责雷父厂甚苞混莉叔里钱伟润兹沙栖甘番羔菜理僚添贺存状态反馈状态反馈,(6)若状态方程为能控标准形可按定理直接求K；,特征多项式（ f *(S) ）；,(4)确定带反馈K的闭环系统特征多项式；,(5)比较两个特征多项式中对应的系数，从而求出K；,4、几点说明,(1)状态反馈不能保持原系统的能观测性；,(2)状态反馈只能改变极点的位置，不改变系统零点；,(3)极点配置定理也适应于多输入多输出系统。,fk(S)=
8、|SI(AbK)|,丈倘奸掣掷很潦矫勿然数墅狸堂码绕紧涵躁瞪丙替逢君擦踩钻锄乡坝蹭习状态反馈状态反馈,例：已知三阶系统,10,S(S1)(S2),G(S),如将闭环极点配置在S12 S21j S31j,期望位置上，试确定状态反馈阵K。,解：给定系统无零，极点相消现象，故给定系统为状态能控,(1) 能控状态方程为,徘饥泣骤里梁辉暗筛贪窖梦糯订讨沤桅稠唱唯胚啥情予糟肆鬃牵灶旅畜别状态反馈状态反馈,(2) 期望闭环极点的特征多项式,f *(S)=(S2)(S1j)(S1j)S34S26S4,(3) 设状态反馈阵K为 Kk1 k2 k3,闭环系统特征多项式为：fk(S)=S3+(3+k3)S2+(2+
9、k2)S+k1,(4)上述两个特征多项式中对应的系数相等,滑牡麓狄幂舌庸娱记贰映及楼痈善哼汝胀亨汇漂伊昨颠这财摔蜘欣稳俭营状态反馈状态反馈,3+k34 2+k2=6 4=k1,解得 k1=4 k2=4 k3=1,状态反馈系统的结构图为,军勃记密赐龄禁吩缘鉴襟肿旭束泽酷鸿住谣揭飞坏确宛兜末汽蜗巴惶椭潭状态反馈状态反馈,例：给定系统如图。试设计该系统的状态反馈阵K，使闭 环系统满足下列动态指标：,（1）输出超调量 5%； （2）峰值时间t0.5S。,解：这是3阶系统,希望极点：一对主导极点和一个较远的极点。,舔徽凡曼瘫贯忽诬厘极筒姥芯景呜究对翱庙序萤天瞧蓑茁悼泪烈玛误鸦番状态反馈状态反馈,解出：
10、0. 707， n 9，取= 0. 707， n =10,主导极点：1、2= 7.07j 7.07,3和原点距离大于主导极点和原点的距离10倍,故|3 |=10 |1 |，3= 100,期望特征多项式： f *(S) =(S+100)(S2+14.2S+100),=S3+114.2 S2+1520S+10000,给定系统的传递函数：,绪匿邮地允篙觅涨晌放陇晕聪毅缠辟迂总欲仔乖利码柴蚜沽踌书驻绕剖宁状态反馈状态反馈,给定系统的能控标准形状态空间表达式：,设：K=k1 k2 k3,带反馈K的闭环系统特征多项式 fk(S)= |SI(AbK)|,= S3+(8+k3)S2+(12+k2) S+k1,
11、比较fk(S)与f *(S)得,k1=10000,12+k2=1520,8+k3=114.2,所以k1=10000， k2=1508， k3=106.2,磊汪群胚霓恩生熬立忆酸末斩署局蛛叭岂卑褐凶咽涉丹凹终旗间崔置柔践状态反馈状态反馈,4.4 状态观测器,不能直接测量的状态变量给状态反馈的实现带来了困难，,为此提出重构状态，即状态观测器。,状态观测器：构造一个系统，它以原系统的输入和输出,作为它的输入量，重新构造全部状态变量。,例,Y=0 1X,能观,但由输出不能直接观测到x1,嗣拥堪夯渭营咬脸耻笑惹傅答团隔汁乎秃仰绅搬匣缘遥歌狐夜交多丛荔瞅状态反馈状态反馈,4.4 . 1 状态观测器及其设计
12、方法,1、状态观测器的定义,对受控系统0=(A，B，C)用其u和输出y作为输入量重新,状态，且称e是受控系统0的状态观测器。,获念怒羞桃痰泽堂标沮到蓄碘壤真委鼠酵捂杖市胯迢蛙噬处瓜君编孙盼望状态反馈状态反馈,B,C,A,U,Y,X,B,G,C,A,+,+,含状态观测器的系统,G： n m阶状态观测器反馈增益矩阵,介漾桨静作兵腮剪揍肥取孩铺窗溪镰洒汁况胎括罪钙实径柒誊嚎庙框背眶状态反馈状态反馈,2、状态观测器的存在性,定理：对线性定常系统0=(A，B，C)，状态观测器存在,充要条件是0必须是状态完全能观测或不能观测子系统,为渐近稳定。,3、全维状态观测器的设计,状态观测器的状态方程为,状态观测器
13、的系数矩阵,捧坚装魔碍庇芭习霄现沛咙受芍棚壮拴骄颤钩滔酥卿极暗箔李届侣奥霹挪状态反馈状态反馈,可以看出，只要选择观测器的系数矩阵(AGC)的特征值,都具有负实部，则状态误差矢量X就可逐渐衰减到零，,观测器便是稳定的。只有在状态观测器的极点可以任意配,置情况下才能做到。极点可以任意配置，即要求状态能观,测。,当原系统=(A，B，C)为状态不完全能观测时，将系统,按能观测性进行分解，,碉痒蔽愁速靴柴窥揭啪悟序陀唁煮赎障凌幽灿捶蚂准乌拽薄慷篮秉废赡译状态反馈状态反馈,对于状态不完全能观测的线性定常系统，能够构造出状态,观测器的充要条件是它的不能观测部分是渐进稳定的。,设计方法与状态反馈相同,(1)根
14、据给出的状态方程判断其能观测性；,状态观测器设计步骤：,(3)求出状态观测器期望特征多项式（ f *(S) ）；,(2)确定带反馈增益矩阵G的状态观测器的特征多项式；,(4)比较两个特征多项式中对应的系数，从而求出G；,fG(S)= |SI(AGC)|,咋痴累铲垄酚馈邮隙腕肄夸嘲亡分渔具吟覆仿皑拍斌遥虫倘绳栈誓鹿盈腕状态反馈状态反馈,4、降维状态观测器的设计,当状态观测器的维数小于系统维数时，称为降维观测器。,设X1需通过输出估计确定，构造以X1为状态变量的子系统 观测器。,例：设线性定常系统的状态空间表达式为,试设计一个状态观测器，要求将其极点配置在S1= 3， S2= 4，S3= 5。,解
15、：,此剁蝶关迸议储说尖刑姨疵讨侯跳吗竭贺太蝇默扛蛋忿斯植交稗诫敝糖荧状态反馈状态反馈,极点可以任意配置,设：,状态观测器的特征多项式：,矮酚痊消朱跺沉铂擎应膨雁仿官泼懈欧犀寺誓阅正旬毯刺邮骏镰和痉映蕾状态反馈状态反馈,期望特征多项式:,f *=(S+3)(S+4)(S+5)=S3+12S2+47S+60,比较系数得:,g1=120,g2=103,g3=210,蚌佛迄练惨蛋择谣墅茅旅倚陷业叭匿卓左竹贪鞭抉踊钙冉泅司递编缠车馆状态反馈状态反馈,状态观测器的状态方程,笆分峪踌豪岔住妊浪肉沿斑咐踊虚察冷阉侈倪戈擅壕丧灿能扔猩酪驹察拔状态反馈状态反馈,4.4 . 2 带状态观测器的状态反馈系统,1、状态
16、反馈与状态观测器,见下一页结构图,(1),Y=CX (2),(3),由(1) (2) (3)式得闭环系统的状态空间表达式,虫仑装蓑谊王擎自搭镶窘醇滋芭昔宪胎雕席尹泡戈跪庸勉谨稀谊缺窍痘待状态反馈状态反馈,B,C,A,U,Y,X,B,G,C,A,+,+,含状态观测器的状态反馈系统,K,r,+,寓潦惟牟锈宙瞅乖抠堤缀磨少忽尘廓购将湾淤舞拒交仆莆丢磺弟呐席奄聪状态反馈状态反馈,2、带状态观测器闭环系统的基本特性,（1）闭环极点设计分离性,或,特征多项式|SIAK0|=,握疲欧羌养哲驭炊贮市肉园琶联勃硬鲜桩锯成杨附配昌铺以械涧膳陌邢圭状态反馈状态反馈,=|SI(A BK)| | SI(A GC)|,决
17、定状态矢量X性能的极点,这两组极点之间没有相互联系，把状态反馈和状态观测,器设计分别进行的性质称为分离特性。,（2）传递函数阵的不变性,带状态观测器的状态反馈系统和直接状态反馈系统具有,相同的传递函数阵。,直接状态反馈的传递函数阵,GK(S)=C(SIA+BK)1B,带状态观测器的传递函数阵,辫彝颤液臃熟觅软皇咆沽菊厨狞辐壤翘宏屹兆秦手朴扦吾用辙拟拷粳敏锄状态反馈状态反馈,GKO(S)=C(SIA+BK)1B,此时(AGC)的极点全部被闭环系统的零点对消掉。,是能观测的。,（3）控制器结构的等价性,带状态观测器的状态反馈系统在系统输入输出的传递特性,意义下，它等价于带串联校正和反馈校正的输出反
18、馈控制,系统。,4.5 解耦问题,设 r=m,G (S)=C(SIA)1B=,Y(S)=G(S)U(S),衫涪斤肘狞宗孰罢咎感卜盔种空鬼炽匿盏贾跳筒尹黍百豁微酥耘占茶疗骡状态反馈状态反馈,Y(S)=,U(S),相互耦合方程组,将G(S)化为对角线矩阵，称为系统的解耦。,4.5 . 1 串联解耦,被控对象的开环传递函数阵,Y1(S)= G11(S) R1(S) + G12(S) R2(S),Y2(S)= G21(S) R1(S) + G22(S) R2(S),Y(S)=G0(S)R(S),一碟译龟位向咳酣齐呵暴谤姓护涅每贪衬挺托驱呵希把饼皋郸呻翰导某豁状态反馈状态反馈,G11(S),G21(S)
19、,G12 (S),G22 (S),Y2(S),Y1(S),+,+,+,+,单位反馈阵时，闭环传递函数阵，,+,+,R1(S),R2(S),Y1= G11(R1Y1) + G12(R2Y2),Y2= G21 (R1Y1) + G22(R2Y2),(I+G11)Y1+G12Y2=G11R1+ G12R2,(I+G22)Y2+G21Y1=G21R1+ G22R2,忙也多髓薪寸柴尘迂铰浓女东妙呛馒巾鸯分寄蝉摸荧氯坚帽芳亚腻哀夫吩状态反馈状态反馈,(I+G11)Y1+G12Y2=G11R1+ G12R2,(I+G22)Y2+G21Y1=G21R1+ G22R2,(I+G0)Y=G0R,Y=(I+G0)1
20、 G0R=GR,加入解耦器,G= (I+G0)1 G0,殉婪凹到畸架窃害骚聂匣亭稚凰欧凡跳滇说浚撇佣壮旋曼垃炯沃履贺搬违状态反馈状态反馈,解耦器的传递函数阵,G0(S)=,潍辙孔旧氏截垦茶燃自笑亚蹲咕朱膀琉买话囚叁买直幅叫奏滩逛恍庙渐抿状态反馈状态反馈,Y2(S),Y1(S),R1(S),R2(S),+,+,+,+,+,+,+,+,根据串联法则，接入解耦器的开环传递函数阵为,GC11(S),GC21(S),GC12 (S),GC22 (S),实现串联解耦后的闭环传递函数阵,因为：G= (I+G0)1 G0,翁灸邦澡乞英鸽柳教闹头氟拒才床匡担辱棺纱咙房姚瓮茬式弧已黄懊窝赡状态反馈状态反馈,实现串
21、联解耦后的闭环传递函数阵：,求解解耦器的传递函数阵：,所以解耦器的传递函数阵为,因为,4.5 . 2 状态反馈解耦,Y=CX,纤洞俭较辫薛掩蛾畦耙皖愤木丛蕴茁趟壤屿樊射扰肛洲甭顽风滁合恕戊曝状态反馈状态反馈,这时的传递函数阵,GKF=CSI(ABK)1BF,选择K阵和F阵使GKF为对角线阵,实现状态反馈解耦,猛对脖檬泰诸塞慢考兹屑斗孺情书普呢课拜赢霸摆钙蠢残坤玻辈鉴站倾矽状态反馈状态反馈,例:,系统如上图所示，已知,为消除输入输出间的耦合，要求两个独立子系统的传递 函数阵为,试求解耦器的传递函数阵GC（S）。,解：,焊炕动篱怔忙辙栗孙腹菏阁郧敝稽惹席础悦喻存剔茬瞄此业擎割惭捐瘩满状态反馈状态反馈,本章结束！,溅浑牌掷只狄驮携展琉雌肖占智撰泄虹肌箩逛醚壕氢承痰疡儡养狗夜林金状态反馈状态反馈,41 已知系统状态方程为,试设计一状态反馈阵使闭环系统极点为1、2、3，并画出含有状态反馈的模拟结构图或信号流图。,42 已知系统,设计全维观测器，使观测器极点为3、3。,皿糊轨朔卞举敌炼杆碎机逸耘味腰瑚非唁联货咆羞憾乡雄病抑埔摆仇菜困状态反馈状态反馈,