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1、.2015 年温州中学自主招生素质测试数学试题（本试卷满分150 分，考试时间120 分钟）一、选择题： 本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的的四个选项中，只有一项是符合题目要求的请将你认为正确的答案填在答题卷的相应位置41关于反比例函数yx的图象，下列说法正确的是（ ）A 必经过点（ 1， 1）B两个分支分布在第二、四象限C两个分支关于x 轴成轴对称D两个分支关于原点成中心对称x2axby72 已知是二元一次方程组axby的解，则 a b 的值为（ ）y11A 1B 1C 2D 3A3 已知平面上的n 个点，任三个点都能构成直角三角形，则n 的最大值为（ ）A 3B
2、 4C 5D 6M4如图 1， AC 、 BC 为半径为 1的 O 的弦， D 为 BC 上动点，OM 、 N 分别为 AD 、 BD 的中点，则sinACB 的值可表示为BND C（ ）A DNB DMC MND CD图 15已知甲盒中有若干个白球，乙盒中有若干个白球和黑球，白球和黑球的数量均多于3个从乙盒中随机抽取ii 1,2个球放入甲盒中 放入 i 个球后， 从甲盒中取个球是白球的概率记为pii 1,2，则（ ）1A p1p2 ， B p1p2 ， C p1p2 ， D 以上均有可能6 已 知 5 个 实 数 a1, a2 ,a3 ,a4 , a5 满 足 0a1 a2a3a4a5 ，
3、且 对 任 意 的 正 整 数i , j 1i j5，均存在 k k1,2,3,4,5，使得aka jai a10 ； a54a2 ； a32a2a4 ； 当 1i j5 时， aia j 的可能值共有9 个则上述论断正确的有（ ）个AA 1B 2C 3D 4F7二元方程 x3y322的正整数解的组数为（ ）A1xyA 1B 2C3D 48如图2 ，点 D , E, F 分别是ABC 三边上点，且满足EB1C1CD 4DB ， AE4EC ， BF4FA ， AD 、 BE 、 CFBCD两两分别交于A1 、 B1 、 C1 ，若ABC 的面积为 1 ，则图 2A1B1C1 的面积为（ ）.1
4、3316A BCD716731二、填空题：本大题共7 小题，每小题6 分，共 42 分请将答案填在答题卷的相应位置9设 20153 的小数部分为 a ， 20153的小数部分为 b ，则 a1 b2的值为 10若实数 a,b 满足 a 2b 21 ，则 abmax a,b 的最大值为 （其中 max a,b表示 a, b 中的较大者）11 6 名儿童分坐两排，每排3 人要求面对面而坐，但其中两个儿童不可相邻，也不可面对面，有种排法12如图 3，已知正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1， M 为棱 C1D1 的中点，点 P 为平面A1 BCD1 上的动点，则MPB1P 的最小值为 13
5、若正实数 a,b, c 满足1112015，则 ( a b)(b c)(ca) 的值为 abca bcabc14如图 4 是一个残缺的乘法竖式，在每个方框中填入一个不是2 的数字， 可使其成为正确的算式，那么所得的乘积是D1MC1A 1B1PDC22AB图 3图 41，有 ax b1，则对于任意的 0 x1a 的最大值15 对于任意的 0 x， bx22为.2015 年温州中学自主招生素质测试数学试题答题卷一、选择题： 本大题共8 小题，每小题5 分，共 40 分题号12345678答案二、填空题： 本大题共7 小题，每小题6 分，共 42 分9；10；11；12；13；14；15；三、解答题
6、：（本大题共 5 小题， 16 题 8 分， 17、 18、19、20 题各 15 分，共 68 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16y4 x26x中，求自变量x 的取值范围在函数.17 如图 5， M , A, B, C 为抛物线yax2 上不同的四点，M2,1 ，线段 MA , MB , MC 与y 轴的交点分别为E, F , G ，且 EFFG1 ，（1）若 F 的坐标为0,t ，求点 B 的坐标（用 t 表示）；（ 2）若AMB 的面积是BMC 面积的 1 ，求直线 MB 的2解析式 .yCGBFMEAxO图 5.18如图 6，在 ABC 中，BAC 的平分线交 BC 于点
7、M ，点 D 、 E 分别为ABC 的内切圆在边 AB 、 AC 上的切点，点I1 、 I 2 分别为ABM 与 ACM 的内心A求证： DI 12EI 22I 1 I 22DI 1EI 2BMC图 619试求出所有的正整数k ，使得对一切奇数n10 ，数 16n5n 均可被 k 整除.20如图 7，在ABC 中， AD 为边 BC 上的高， DEAB 于点 E ， DFAC 于点 F ，EF 与 AD 交于 G 点，BEG 与CFG 的外心分别为O1 和 O2 ，求证： O1O2 / BC AFGEBDCO1O2图 7.温州中学 2014 年自主招生综合素质测试笔试数学试题答题卷二、选择题：
8、 本大题共8 小题，每小题5 分，共 40 分题号12345678答案DABCACAC二、填空题： 本大题共7 小题，每小题6 分，共 42 分92；105；11384；312；132014；1430096；2154三、解答题：（本大题共 5 小题， 16 题 8 分， 17、 18、19、20 题各 15 分，共 68 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16y4x26x中，求自变量 x 的取值范围在函数解： 2,0U 6,817 如图， M , A, B, C 为抛物线 yax2 上不同的四点， M2,1 ，线段 MA , MB, MC 与 y轴的交点分别为E, F ,G ，且 EF
9、FG 1 ，（1）若 F 的坐标为0,t，求点 B 的坐标（用 t 表示）；（ 2）若 AMB 的面积是BMC 面积的 1 ，求直线 MB 的解2析式 .解：（ 1） F0,t ，可设直线MB 的解析式为ykxt ，由点由点M2,1在抛物线 y ax2 上得 a1， y1x244M2,1在直线 MB 上得1 2kt将 ykxt 代入 y1 x2整理得： x24kx4t 04 xMxB4t 即2 xB4t ， xB2t，从而得 yB t 2.故所求点 B 的坐标为2t ,t 2（ 2）（解法一） F0, t， E0,t1， G0,t 1由（ 1）同理可得点 A 2(t1),(t1)2， C 2(
10、t1),(t 1)2S AMBt2t ， S CMBt 23t2AMB 的面积是BMC 面积的1 ，21 t 23t 22(t 2t ) ，解得 t2 或 t1 （舍去） k12所求直线 MB 的解析式为yx2 ，2（解法二）过点A 作 y 轴的平行线分别交MB , MC 于 L, H ，由 EFFG 得 HLAL ， S AMBS HMB ，又 S CMB2S AMB S HBCS HMB点 H 为 MC 的中点， 2xA2xHxMxC即 4(t1)2 2(t1)解得 t12 从而 k1 x2所求直线 MB 的解析式为 y2218 如图，在ABC 中，BAC 的平分线交 BC 于点 M ，点
11、 D 、 E 分别为ABC 的内切圆在边AB 、 AC 上的切点，点I1 、 I 2分别为与ABM 与ACM 的内心求证：222DI 1EI 2I1 I 2 ADI 1EI2BMC解：设ABC 的内切圆在边BC 上的切点为F ， I 1, I 2 在边 BC 上的射影分别为P, Q .连接 I 1 P ， I 2Q ， I1 M ， I 2 M ， I 1F ， I 2 F 由内心性质知PFBFBPBCBAAC BMBAAMCMAM ACMQA222所以 PMQF易知 I 1MI 2 M ，从而I1 PM MQI 2D所以 I1 PI 1PPMFQ ，从而 I 1PF FQI2PFMQI 2
12、QI 2Q从而易得 I 1FI 2 F ，又 I 1FI 1D ， I 2 FI 2 EI 1I2所以 I 1 I 2 2DI 12EI 2 2 BPMFQ19试求出所有的正整数k ，使得对一切奇数n10 ，数 16n5n 均可被 k 整除解： 16n5n16 5 16n 1 16n 1 5 L 5n 121 16n 1 16n 1 5 L 5n 1故有 2116n5n ，故 k1,3,7,21 均满足条件；下证，对于其他的正整数k 均不满足条件。若k1,3,7,21 ，但是有 k 16n5n ，则 k 1611511 ， k 1613513 ，故有 k 16 216115111613513
13、，即 k 231 511 。显然， k 不能整除5，故只有 k 231。 231117 3考虑 k11， 16n5n2 5n0 mod11 。故只有k1,3,7,21 。20如图， 在ABC 中， AD 为边 BC 上的高， DEAB 于点 E ， DFAC 于点 F ，EF与 AD 交于 G 点，BEG 与CFG 的外心分别为 O1 和 O2 ，求证： O1O2 / BC AFGE证明：延长AD 交ABC 的外接圆于 H ，连接 BH ,CHBDO1O2ECC.易知A, E, D , F 四点共圆所以AEFADFACDAHBA故 E,G , H , B 四点共圆同理， F ,G, H ,C 四点共圆F所以GH 为圆 O1 ,O2 的公共弦GE故 O1O2GHBDCO 1O2又 GH BC所以 O1O2/ BC .H.