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1、概念与数学思想方法在圆锥曲线中的运用河北望都中学汤敏军学习圆锥曲线时首先要掌握好三种圆锥曲线的各自定义及它们的统一定义，这是学好这部分内容的前提和关键。其次要结合各种数学思想，如数形结合、分类讨论、函数和方程及极限等数学思想和方法来剖析和解决问题。本文将结合数学中的各种思想方法对三种圆锥曲线各自定义及统一定义做一综合运用。例 1 如图 :在 ABC中,BC=12, 其它两边AB和 AC上中线长的和为30.(1) 求 ABC的重心 G的轨迹方程 .(2) 求顶点 A 的轨迹方程 .分析 :（ 1）设 AB 的中点为 E,AC的中点为 D,连结 BD、 CE与 AO 的交点，即为 ABC的重心 G
2、，设其坐标为（ x， y）。由已知有 |CE|+|BD|=30 ，如何沟通与重心G 的坐标的关系呢？yAD EGCOBx联想到重心的性质： 重心将中线分成 2：1 的关系，则有 3|BG|+3|CG|=30 ，即 |BG|+|CG|=2022|BC|=12 。这样动点 G 满足到两定点B、 C 的距离和为定值 20 |BC|=12 ，故点 G 的轨迹为：以动点B、 C 为焦点的椭圆，其方程为x2y21001 ( y 0) 。64注：要注意轨迹的纯粹性与完备性的检验，这是学生易忽视的地方。（ 2）利用相关点法（或称代入法）：设 A ( x, y) 则 G( x , y ) ，代入重心 G的轨迹方
3、程，易求得点 A 的轨迹方程为x2y2133900576( y0) 。例 2若以圆锥曲线的一条经过焦点的弦为直径的圆与对应的准线无公共点,则此圆锥曲线为().A.双曲线B.椭圆C.抛物线D.椭圆或双曲线分析：如图 F 为圆锥曲线的一个焦点，对应准线为l ， AB 为过焦点 F的弦， M 为弦 AB 的中点， A、 M、 B 在上的射影分别为G、N、 H。设此圆锥曲线的离心率为e，由圆锥曲线的统一定义：可得 |AF|=e|AG| ， |BF|=e|BH| ，故 |AB|=e （ |AG|+|BH|） =2e|MN| ，故 e= | AB | 。 2 | MN |由于以 AB 为直径的圆与准线 l
4、 相离，因此 e= | AB |1 。2 | MN |故答案选B。第 - 1 -页共 3 页例 3设椭圆 x2y21 的离心率e3,已知点3)到椭圆上的点的最远距离是7 ,则短a2b22P( 0, 24半轴之长 b 等于 ().A.11C.1D.116B.428解：由c3a2b2322ea2 , 得a24， 有 a4b.故 椭 圆 的 方 程 为x2y21,即 x24 y24b2 .4b2b2设椭圆上的任意一点M ( x, y) 到点 P 的距离为 d ,则d 2x2( y3 )23( y1)24b23 其中 y b, b221)若b1 ,即 b1时 ,则 y1时 , (d 2 )min4b2
5、3(7 ) 2, 解得 b1与 b1矛222482盾 .2) 若 b1 ,即 b1时 ,则 yb 时 , (d 2 )min b23b9( 7 )2 ,解得 b11. 故224442答案选 C.评析 : 本题中主要运用了分类讨论与函数的思想.不要想当然由数形结合认为一定是短轴的下端点距离点P 最远 .例如将 7 改为7同学们可做一个变式训练会发现这种认识是错误的.4做此题也有用构造圆 x2( y3) 2(7 )2 的方法 ,使此圆与椭圆相切,但要注意这种方法有一24定的缺陷性 .例 4 实轴为A1 A2的双曲线x2y21上有动点 P(与 A、A不重合 ).a2b212直线 A1P 、 A2 P
6、 分别交右准线于M、N 两点，F 是双曲线的右焦点，则 MFN 等于（ ）A.45oB. 60oC.90oD.120o分析 :MFN 的大小应与双曲线的形状及点P 的位置无关。处理此问题时可利用特殊化的方法，使双曲线的方程及点P 的坐标均特殊、具体，但是我们发现即使这样处理也很麻烦。不妨让点P 沿双曲线从上方向A2 趋近，此时 M 点沿右准线向Q 点无限接近， N 点沿右准线向下向无穷远处运动，显然此时MFN = 90o，故选 C。这是一种极限的思想方法，也是估算法的一种体现及运用。第 - 2 -页共 3 页例 5 已知双曲线 x2y 2 1(a 0, b 0) 的左、右焦点分别为 F1 、
7、F2 ,若以 F2 为顶点 ,F1 为a2b2焦点的抛物线与双曲线右支相交于点P,且 | PF2| e | PF1 | 8a ,则双曲线的离心率e 为（）.A.3B. 3C.2D. 6分析：如何挖掘题目中给出的已知条件| PF2 |e | PF1 |8a 是解决此问题的关键。由 8a | PF2 | e | PF1 | e(| PF2 | PF1 |) e(x pa23c xp )3c2a,eca化简并整理得 c23a2,即 ec3。故答案选 Aa| PF2|如图，我们看到已知条件 | PF2| e | PF1 |8a的左边提出 e 后，得到|，目e| PF1的是要充分的利用双曲线的第二定义以
8、及抛物线的定义。将到定点的距离|PF1| 、 |PF2| 分别转化到定直线l1： xa2|PQ| 及|PS| ，（双曲线的右准线） 、 l2： x=3c（抛物线的准线）的距离c进而与点 P 的横坐标建立联系，得到一个关于a 与 c 的齐次方程，从而求得离心率e。跟踪练习 :1. 动圆与定圆 x2y 24 y 320 相内切且过定圆内一个定点(0,2),求动圆圆心 P的轨迹方程 .2实轴为A1 A2x2y21上有动点 P(与 A、A 不重合 ).直线 A P 、 A P 分别交椭圆的椭圆a2b21212的右准线于 M、 N 两点， F 是椭圆的右焦点，则MFN 等于（）A.45oB. 60oC.90oD.120o第 - 3 -页共 3 页