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1、6向量的应用一 . 内容归纳1. 知识精讲 : 掌握向量的概念、坐标表示、运算性质，做到融会贯通，能应用向量的有关性质解决诸如平面几何、解析几何等的问题 .2. 重点难点 : 向量的性质及相关知识的综合应用.3.思维方式 : 能换一个角度看问题，善于应用向量的有关性质解题.4. 特别注意 : 向量性质的应用要准确无误，不能想当然.二问题讨论：例 1.已知在 ABC 中， OA OBOB OCOCOA ，则 O 为 ABC 的（ D）A 内心B 外心C重心D 垂心分析： OA OBOB OC OB(OC OA)OB AC 0OB AC ；同理： OC AB, OABC 。故选（ D）练习：若 O
2、 是ABC 内一点， OAOB OC0 ，则 O 是ABC 的（）A 内心B外心C垂心D 重心（课本点击双基第1 题）练习：在 ABCAB BCBC CACA ABcos A 等于3.中，若2，则631例 2已知 a, b 是两个非零向量， 当 a t b(tR) 的模取最小值时， （1）求 t 的值；（ 2）求证： b ( a tb)（解题过程参考课本）例 3：如图，四边形 MNPQ 是 C 的内接梯形， C 是圆心， C 在 MN 上，向量 CM 与 PN 的夹角为 120 0 ，QC QM2 ，（ 1）求 C 的方程；（ 2）求以 M 、N 为焦点且过点 P、 Q 的椭圆的方程。QP（解
3、题过程参考课本）MCN例 4：（ 2002 年高考天津）已知两点M ( 1,0), N (1,0) ，且点 P 使 MP MN ,PM PN , NMNP 成公差小于 0 的等差数列 （. 1）点 P 的轨迹是什么曲线？ （ 2）若点 P 的坐标为 ( x0 , y0 ) ，记为 PM 与 PN 的夹角，求 tan.解： (1) 设 P( x, y) ，则 PM( 1x,y),PN (1 x, y), MN (2,0) MP MN 2 2x,PM PN x 2y 21, NMNP22x ,由题设得第 1页共 2页x 2y 211 2(1x)2(1x)22(1x)2(1x)0x2y 23( x0
4、) ,故点 P 的轨迹是以原点为圆心, 3 为半径的圆在y 轴的右侧部分 .(2) PM PNx02y0212 ，| PM | | PN |(1 x0 )2y02(1 x0 ) 2y02(42x0 )( 4 2x0 )242故cosPMPN1，x0| PM | PN |4x02sin1cos23x02tansin3 x02| y0 |.4x02cos 思维点拔 正确熟练地应用向量的运算性质，同时要善于运用其他数学知识解题.例 5 一条河的两岸平行，河的宽度为d500m ，一艘船从 A 处出发航行到河的正对岸B 处，船的航行速度为 | v1 | 10km/ h ，水流速度为 | v2 |4km
5、/ h .(1) 试求 v1与 v2的夹角 (精确到 10),及船垂直到达对岸所用的时间 (精确到 0.1min );(2) 要使船到达对岸所用时间最少, v1与v2 的夹角应为多少 ?解 (1)依题意 ,要使船到达对岸 ,就要使 v1与v2 的合速度的 方 向 正 好 垂 直 于对岸 ,所以 | v |v12v22100 169.2km/ h ,v1Bvv1与v 的夹角满足 sin0.4 ,240,故 v1与 v2的夹角114 0 ；船v2垂 直 到 达 对 岸 所 用 的 时 间Ad0.50.543h3.3 min .t9.2| v |（ 2）设 v1与v2 的夹角为（如图）， v1与v2 在竖直方向上的分速度的和为| v1 | sin，而船到达对岸时，在竖直方向上行驶的路程为d0.5km ，从而所用的时间为 t0.5，显然，当900 时，t 最小，Bv1即船头10 sin始 终 向 着 对 岸 时 ， 所 用 的 时 间 最 少 ， 为 t0.50.05h 3 min .10Av2 思维点拔 理解物理意义，用向量的知识解决.第 2页共 2页