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1、向量加法运算及其几何意义教学设计【整体设计说明】向量是近代数学中最重要和最基本的数学概念之一，是沟通代数和几何的一种工具。纵观整个中学数学教材，向量是一个知识的交汇点，它在平面几何、解析几何、立体几何以及复数等章节中都有着重要应用。向量的加法是学习向量其他运算的基础，它在实际生活、生产中有广泛的应用，而且学生在高一物理中已学过矢量的合成，这为学生学习向量知识提供了实际背景。高中学生的思维水平已发展到了辩证思维的形成阶段，从能力上讲，他们能通过观察、比较、归纳等方式来认识新知识。结合学生的特点及本节课的内容，笔者在教学中采用了“问题探究”式的教学方法。从学生熟悉的实际问题入手，使学生对向量的加法
2、有一定的感性认识，并且形成各自对向量加法概念的了解，再引导学生抓住实质，抛开个性的东西，抽取共性的内容，在相互交流、启发、补充、讨论中，自己抽象概括出定义，经历了知识的形成过程。然后，通过对概念形成和概念深化中的问题的分析、反思、深化，使学生的思维步步深入，在自我发现问题、自我解决问题的过程中，深刻理解了向量的加法的定义。例题的设置由浅入深。例1主要是为了及时巩固新知识；例2与例3分别用向量的方法解决了实际问题和平面几何问题，使学生对向量的加法的定义在应用中得到深化。数学教学不只是关心学习者“知道了什么”，而应是更多地关注学习者“怎么样知道的”。因此，在教学中笔者注重引导学生主动参与，自主探究
3、问题，并加强合作交流。新教材的教学理念之一是让学生去体验新知识的发生过程，因此本节新授课的设计理念就是“以学生的发展为本”，注重强化数学来源于实践，又应用于实践的意识，同时把思维的训练和能力的培养落实到教学的每一个环节。教学目标一、知识目标掌握向量的加法定义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作出两个向量的和向量；掌握向量加法的运算律，并会用它们进行向量计算。二、能力目标使学生经历向量加法法则的探究和应用过程，体会数形结合、分类讨论等数学思想方法，进一步培养学生的归纳、类比、迁移能力，增强学生的数学应用意识和创新意识。三、情感、态度与价值观目标 设置问题情境让学生认识到课堂知识与实际生活
4、的联系，感受数学来源于生活并服务于生活，体会客观世界中事物与事物之间普遍联系的辩证唯物观主义观点；通过对向量加法定义的探究，培养学生积极参与、大胆探索的精神以及合作意识，同时培养学生学习数学的信心。【说明】以上教学目标的确定，基于以下几点考虑：（1）根据教材分析，向量加法是其他运算的基础，学会向量的加法是教学的基本要求。（2）培养数学的应用意识是当今数学教育的主题，本节课的内容与实际问题联系紧密，更应强化数学来源于实际又应用于实际的意识。 （3）在向量加法的概念中，由于涉及到两个向量有不平行和平行这两种情况，因此有利于渗透分类讨论的数学思想。而在猜测向量加法的运算律时，通过引导学生利用实数加法
5、的运算律进行类比，则能培养学生类比、迁移等能力。教学重点、难点重点：向量加法的两个法则及其应用。难点：对向量加法定义的理解。突破难点的关键是抓住实例，借助多媒体动画演示，不断渗透数形结合的思想，使学生从感性认识升华到理性认识。教学方法结合学生实际，主要采用“问题探究”式教学方法。通过创设问题情境，使学生对向量加法有一定的感性认识；通过设置一条问题链，引导学生在自主学习与合作交流中经历知识的形成过程；通过层层深入的例题与习题的配置，引导学生积极思考，灵活掌握知识，使学生从“懂”到“会”到“悟”，提高思维品质，力求把传授知识与培养能力融为一体。教学过程与方法一、复习引入：（教师提问，学生思考回答）
6、1、复习回顾：（1）向量的定义、表示方法；（2）平行向量的概念；（3）相等向量的概念。2、启发引入：问题：向量能否和数一样进行加法运算？两向量的和是什么？试举例说明：（学生举例，教师归纳，并选取两个实例进行多媒体演示）多媒体演示：（1）2003年春节探亲时，由于台湾和祖国大陆之间没有直达航班，李老先生只好从台北经过香港，再抵达上海，这两次位移之和是什么？（2）有两条拖轮牵引一艘驳船，它们的牵引力均为3000牛，牵绳之间的夹角=60。如果只用一条拖轮来牵引，而产生的效果跟原来的相同，试求出这条拖轮的牵引力的大小和方向。（数的加法启发我们，位移、力的合成可看作数学上的向量加法）二、新课探究：1、概
7、念形成：（1）让学生自己抽象概括出定义。（学生思考并回答，教师鼓励学生发表自己的见解。）可能会有学生用三角形法则定义，也可能会有学生用平行四边形法则定义，还可能会有其他的想法，语言叙述也许会不准确。于是，学生会迫切地想知道向量的加法究竟如何定义？（2）通过阅读课本中的定义，学生完善自己的想法，并会用数学语言描述。（学生阅读课本中的定义，教师利用多媒体演示两向量相加）已知非零向量，（如下图），在平面内任取一点，作，再作向量，则向量叫与的和，记作，即。师总结：求两个向量和的运算，叫作向量的加法，这种求向量和的作图法则，称为向量求和的三角形法则，我们规定。即向量加法的定义就是向量加法的三角形法则。（
8、3）向量加法的平行四边形法则。（师提出问题，组织学生讨论）问题一：根据力的合成的平行四边形法则，你能定义两个向量的和吗？问题二：当与平行时，如何作出？（4）师引导学生思考问题。（学生讨论，然后师生共探。）问题：两种求和法则有什么关系？师强调：向量的和仍是一个向量。用三角形法则求和时，作图要求两向量首尾相连；而用平行四边形法则求和时，作图要求两向量的起点平移在一起。向量加法的三角形法则与平行四边形法则是一致的，但两个向量共线时，三角形法则更有优势。例1：已知向量，（如图），求作向量。（学生独立完成，教师用多媒体演示。）ab2、概念深化：问题1：向量的加法满足哪些运算律？试用图形进行验证。（学生动
9、手验证，教师演示）首先，让学生回忆实数加法运算律，类比向量加法运算律，向量加法的交换律由平行四边形法则容易验证。向量加法的结合律的验证则比较困难，教学时，应放手让学生进行充分探索。最后通过下面的两个图形验证加法结合律。问题2：的方向与，的方向有何关系？与，有何关系？（学生讨论，互相启发、补充；教师完善结论）问题3：如何求平面内n（n3）个向量的和向量？（学生思考，讨论，师生共同探究完善）提出问题：若点与点重合，你将得出什么结论？请列举其实际模型。若将个向量的起点重合，再列举其实际模型。3、应用举例ABCDC例2:如图，一艘船从A点出发以 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2
10、km/h。求船实际航行速度的大小与方向（用与水流方向的夹角表示）。（学生独立思考后，教师强调要点，并用多媒体演示。）例3:用向量方法证明对角线互相平分的四边形是平行四边形。（学生解答，教师投影学生答案，师生共同点评）三、练习反馈:（学生练习，在整个练习过程中，教师做好课堂巡视，加强对学生的个别指导）1、向量表示“向东走2km”，向量表示“向南走km”，则表示_。2、在四边形中，+=_。3、书P84练习1、4。四、归纳小结：（先由学生总结，然后师生共同归纳完善）1、向量加法的三角形法则和平行四边形法则；2、向量加法的运算律；3、数形结合的数学思想方法。五、作业布置：（书面作业要求所有学生都要完成
11、，研究与思考只要求学有余力的同学完成）1、书面作业：P91习题2.2 2、3、4、7。2、研究与思考：（1）为三角形ABC内一点，+=，则是三角形ABC的（ ）。A、内心 B、外心 C、垂心 D、重心（2）例2中若船想以km/h的速度垂直到达对岸，问船航行速度的大小和方向是多少？【说明】1、复习引入的设计能使学生对本节课所必备的基础知识有一个清晰准确的认识，分散教学难点。问题设在学生的“最近发展区”内，可引发学生的积极思维，使学生根据新的学习任务主动提取已有知识。而且从学生熟悉的实际问题引入，并借助多面体辅助作用，能让学生在具体、直观的问题中观察、体验，形成对向量加法概念的感性认识，为突破难点
12、奠定基础。2、在新课探究中教师把探求新知的权利交给了学生，为学生提供宽松、广阔的思维空间，让学生主动参与到问题的发现、讨论和解决等活动中来，进一步培养学生良好的学习习惯。（1）通过多媒体动画演示，使静态的知识以鲜活的面容呈现在学生的面前，既帮助学生理解定义，又渗透了数形结合、分类讨论思想。同时在比较中掌握知识，为灵活应用公式打下基础。对向量加法定义的理解是本节课的难点，通过层层深入的问题设置，将难点化解在三个符合学生实际而又令学生迫切想解决的问题中。及时巩固新知识。使学生熟悉求两个向量的和向量的几何作图技能，并通过例题掌握求和作和的方法和技巧。（2）引导学生类比实数加法的运算律，得出向量加法的
13、运算律，培养学生的类比、迁移能力，同时再次渗透分类讨论的思想。在强调新知识的同时，引导学生及时与旧知识进行对比，使学生体会“向量和”与“数量和”的区别，对向量加法运算的认识更加深入。渗透教学中“一般化”的思想方法，完善知识结构，并使学生体会应用三角形法则的便捷性。并使学生认识到数学与物理间的紧密联系，进一步培养学生的数学应用意识和探索创新能力。（3）使学生进一步加深对知识的掌握，并体验数学在解决实际问题中的作用，增强应用意识。用向量方法证明平面几何问题，不仅开阔了学生的思路，而且再一次体现了向量是沟通几何与代数的桥梁。3、练习反馈的两个习题巩固了学生所学知识，进一步完善认知结构，并且能使学生对自己的学习进行自我评价。让教师及时了解学生的学习情况，以便进一步调整自己的教学。4、在本节课的结尾教师让学生自己从知识、方法两方面进行总结，提高学生的概括、归纳能力。同时，学生在回顾、总结、反思的过程中，将所学知识条理化、系统化，使自己的认知结构更趋完整、合理。5、数学新课程标准提出：“不同的人在数学上得到不同的发展”。每位学生在学习上都有差异，这种差异是客观存在的。因此教师在布置作业时分为两个层次，既巩固所学，又为学有余力的同学留出自由发展的空间，培养学生的创新意识和探索精神，同时为下节课内容作好准备。