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1、第二章矩阵及其运算 1. 已知线性变换: , 求从变量x1, x2, x3到变量y1, y2, y3的线性变换. 解 由已知: , 故 , . 2. 已知两个线性变换 , , 求从z1, z2, z3到x1, x2, x3的线性变换. 解 由已知 , 所以有. 3. 设, , 求3AB-2A及ATB. 解 , . 4. 计算下列乘积: (1); 解 . (2); 解 =(13+22+31)=(10). (3); 解 . (4) ; 解 . (5); 解 =(a11x1+a12x2+a13x3 a12x1+a22x2+a23x3 a13x1+a23x2+a33x3) . 5. 设, , 问: (
2、1)AB=BA吗? 解 ABBA. 因为, , 所以ABBA. (2)(A+B)2=A2+2AB+B2吗? 解 (A+B)2A2+2AB+B2. 因为, , 但 , 所以(A+B)2A2+2AB+B2. (3)(A+B)(A-B)=A2-B2吗? 解 (A+B)(A-B)A2-B2. 因为, , , 而 , 故(A+B)(A-B)A2-B2. 6. 举反列说明下列命题是错误的: (1)若A2=0, 则A=0; 解 取, 则A2=0, 但A0. (2)若A2=A, 则A=0或A=E; 解 取, 则A2=A, 但A0且AE. (3)若AX=AY, 且A0, 则X=Y . 解 取 , , , 则AX
3、=AY, 且A0, 但XY . 7. 设, 求A2, A3, , Ak. 解 , , , . 8. 设, 求Ak . 解 首先观察 , , , , , . 用数学归纳法证明: 当k=2时, 显然成立. 假设k时成立，则k+1时， , 由数学归纳法原理知: . 9. 设A, B为n阶矩阵，且A为对称矩阵，证明BTAB也是对称矩阵. 证明 因为AT=A, 所以 (BTAB)T=BT(BTA)T=BTATB=BTAB, 从而BTAB是对称矩阵. 10. 设A, B都是n阶对称矩阵，证明AB是对称矩阵的充分必要条件是AB=BA. 证明 充分性: 因为AT=A, BT=B, 且AB=BA, 所以 (AB
4、)T=(BA)T=ATBT=AB, 即AB是对称矩阵. 必要性: 因为AT=A, BT=B, 且(AB)T=AB, 所以 AB=(AB)T=BTAT=BA. 11. 求下列矩阵的逆矩阵: (1); 解 . |A|=1, 故A-1存在. 因为 , 故 . (2); 解 . |A|=10, 故A-1存在. 因为 , 所以 . (3); 解 . |A|=20, 故A-1存在. 因为 , 所以 . (4)(a1a2 an 0) . 解 , 由对角矩阵的性质知 . 12. 解下列矩阵方程: (1); 解 . (2); 解 . (3); 解 . (4). 解 . 13. 利用逆矩阵解下列线性方程组: (1
5、); 解 方程组可表示为 , 故 , 从而有 . (2). 解 方程组可表示为 , 故 , 故有 . 14. 设Ak=O (k为正整数), 证明(E-A)-1=E+A+A2+ +Ak-1. 证明 因为Ak=O , 所以E-Ak=E. 又因为 E-Ak=(E-A)(E+A+A2+ +Ak-1), 所以 (E-A)(E+A+A2+ +Ak-1)=E, 由定理2推论知(E-A)可逆, 且 (E-A)-1=E+A+A2+ +Ak-1. 证明 一方面, 有E=(E-A)-1(E-A). 另一方面, 由Ak=O, 有 E=(E-A)+(A-A2)+A2- -Ak-1+(Ak-1-Ak) =(E+A+A2+
6、 +A k-1)(E-A), 故 (E-A)-1(E-A)=(E+A+A2+ +Ak-1)(E-A),两端同时右乘(E-A)-1, 就有 (E-A)-1(E-A)=E+A+A2+ +Ak-1. 15. 设方阵A满足A2-A-2E=O, 证明A及A+2E都可逆, 并求A-1及(A+2E)-1. 证明 由A2-A-2E=O得 A2-A=2E, 即A(A-E)=2E, 或 , 由定理2推论知A可逆, 且. 由A2-A-2E=O得 A2-A-6E=-4E, 即(A+2E)(A-3E)=-4E, 或 由定理2推论知(A+2E)可逆, 且. 证明 由A2-A-2E=O得A2-A=2E, 两端同时取行列式得
7、 |A2-A|=2, 即 |A|A-E|=2, 故 |A|0, 所以A可逆, 而A+2E=A2, |A+2E|=|A2|=|A|20, 故A+2E也可逆.由 A2-A-2E=O A(A-E)=2E A-1A(A-E)=2A-1E, 又由 A2-A-2E=O(A+2E)A-3(A+2E)=-4E (A+2E)(A-3E)=-4 E, 所以 (A+2E)-1(A+2E)(A-3E)=-4(A+2 E)-1, . 16. 设A为3阶矩阵, , 求|(2A)-1-5A*|. 解 因为, 所以 =|-2A-1|=(-2)3|A-1|=-8|A|-1=-82=-16. 17. 设矩阵A可逆, 证明其伴随阵
8、A*也可逆, 且(A*)-1=(A-1)*. 证明 由, 得A*=|A|A-1, 所以当A可逆时, 有 |A*|=|A|n|A-1|=|A|n-10, 从而A*也可逆. 因为A*=|A|A-1, 所以 (A*)-1=|A|-1A. 又, 所以 (A*)-1=|A|-1A=|A|-1|A|(A-1)*=(A-1)*. 18. 设n阶矩阵A的伴随矩阵为A*, 证明: (1)若|A|=0, 则|A*|=0; (2)|A*|=|A|n-1. 证明 (1)用反证法证明. 假设|A*|0, 则有A*(A*)-1=E, 由此得 A=A A*(A*)-1=|A|E(A*)-1=O , 所以A*=O, 这与|A
9、*|0矛盾，故当|A|=0时, 有|A*|=0. (2)由于, 则AA*=|A|E, 取行列式得到 |A|A*|=|A|n. 若|A|0, 则|A*|=|A|n-1; 若|A|=0, 由(1)知|A*|=0, 此时命题也成立. 因此|A*|=|A|n-1. 19. 设, AB=A+2B, 求B. 解 由AB=A+2E可得(A-2E)B=A, 故 . 20. 设, 且AB+E=A2+B, 求B. 解 由AB+E=A2+B得 (A-E)B=A2-E, 即 (A-E)B=(A-E)(A+E). 因为, 所以(A-E)可逆, 从而 . 21. 设A=diag(1, -2, 1), A*BA=2BA-8
10、E, 求B. 解 由A*BA=2BA-8E得 (A*-2E)BA=-8E, B=-8(A*-2E)-1A-1 =-8A(A*-2E)-1 =-8(AA*-2A)-1 =-8(|A|E-2A)-1 =-8(-2E-2A)-1 =4(E+A)-1 =4diag(2, -1, 2)-1 =2diag(1, -2, 1). 22. 已知矩阵A的伴随阵, 且ABA-1=BA-1+3E, 求B. 解 由|A*|=|A|3=8, 得|A|=2. 由ABA-1=BA-1+3E得 AB=B+3A, B=3(A-E)-1A=3A(E-A-1)-1A . 23. 设P-1AP=L, 其中, , 求A11. 解 由P
11、-1AP=L, 得A=PLP-1, 所以A11= A=PL11P-1. |P|=3, , , 而 , 故 . 24. 设AP=PL, 其中, , 求j(A)=A8(5E-6A+A2). 解 j(L)=L8(5E-6L+L2) =diag(1,1,58)diag(5,5,5)-diag(-6,6,30)+diag(1,1,25) =diag(1,1,58)diag(12,0,0)=12diag(1,0,0). j(A)=Pj(L)P-1 . 25. 设矩阵A、B及A+B都可逆, 证明A-1+B-1也可逆, 并求其逆阵. 证明 因为 A-1(A+B)B-1=B-1+A-1=A-1+B-1, 而A-
12、1(A+B)B-1是三个可逆矩阵的乘积, 所以A-1(A+B)B-1可逆, 即A-1+B-1可逆. (A-1+B-1)-1=A-1(A+B)B-1-1=B(A+B)-1A. 26. 计算. 解 设, , , , 则 , 而 , , 所以 , 即 . 27. 取, 验证. 解 , 而 , 故 . 28. 设, 求|A8|及A4. 解令, , 则 , 故 , . . 29. 设n阶矩阵A及s阶矩阵B都可逆, 求 (1); 解 设, 则 . 由此得 , 所以 . (2). 解 设, 则 . 由此得 , 所以 . 30. 求下列矩阵的逆阵: (1); 解 设, , 则 , . 于是 . (2). 解 设, , , 则 .