1、第二十九章投影与视图本章的主要内容包括：1 .投影的基础知识，包括投影、平行投影、中心投影、正投影等概 念以及正投影的成像规律.2 .视图、三视图等概念，三视图的位置和度量规定，一些基本几何 体的三视图，简单立体图形（包括相应的表面展开图）与它的三视图的相互 转化.全章共包括三节：29.1投影；29.2三视图；29.3课题学习 制作立 体模型.第一节首先从物体在日光或灯光下的影子说起， 引出投影、平行投影、 中心投影、正投影等概念；然后讨论当直线和平面多边形与投影面成三种 不同的位置关系时的正投影，归纳出其中蕴涵的正投影的一般规律；最后 以正方体为例，讨论立体图形与投影面成不同的位置关系时的正
2、投影.可 以发现，整个讨论过程是按照一维、二维和三维的顺序发展的.第二节讨论的重点是三视图，其中包括三视图的成像原理、三视图的 位置和度量规定、一些基本几何体的三视图等，最后通过例题讨论简单立 体图形（包括相应的表面展开图）与它的三视图的相互转化.这一节是全章 的重点内容，它不仅包括了有关三视图的基本概念和规律，而且包括了反 映立体图形和平面图形的联系与转化的内容，与培养空间想象能力有直接 的关系.第三节安排了观察、想象、制作相结合的实践活动一一“课题学习 制 作立体模型”，这是结合实际，动脑与动手并重的学习内容，进行这个课 题学习既可以采用独立完成的形式，也可以采用合作学习的方式.应该把 这
3、个课题学习看作是对前面学习的内容是否切实理解并掌握以及能否灵 活运用的一次联系实际的检验.本章内容与其他章有较为明显的区别，它与直观图形的关系密切，需 要在图形形状方面进行想象和判断，要完成的题目多是识图、画图、制作 模型等类型的问题，而很少涉及定量的计算.教学目标1 .以分析实际例子为背景，认识投影和视图的基本概念和基本性质.2 .通过讨论简单立体图形（包括相应的表面展开图）与它的三视图的 相互转化使学生经历画图、识图等过程，分析立体图形和平面图形之间的 联系，提高空间想象能力.3 .通过制作立体模型的课题学习，在实际动手的过程中进一步加深 对投影和视图知识的认识，加强在实践活动中手脑结合的
4、能力.理用分配本章教学约需5课时，具体分配如下:29 1 投影 2 课时29 2 三视图 2 课时29 3 课题学习 制作立体模型1 课时29. 1投影第1课时投影（1）教学目标知识与技能1 .经历实践探索，了解投影、投影面、平行投影和中心投影的概念.2 . 了解平行投影和中心投影的区别.过程与方法使学生学会关注生活中有关投影的数学问题，提高数学的应用意识.情感、态度与价值观理解现实生活中影子的现象，学会用数学知识解答.：AB;(3)当线段AB垂直于投影面P时，它的正投影是一个点A3.探究2.如图，把一块正方形硬纸板 P(例如正方形ABCD放在三个不同位置：(1)纸板平行于投影面；(2)纸板倾
5、斜于投影面；(3)纸板垂直于投影面.结论:(1)当纸板P平行于投影面Q时，P的正投影与P的形状、大小一样；(2)当纸板P倾斜于投影面Q时，P的正投影与P的形状、大小发生变 化；(3)当纸板P垂直于投影面Q时，P的正投影成为一条线段.归纳：当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的 形状、大小完全相同.三、例题讲解例 画出如图摆放的正方体在投影面 P上的正投影.(1)正方体的一个面ABCDP行于投影面 巳 如图(1);(2)正方体的一个面ABC微斜于投影面 巳上底面ADE成直于投影面 P,并且上底面的对角线 AE垂直于投影面P,如图(2).(D(2)解：(1)如图，正方体的正投影为正
6、方形 A B C D,它与正方体 的一个面是全等关系；(2)如图，正方体的正投影为矩形 F G C D,这个矩形的长等于 正方体的底面对角线的长，矩形的宽等于正方体的棱长.矩形上、下两边 中点的连线A B是正方体侧棱即它所对的另一条侧棱 AB的投影.四、巩固练习1 . (1)在一天中，从早晨到傍晚物体的影子由正西向和正东方向移动;(2)如图是小明在学校时上午、下午看到的学校操场上的旗杆的影子的俯视图，将它们按时间顺序进行排列为区 B 答案 (1)西北正北东北 (2)C, D, B 2.如图所示，右面水杯的杯口与投影面平行,所示，*DA投影线的方向如箭头答案D五、课堂小结那么这种投影就称为2 .
7、在平行投影中，如果投射线垂直于投影面, 正投影；如果投射线不垂直于投影面，那么这种投影就称为斜投影.3 .当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形 状、大小完全相同.4 .投影的分类：物体殳影;平行投影M:本节课首先探究正投影的概念，然后以铁丝和正方形纸板的影子为例，讨论当直线和平面多边形与投影面成三种不同的位置关系时的正投影，归纳出其中蕴涵的正投影的一般规律.最后以正方体为例，讨论立体图形与投影面成不同位置关系时的正投影.可以发现，整个讨论过程是按照一维、二维和三维的顺序发展的.29.2 三视图第1课时三视图（1）敦孚目标：知识与技能会从投影的角度理解视图的概念，进一步明确正
8、投影与三视图的关 系.过程与方法培养动手实践能力及空间想象能力.情感、态度与价值观经历探索简单立体图形的三视图的画法的过程，能识别物体的三视 图.重然雅鼎重点简单立体图形的三视图的画法.难点三视图中三个位置关系的理解.教字根计一、问题引入如图所示，直三棱柱的侧棱与水平投影面垂直，请与同伴一起探讨下 面的问题：1 .以水平投影面为投影面，在正投影下这个直三棱柱的三条侧棱的 投影是什么图形？2 .画出直三棱柱在水平投影面上的正投影， 得到的投影是什么图形? 它与直三棱柱的底面有什么关系？平投.向/这个水平投影能完全反映这个物体的形状和大小吗？如果不能，那么 还需哪些投影面？（物体的正投影从一个方向
9、反映了物体的形状和大小，为了全面地反 映一个物体的形状和大小，我们常常再选择正面和侧面两个投影面，画出 物体的正投影.）二、新课教授如图（1）,我们用三个互相垂直的平面作为投影面，其中正对着我们 的面叫做正面，正面下方的面叫做水平面，右边的面叫做侧面.一个物体 （例如一个长方体）在三个投影面内同时进行正投影，在正面内得到的由前 向后观察物体的视图，叫做主视图；在水平面内得到的由上向下观察物体 的视图，叫做俯视图；在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左 视图.如图（2）,将三个投影面展开在一个平面内，得到这一物体的一张三 视图（由主视图、俯视图和左视图组成）.三视图中的各视图，分别从不同
10、方向表示物体，三者结合起来就能够较全面地反映物体的形状. 三视图中, 主视图与俯视图表示同一物体的长，主视图与左视图表示同一物体的高， 左视图与俯视图表示同一物体的宽，因此三个视图的大小是互相联系 的.画三视图时，三个视图要放在正确的位置，并且使主视图与俯视图的 长对正、主视图与左视图的高平齐、左视图与俯视图的宽相等.师：通过以上的学习，你有什么发现？物体的三视图实际上是物体在三个不同方向的正投影.正投影面上的 正投影就是主视图，水平投影面上的正投影就是俯视图，侧投影面上的正 投影就是左视图.三、例题讲解例1画出下图所示的一些基本几何体的三视图.圆柱三枝柱四枝锥球（4）分析：画这些基本几何体的
11、三视图时，要注意从三个方面观察它们.具 体画法为：1 .确定主视图的位置，画出主视图.2 .在主视图正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”.3 .在主视图正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”、与俯视图 “宽相等”.解：O(1)圆柱V（2）三枝柱XI四棱镀例2画出如图所示的支架（一种小零件）的三视图.解：如图是支架的三视图:四、巩固练习一个正六棱柱高2 cm底面是边长为1.5 cm的正六边形，先说说它 在正面、水平面、侧面三个方向的正投影分别是什么图形，然后画出它的 三视图.答案五、课堂小结1 .画一个立体图形的三视图时要考虑从某一个方向看物体获得的平 面图形的形状和大小，不要受到该方向的
12、物体结构的干扰.2 .在画三视图时，三个视图不要随意乱放，应做到俯视图在主视图 的下方、左视图在主视图的右边，三个视图之间保持：长对正，高平齐， 宽相等.教学反周:本节课的教学设计，力求突出具体、生动、直观，因此，学生多以操 作、观察实物模型和图片等活动为主，比如正方体在不同位置时的正投 影.归纳出物体三视图的概念，并能根据此规律画出简单的立体几何图形 的三视图.在介绍三视图时，若条件允许，可采用试验的方法进行实例的 观察，这样不仅直观而且富有真实感.第2课时三视图（2）教学目标知识与技能学会根据物体的三视图描述出几何体的基本形状或实物原型.过程与方法经历探索简单的几何体的三视图的还原过程，进
13、一步发展空间想象能 力.情感、态度与价值观了解将三视图转换成立体图在生活中的作用，使学生体会到所学的知 识有重要的实用价值.：重点根据三视图描述基本几何体和实物原型及三视图在生活中的作用.难点根据物体的三视图描述出几何体的基本形状或实物原型.教学设计一、问题引入1 .画一个立体图形的三视图时要注意什么？（三个视图要放在正确的位置，并且使主视图与俯视图的长对正、主 视图与左视图的高平齐、左视图与俯视图的宽相等.）2 .做一做：画出下面几何体的三视图.二、新课教授例1根据下面的三视图说出立体图形的名称.分析：由三视图想象立体图形时，要先分别根据主视图、俯视图和左 视图想象立体图形的前面、上面和左侧
14、面，然后再综合起来考虑整体图形.解：（1）从三个方向看立体图形，图像都是矩形，可以想象出：整体是长方体，如图（a）（2）从正面、侧面看立体图形，图像都是等腰三角形；从上面看，图像是圆，可以想象出：整体是圆锥，如图（b）所示.闻例2根据物体的三视图（如图）描述物体的形状.分析：由主视图可知，物体的正面是正五边形，由俯视图可知，由上 向下看物体是矩形的，且有一条棱（中间的实线）可见到，两条棱（虚线）被 遮挡，由左视图知，物体的侧面是矩形的，且有一条棱 （中间的实线）可见 到，综合各视图可知，物体是五棱柱形状的.解：物体是五棱柱形状的，如下图所示.例3某工厂要加工一批密封罐，设计者给出了密封罐的三视
15、图（如下 图），请你按照三视图确定制作每个密封罐所需钢板的面积.50，TOO分析：对于某些立体图形，若沿其中一些线（例如棱柱的棱）剪开，可 以把立体图形的表面展开成一个平面图形，即展开图.在实际的生产中， 三视图和展开图往往结合在一起使用.解决本题的思路是，由视图想象出 密封罐的立体形状，再进一步画出展开图，从而计算面积.解：由三视图可知，密封罐的形状是正六棱柱.（如图（左）.密封罐的高为50 mm底面正六边形的直径为100 mm边长为50 mm 右图是它的展开图.由展开图可知，制作一个密封罐所需钢板的面积为1 36X50X 50+ 2X6X/X 50x 50X彳= 6X502X（1 + 乎）
16、27 990（ mm）.三、巩固练习如图所示的图形是一个多面体的三视图，请根据视图说出该多面体的 具体名称.士视图在视图帕视图答案正四棱锥四、课堂小结1. 一个视图不能确定物体的空间形状，根据三视图要描述几何体或 实物原型时，必须将各视图对照起来看.2. 一个摆好的几何体的视图是唯一的，但从视图反过来考虑几何体 时，它有多种可能性.例如：正方体的主视图是正方形，但主视图是正方 形的几何体有直三棱柱、长方体、圆柱等.3. 对于较复杂的物体，由三视图想象出物体的原型，应理解并掌握三个视图之间的前后、左右、上下的对应关系.教学反思本节课的教学，以课程标准为指南，结合学生的已有知识和经验而设 计.重
17、点讲解由三视图判断几何体的结构特征，也就是画三视图时尺寸不 作严格要求.教学设计时使用了大量的图片，建议在实际应用时尽量使用 信息技术，如画法几何，让学生从动态过程中获得三视图的感性认识，以 便从整体上把握三视图的画法.29. 3课题学习制作立体模型教学目标知识与技能1 .通过实际动手进一步加深对投影和视图知识的认识.2 .加强在实践活动中手脑结合的能力.3 .体会用三视图表示立体图形的作用，进一步感受立体图形与平面 图形之间的联系.过程与方法1 .通过创设情境让学生自主探索立体图形的制作过程.2 .通过自主探索、合作研究讨论使学生加深对投影和视图的认识.3 .制作模型，体会由平面图形转化为立
18、体图形的过程与乐趣.情感、态度与价值观1 .通过创设问题情境使学生感受平面图形与立体图形的关系.2 .通过参与数学实践培养合作探索的精神和尊重理解他人想法的学 习品质.3 .通过动手实践活动培养学生的创新意识与创造发明的意识.重点 让学生亲自经历规律的发现、深入研究、应用的过程.难点学生通过手工制作实现理论与实践的结合；在探索解决实际问题的过 程中，养成科学的研究态度.教孚i殳计一、问题引入请学生回答下列两个问题：1 .主视图反映物体的 和,俯视图反映物体的 口,左视图反映物体的 口.答案长高长宽宽高2 .下面是一个立体图形的三视图，请在括号内填上立体图形的名称俯视图答案圆柱体二、新课教授活动
19、一：根据三视图制作原实物.师：以硬纸板为主要原材料，分别做出下面的两组视图所表示的立体 模型.（1） 师：用硬纸板制作各面，围成立体图形.说明：教师要给学生提供充分的时间和空间，让学生自己动手去做， 最后展示学生的作品，让学生感受到成功的喜悦，激发他们继续学习的兴 趣.活动二：根据三视图制作实物模型.师：按照下面给出的两组视图，用马铃薯（或萝卜）制作相应的实物模(1 )(2)生：学生动手制作，实际动手制作立体物品有利于培养学生的空间想 象能力.师：（1）是圆锥，（2）是直五棱柱，它的底面五边形中有三个直角.说明：教师要给学生提供充分的时间和空间，让学生自己动手去做， 最后展示学生的作品，让学生
20、感受到成功的喜悦，激发学习的兴趣.活动三：根据平面图形制作相应的实物图.师：下面的每一组平面图形都是由四个等边三角形组成的.（1）指出其中哪些可以叠成多面体.把上面的图形描在纸上，剪下来, 叠一叠，验证你的答案；（2）画出由上面的图形能叠成的多面体的三视图，并指出三视图中是怎样体现“长对正，高平齐，宽相等”的；（3）如果图中小三角形的边长为1,那么对应的多面体的体积和表面积 各是多少？CD师：（1）和（3）可折叠成正四面体，正四面体的体积为表面积为43.活动四：课题拓广.三视图和展开图都是与立体图形有关的平面图形，利用课余时间去观 察了解或者上网查询了解，结合我们的生活实际和具体的事例，写一篇
21、短 文介绍三视图及展开图的应用以及你的感受.三、巩固练习1 .小明从正面观察下图所示的两个物体，看到的是 （）答案C2 .如图，一平面经过圆锥的顶点截圆锥所得到的截面形状是 （）答案B当把它折成一个正方体时，与3 .如图是一个正方体的平面展开图, 空白面相对的字应该是（）北迎你C.欢D.迎A.北B.京答案C四、课堂小结从技能上说，认识平面图形与立体图形的联系，有助于根据需要实现 它们之间的相互转化，即学会画三视图和由三视图得出立体图形.从能力 上说，认识平面图形与立体图形的联系，对于培养空间想象能力是非常重 要的.教学反思：本节是结合实际问题动手与动脑并重的学习内容.“观察、想象、制作、交流”相结合是本节中的主要实践活动. 设计这个课题学习的目的是： (1)在具体问题中，对是否切实理解掌握前面学习的三视图的内容以及能 否灵活运用知识的一次检验；(2)是采用独立完成与合作学习相结合的方 式，使同学之间相互讨论、互助互学，增强协作能力，增进感情.
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