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1、总复习 多元函数微分学,1.,提示:,例1 求函数的定义域，并作图。,例2 设,且,求,解,令,1.,提示:,0,例3 填空题,3.,提示:,0,4. 设, 则,则,即,提示: 令,5. 设,则,提示:,6. f ( x , y ) 在点,处偏导数,存在是 f ( x , y ) 在该点连续 ( ) .,(A) 充分条件但非必要,(B) 必要条件但非充分 ;,(C) 充要条件 ;,(D) 既非充分也非必要条件.,D,1,选择题 ( 6 - 8 ),7. 设 f ( x , y ) 在点( a , b ) 偏导数存在 , 则,B,提示: 因为只要写结果 , 可直接用罗必塔法则找答案,原式,8.,
2、提示: 利用,令,即,则 原式=,当 m = 3 时,当 m = 4 时,A,(A) 不存在 ;,例4,证明、判断下列极限存在与否,（2）,（3）,提示：,（1）,有,有,有,表明上式中极限均不存在。,例5,证明：函数 点 连续、,所以在点 连续,所以在点 偏导数都存在,偏导数存在、但不可微.,例6,所以在点 不可微。,体会二元函数的一些基本概念之间的关系,1、函数可微，偏导数不一定连续；,2、当,和,不存在时，也不能断定,和,不存在。,这只能说明偏导数在点（0，0）处不连续。,在点,处四个基本概念之间的关系,连续性,偏导数,方向导数,可微性,可微性条件增强,由它可以推出其它,三个概念，反之不
3、,一定存在。,例7,求下列函数的偏导数和全微分。,（1）设,解,求,可先代入部分值，再求导数。,求,（2）设,解,设,求,解法一:,例8,解法二:,例9. 设,其中,求,解:,例9,设,其中,具有二阶连续偏导，,求,解：,令,例10 设,由方程,确定 ,其中F 可微 , 求,解:,得,例11 求曲线,上在点A(1,1.1)处的,切线方程和法平面方程。,解： 方程组两边对 x 求导得,将点A(1，1，1）代入,切线方程,法平面方程,解,例12,依题意，两平面平行,例13,解： 令,求曲面,平行于平面,的各切平面方程。,设,为曲面上的切点，,满足方程,切点为,切平面方程(1),切平面方程(2),例
4、14 求曲线,绕 y 轴旋转一周生成,的曲面在点,上的切平面与,平面的夹角。,解 旋转曲面,在点,平面上,证明曲面在任意点,解: 令,则曲面在点 M 的法向量为,而,故,的法线与向量 垂直 .,例15. 设曲面的方程为,求最大长方体,解 设长方体的一个顶点 在锥面，则长方体,例16,锥体内作底面与,面平行的长方体，,的体积。,的体积：,将式乘以x与式乘以y相比较得,将 代入式并由式得,所以得唯一驻点为,依题意必有最大值，从而长方体的最大体积为,例17. 求点 (1, 2, 0) 到曲面,的最短距离 .,解: 问题为,( 条件 ),设,令,解得,此两点到曲面的距离为,故,为最短 .,解,例18,例19,例20. 在曲面,上求出一点 M , 使,沿着点,的方向导数具有最大值 .,解:,其方向余弦为,则问题为,( 条件 ),设,到,解得,经验证,为最大值 .,令,例21设曲面方程为,证明曲面上,任一点处的切平面在三坐标轴上的截距之和为常数 .,证明: 曲面在任一点,处的法向量为,即,则在坐标轴上的截距之和为,切平面方程为,例22. 设函数,具有连续偏导数 ,且对任意实数 t 有,试,上任一点处的切平面交于一定点,证: 曲面上任一点,处的切平面方程为,对等式,两边关于 t 求导,为切点 ,切平面方程为,显然切平面都过原点 ( 0 , 0 , 0 ) .,令 t =1, 得,证曲面,