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1、第3.4节 向量组的极大 线性无关组,主要内容:,一等价向量组,二向量组的极大线性无关组,三 向量组的秩与矩阵秩的关系,一、等价向量组,即,自反性：一个向量组与其自身等价；,对称性：若向量组 与 等价，则 和 等价；,传递性：,等价向量组的基本性质,(2),则向量组 必线性相关。,推论2：两个线性无关的等价的向量组，必包含相同个数的向量。,二、向量组的极大线性无关组,定义2:,注:,（1）只含零向量的向量组没有极大无关组.,简称极大无关组。,（2）任意r1个向量都线性相关。（如果有的话）,那么称部分组 为向量组 的一个极大线性无关组。,（2）一个线性无关向量组的极大无关组就是其本身.,（3）一
2、个向量组的任一向量都能由它的极大无关组线性 表示.,例如：在向量组 中，,注：一个向量组的极大无关组一般不是唯一的。,极大无关组的一个基本性质：,任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价。,又，向量组的极大无关组不唯一，而每一个极大无关组都 与向量组等价，所以：,向量组的任意两个极大无关组都是等价的。,由等价的线性无关的向量组必包含相同个数的向量，可得,一个向量组的任意两个极大无关组等价， 且所含向量的个数相同。,定理：,三、向量组的秩与矩阵秩的关系,定义3：向量组的极大无关组所含向量的个数 称为这个向量组的秩, 记作,例如： 向量组 的,秩为2。,向量组的秩,（4）等价的向量组必有相同的秩。
3、,关于向量组的秩的结论：,（1）零向量组的秩为0。,注：两个有相同的秩的向量组不一定等价。 两个向量组有相同的秩，并且其中一个可以被另一个 线性表示，则这两个向量组等价。,2. 矩阵的秩,2.1. 行秩、列秩、矩阵的秩,把矩阵的每一行看成一个向量，则矩阵可被认为由这些行向量组成， 把矩阵的每一列看成一个向量，则矩阵可被认为由这些列向量组成。,定义4：矩阵的行向量的秩，就称为矩阵的行秩; 矩阵的列向量的秩，就称为矩阵的列秩。,例如：矩阵,的行向量组是,因为，由,即,可知,线性相关。,所以矩阵A的行秩为3。,矩阵A的列向量组是,而,所以矩阵A的列秩是3。,定理：矩阵的行秩矩阵的列秩,定义5：矩阵的
4、行秩矩阵的列秩，统称为矩阵的秩。,记为r(A),或rankA，或秩A。,推论：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩。,解：看行秩,例1：求上三角矩阵的秩,2.2 矩阵秩的求法.,线性无关，,所以矩阵的秩行向量组的秩3非零行的行数,结论：行阶梯形矩阵的秩非零行的行数,求矩阵秩的方法： 把矩阵用初等行变换变成行阶梯形矩阵，则行阶梯形 矩阵中非零行的行数就是原来矩阵的秩。,由阶梯形矩阵有三个非零行可知,求向量组的秩、极大无关组的步骤.,r(A)=B的非零行的行数,（3）求出B的列向量组的极大无关组,（4）A中与B的列向量组的极大无关组相对应部分的列向量组 即为A的极大无关组。,解：,又因为B的1，2，5列是B的列向量组的一个极大无关组,考虑：是否还有其他的极大无关组？,与,解：设,则B的1，2列为极大无关组，且,