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1、9.3 标量积 向量积 混合积,一、两向量的标量积 二、两向量的向量积 三、混合积,启示,实例,两向量作这样的运算, 结果是一个数量.,一、两向量的标量积,标量积也称为“数量积”、“点积”、“内积”.,容易证明，标量积满足下列运算法则：,关于数量积的说明：,证,证,设,标量积的坐标表达式,两向量夹角余弦的坐标表示式,由此可知两向量垂直的充要条件为,设,解,而,而,返回,例3：用向量方法证明三角形的余弦定理。,练习：P.46:14,19,20,21,用反证法：即求一k,使,作业：P.46:15,16,17,二、两向量的向量积,1、二、三阶行列式,定义：二阶行列式,三阶行列式,不难验证行列式有以下
2、性质：,1、行列式按行展开：如,2、一行中的公因子可以提出；,3、对换两行，行列式变号：,4、三阶行列式行轮换，行列式值不变；如,5、两行对应成比例，行列式为零。,实例,2、向量积定义,定义,向量积也称为“叉积”、“外积”.,关于向量积的说明：,/,证,/,/,向量积符合下列运算规律：,（1）,（2）分配律：,（3）若 为数：,设,向量积的坐标表达式,向量积还可用三阶行列式表示,/,由上式可推出,例如，,/,解,问：所求单位向量中与z轴夹角为锐角的是哪个？,解,三角形ABC的面积为,练习：P.46: 25,27,作业：P.46: 22, 23, 24, 26,解,定义,设,以下我们来求混合积的
3、坐标表达式。,三、向量的混合积,（1）向量混合积的几何意义：,关于混合积的说明：,（1）向量混合积的几何意义：,关于混合积的说明：,解,例5,解,所以，所求四面体体积,练习：P.47: 28,33,35,37,提示：怎样证明三向量共面？,作业：P.47: 25(2),(3),30,31,向量的标量积的定义及坐标表示,向量的向量积的定义及坐标表示,向量的混合积的定义及坐标表示,向量代数小结,向量的模，方向角，方向余弦,几个问题：,1、两向量平行（共线）和正交的条件； 2、两向量的夹角； 3、平行四边形的面积，三角形面积； 4、与已知两向量都垂直的向量； 5、平行六面体体积，四面体体积； 6、三向量共面，四点共面的条件。,练习：P.46: 18,21,29,32,37,作业：P.47: 36, 38, 39, 41,提示：36 39,