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1、6.3 模型的参数估计,数学建模的一个重要工作是建立变量间的 数学关系式, 但公式中几乎总是涉及一些参数.,如用下面三个数学式描述肥素的施肥水平对 土豆产量的影响：,要得到最终可应用于实际的经验模型， 必须确定公式中的各个参数,求模型中参数的估计值有三种常用方法： 图解法、统计法、机理分析法。,对经验模型的精度要求不高, 只需对参数做出粗略估计时可采用图解法.,例6.3.1 磷施肥量与土豆产量的关系式,需估计三个参数A、B、C, 观察图7.3，数据 点都位于直线 y=43的下方，并且数据点越来越靠近这条直线，可以估计A=43 .,1图解法,例6.2.2(见P158例7.2.1)表中给出了12月
2、1日 (星期二)和12月2日(星期三)两天内的海浪潮 高度值(相对于海堤上的零标尺记号,以米为 单位),能依据此表来预测12月5日(星期六)下 午1:00的海浪高度值吗？,分析 根据对数据散布图的分析, 采用函数,需估计振幅 a 和 频率b.,解决方法：直接量出高低浪之间的高度差为6.6米，,量出海浪变化周期约为12.3小时,得经验模型,将频率的估计代入(2)式, 有,代入x(0)=c=2.4 及 x(23)=3.6,得关于海浪潮随时间变化的另一经验模型,模型应用,预测12月5日下午1:00的海浪潮高度为,x(109) = 2.4cos(5.11109) 2.7sin(5.11109),=2.
3、4cos(55.7)2.7sin(55.7),=2.4cos(5.4302.7sin(55.7)3.6(米).,误差分析 这一时刻潮位的实际观察值为4.1米,相对误差大约是12%, 请考虑一下成因.,仔细分析图5.5, 可发觉图中,(1 ) x=0似乎不是海浪高低潮位的中值;,(2) 振幅随时间的延续似乎在轻微地增大.,思考 怎样考虑这些细节来修改模型,以获得更准确的预报呢？,2. 统计法,参数估计的统计处理, 往往运用最小二乘法估计.,设有一组样本值:,对选定的一元回归函数 ,回归模型为,N(0,2),为模型的残差平方和.,应选取(x)中的未知参数, 使S达最小值,当回归函数为(x)=a +
4、bx，回归模型,N(0,2),称为一元线性回归模型, 其残差平方和为,对S 分别求关于 a, b 的偏导数, 并令其等于零,得线性方程组如下：,整理得正规方程(组)如下：,求得解,其中,一元线性回归模型参数估计公式,部分非线性回归函数经变量代换可化为线性 函数,利用线性参数估计公式进行估计,如,例6.3.1 磷施肥量和土豆产量 的回归函数选为,对数据进行相应变换, 可估计出,得到磷施肥量和土豆产量的经验公式,分析 有,例6.3.2 若用威布尔函数作为磷施肥量和土豆产量的回归函数,与目测法的结论 惊人一致.,相对于新变量x，lnz , 这是一元线性函数.,特点：统计分析法应用于变量间存在相关关系
5、的情形, 并且需要较多数据为基础.,3. 机理分析法,通过对问题的内部机理进行分析,找出变量间 的因果关系,从而确定出参数.,两边取对数,有,例6.3.3 录像机磁带计数器模型,在一台录像机上有一个四位数字的记数器. 1.在磁带开始运行时设置为“0000”，“180分 钟”结束时显示读数为“1849”,实际所花的 时间为185分20秒.,2.记数器从“0084”转到“0147”时用了3分21 秒的时间.,现在记数器上显示为“1428”,问余下的磁带 是否足够再记录60分钟长的节目？,已建立经验公式,其中 w 录象带的厚度；r 转动轴半径； v转动速度；k显示读数和旋转周 数的比例系数.,通过进一步分析简化模型,使所含的未知参 数尽可量少,用很少的几个数据求得参数的 估计值.,上式化为,可利用的数据如下,t=0，n=0是模型的初始条件,将后三组数据 代入 得关于t1,与的三元方程组,注,1.由于数据个数太少,不能用统计法估计参数；,2. 这里采用机理分析法求参数的估计值,可 利用的数据个数已是允许的最少个数了.,