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1、密度函数垂直表示及在非均匀随机数生成中的应用2006年5月第25卷第3期数理统计与管理ApplicationofStatisticsandManagementMay,2006VO1.25NO.3文章编号:10021566(2006)03037108密度函数垂直表示及在非均匀随机数生成中的应用杨振海杨爱军(北京工业大学应用数理学院,北京,100022)摘要:本文给出密度函数垂直表示法,以及利用该方法产生给定概率密度函数的随机向量的一般算法.关键词:密度函数垂直表示;随机向量生成;均匀分布;舍选法中图分类号:0212文献标识码:A,I1leVerticalRepresentationofaDens
2、ityandItsApplicationofGeneratingRandomVectorfortheNonuniformDistributionwithGivenDensityYANGZhenhai,YANGAi-jun(CollegeofAppliedSciences,BeijingUniversityofTechnology,Beijing,100022,China)Abstract:Inthissection,verticalrepresentationofadensity,whichisanewlookatdensith,isprovidedandageneralalgorithmof
3、generatingrandomvectorwithgivendensityisproposedbyusingdensityverticalrepresentation(VDR),Keywords:densityverticalrepresentation;generatingrandomvector;uniformdistribution;reject10nmethod.3.1几何概率将随机试验的结果视为空间上的一个点x,所有实验结果(即样本空间)就是空间中的一个区域Q.若实验结果落人任意区域AcQ的概率和A的Lebesgue测度L(A)成正比,即P(xA)=L(A)/(Q),则称实验结果x
4、服从Q上的均匀分布,记作x(Q).一个区域上的均匀分布相当于一个古典概型.3.1.1二维区域上的均匀分布考虑二维欧氏空间R设是Lebesgue可测集合,且0<L2()<,L2(?)是二维Lebesgue测度,(,y)是二维随机向量.若对任意可测集合AcR,总有P(,y)A):,AR(3.1)则称(,y)服从上的均匀分布,记作(,y)u().设是的真子集,且P(A)>0.对任意可测集A,总有砌=2则(3.2)式表明:给定条件下,条件分布是上的均匀分布.注意到给定条件就是点(,y)落在集合内,即(,y)落在集合内,即(,y).因此,可得如下产生上均匀收稿日期:2005年07月01
5、日372数理统计与管理第25卷第3期2006年5月分布的算法.区域AC上均匀分布生成的舍选算法1.生成上均匀分布随机向量(,l,)();2.若(,l,),则令(,)=(X,Y),输出(U,V)(U(),结束.3.转1.首先,(X,Y)U()要容易生成.如取为矩形区域,且分量与l,相互独立.独立地生成矩形边长上的均匀分布即可.对任意给定的Y,令a2(),)=:(,),)n2,则n2(),)就是可测集n2在Y处的截口.令0=0(n2)=inf:有Y使得(,Y)En2,b=b(n2)=sup:有Y使得(,Y)En2,0y=6ty(n2)=infY:有使得(,Y)En2,by=by(n2)=supY:
6、有使得(,Y)En2.显然,有n2,b0by=(,),):0b,0yYby只有0Yb,时,n2(y)才可以是不空的.若lilmLl(y)=Ll(y0),则称(y)在y0处连续.引理3.1设n2(),)在0,b上处处连续.随机向量(X,l,)均匀分布于n2上,即(X,l,)U(n2),则1.Y的边缘概率密度是Ll(n2(Y)/L2(n2);2.给定Y=Y条件下,的条件分布是n2(y)上的均匀分布.证明:记l,的边缘概率密度为f(?).则fr(Y):而P(u,):),<),+,un()=三L2(M,):),<),+,MEn2()=IL1(n2()dv4-,vv+ILl(n2()dv:y
7、tIL1(n2(),)+.(1)d=L1(n2(),)+.(1),y(3.3)故),)_limL2(),)+o(1)_引理第一部分得证.设Ac0,b,类似于(3.3)式的推导,有P(XEAnYYY+)=P(M,):Y<Y+,MEAnn2()=?Ll(Ann2()+O(1)杨振海,杨爱军:密度函数垂直表示及在非均匀随机数生成中的应用373由上式及(3.3)式,得P(XAIY=Y)=limP(XAIYYY+)=limO-OrVV+=lim-0?Ll(An力2(Y)+o(1)Ll(An力2(y)?Ll(力2(y)+o(1)1上式意味着:给定Y=Y条件下,的条件分布是n2(y)上均匀分布.引理第
8、二部分得证.引理3.2设随机向量(,l,)的联合分布是力2上均匀分布,且与l,相互独立,则存在集合A,c尺,使得力2=ABa.s.L2.证明:令B=Y:Ll(力2(Y)>0,yER.由引理3.1给定Y=Y条件下,的条件分布是力2(y)上均分布.当与l,相互独立时,力2(Y)不依赖于l,即力2(Y)=A,VYB.这意味着:力2=AB,.s.L2.引理3.1给出了力止均匀分布随机向量生成算法.3.1.2高维区域上的均匀分布考虑d维欧氏空间尺.对给定的整数0<k<d,VxdR,记x=(一,d)=(x,x一),=(一,),x一=(,d)力d是Lebesgue可测集,且0<Ld(
9、力d)<o.门d在x一处的截口是力d(d一)=:(,一)力若li,(力d(d一)=(力d(xf一),则称截口在xfod)一处连续.xd一广x一类似于二维情形的讨论,得到以下结论:引理3.3设截口力d(xd一)处处连续,且随机向量(x,x一)均匀分布于力d上,即(x,x一)(力d).则1.X的边缘概率密度为d一(力d(xd一)/d(d);2.给定xd一=d一条件下,x的条件分布为门d(xd一)上均匀分布.Da.Sl(v)0)图3.1Da+l,Efl-Da.If()及其关系示意图(此处是一维密度图)关于二维情形下的其他结论与算法容易推广到这里.引理3.3实际上是Fubinni定理在374数理
10、统计与管理第25卷第3期2006年5月该情形下的具体表述.3.2密度函数的垂直表示本节将上节的引理应用于特定的可测集,得到一些有趣的结果.设f(?)是定义在尺上的概率密度.令Dd+1.厂=Xd+1=(xJ,d+1):0<d+l(Xd),Dd,()=xd:(Xd)(3.4)d+1维空问尺=RXRd+l,姑且称尺为横轴空问,尺d+l为纵轴.Dd,r_()是定义在横轴空间中的集合,将其嵌人尺中为Dd,r_()X0,如图3.1中横轴上标出的集合.记Dd)_Dd+1,If(),得到Dd+1,与Dd,门()之问的关系是:Dd+1,_,_UDd,1,(),fo=sup/f(xd):xd,/o/o(3.
11、5)ee1=I(Xk)dxk=Id(Dd+1.If()dv=Id(Dd,If()dvRd03.2.1连续密度函数的垂直表示应用引理3.3,直接得到密度函数垂直表示定理.定理3.1(概率密度垂直表示定理)设厂(?)是尺上的连续概率密度函数.若随机向量(xJ,Xd+1)均匀分布在Dd+1.r上,则1.Xd+1的概率密度函数是d(Dd,r_();2.Xd的概率密度函数是厂(?);3.给定d+1=的条件下,d的条件分布是Dd,)上的均匀分布.定理的1和2分别给出了横轴空问分量和纵轴分量的边缘分布,3表明了两者的关系.实际上,3条结论仅有2条是独立的,1和3成立时,由引理3.3定理的2自然成立.垂直表示
12、定理给出了一种通用的随机向量的生成算法:1.生成随机变量d+lLd(Dd,r_(?);2.生成ud(Dd,r_(Xd+1),令Xd=Ud,输出xd.再给出一个垂直表示定理的应用.令=.厂(x),x厂(?),的概率密度是什么?应用垂直表示定理可将其求出.设(x,d+1)联合密度是Dd+1,r上的均匀分布,则V_f(Xk)=Xd+1Dd+1.r_().于是P(V)=P(Xd+1)一P(Dd+l厂()=Id(Dd,If(s)ds一d(Dd.r()最后得到【一,垡f)_),d一d这正是Trout的结果.应用垂直表示定理还可求出给定=条件下,xd的条件概率密度函数.有兴趣者可参看文献3.3.2.2常见分
13、布密度函数垂直表示本小节讨论一些常见分布的密度函数垂直表示.例3.1二维独立标准正态分布.设厂(,)=e一(,”,则杨振海,杨爱军:密度函数垂直表示及在非均匀随机数生成中的应用375D=(,z):o<z1e+,):(,y,2+y2一21n(20<z),D2,_,():(,y):elz2+y227r=(,y):+y2一21n(2av)若(,y,z)均匀分布于D3,r31-,则Z的边缘概率密度函数为fz(z)=2(D2,z)=一2rcln(2rcz),0<z1令R2:一21n(2),则R的概率密度函数是e一专,恰是自由度为4的分布.当给定R=r时,(X,y)的条件分布是圆s;(r
14、)=(,y):+Yr上的均匀分布.于是,(X,y)可以表示成(X,Y):R(U,V),R,(U,V)U(s;(1)作为独立多元正态分布垂直表示的特例(见例3.2):R/U+一;,fI作从单位圆周上的均匀分布.(X,Y)也可表示成(X,y):R(U,V),(R);,(U,V)一(;)其中s;=(,y):+Y=1.这恰好导出了BoxMuller算法.例3.2独立多元正态分布.d维标准正态分布的概率密度是fd,(),)=e=赤e1dx2,xT一),Dd+1,=(,d+1):0<d+1fd,(d):(,d+1):(d一21n(27r)d+1,0<z(27r)一,Da,fa()=d:fd,(
15、d),0<(27r)一=x一21n(2);s()若(,Xa+1)均匀分布于Da+l131-,则Xa+1的边缘概率密度为几删)箱()令R:一21n(2),则R服从自由度为d+2的分布.给定R=r等价于给定Xd+1,xd的条件分布是s(r)上的均匀分布.均匀分布于s(r)上的随机向量记作ud(r).那么,随机变量Xd可表示成xd:Ua(:.;.Ua(1)+2,(3_6)|.|376数理统计与管理第25卷第3期2006年5月R与Ud(1)布目互独立.(3.6)式口J改与成xd=尺u)=(尺IIu)II)R*Vd(3.7)断言尺=尺IIud(1)II服从自由度为d的分布,Va-服从单位球面亏(1
16、)上的均匀分布.这正是我们熟知的d维标准正态分布概率密度的表示方式.下面证明(尺)=RIIUa(1)II:,P(1lu(1)ll,):_=婪:,(3.8)n厂(号)p(尺*):P(R2IIud(1)II):.d一sP(IIud(1)II4z)ds:.e一主P(IIu)II1)ds+fde一主P(IIUa(1):e-zds+.e一sldsd=Ics2eds+cz22e于是,堡:(:一薹+.d-_1一一一薹:.d一-ezclz这正是自由度为d的Z分布的概率密度函数.例3.3独立指数分布.设独立概率密度函数,(xd)=e一直,x=(一,d),一,d0.这恰是d个独立指数分布随机变量的联合概率密度函数
17、.Dd+l,R是参数为d+1的Gamma分布,其概率密度函数为杨振海,杨爱军:密度函数垂直表示及在非均匀随机数生成中的应用377fR(r):1rde,0r<.给定R:r等(价于给定+1)条件下,X,t的条件分布是Da,山(r)=均匀分布.于是,Xd可表示成dx:善r上的xd:(.,山(R):R:R(.,(1),D,t,(1):xd:吾1是单位单纯形.Uj:(D山(1)是单位单纯形上的均匀分布.Xd:RUd是指数分布的表示,类似于正态分布的表示,单位单纯形相当于正态表示中的单位球体.3.3基于密度函数垂直表示的随机向量生成密度函数垂直表示的一个应用就是生成随机数或随机向量,在某些情况下非常
18、有效.由垂直表示定理可直接给出随机数或随机向量的通用生成方法.算法如下.随机向量VDR生成算法1.生成随机向量ZLd(Dd,(),0<zsfo:supf(xd):xdER;2.生成随机向量Xd(Dd,(Z),输出Xd.厂(?).令R=一21n(Z/fo),0R<,则R的概率密度函数为如(r):L,t(Dd门(foe-r/2)e-专,r2D,t门(r):Dd门(foe一),0r<.如果Drj(r):rDd,r(1),vr>0,则称概率密度/是中心相似的.算法可简化.中心相似随机向量生成VDR算法1.生成随机向量RLj(,r(e一):d(D,rj(r);2.生成随机向量ud
19、(D,门(1),输出Xd:RUd一/.举例说明如下.例3.4正态随机向量VDR生成算法.在前面例3.2和例3.1中已讨论过,这里仅强调VDR算法.应用中心相似随机向量生成VDR算法,关键是生成D,(1),即单位球面上均匀分布随机变量.其生成算法在高维时不像2维时那么简,以后还要专门讨论球体上均匀随机向量生成算法.从算法角度看,生成球体上均匀分布随机向量比生成球面上均匀随机向量要容易些,因后者是退化的分布.3.3基于密度函数垂直表示的随机向量生成例3.5指数分布随机数VDR生成算法.d个相互独立的指数分布随机变量,:1,d的联合分布是,(X,t):e.宣,Xi0.例3.3给出:x:(l,d):R
20、u,u(Dd),Dd:Dd(1),Dd(r):Xd:r,RE(1)为标准指数分布.指数分布随机数VDR生成算法1.生成随机变量RE(1);378数理统计与管理第25卷第3期2006年5月2.生成d个独立的均匀随机数一U(0,1),k=1,d,并排成顺序统计量(1),(d).令V=(l,d),其中V=()一(一1),k=1,d,(0)=0;3.输出Xa=RVd,一,d,.例3.6类似正态随机向量VDR生成算法,考虑d维概率密度函数f()=南+的随数的生成算法.服从该密度的随机向量xd可表示成Xd=RUd(参看文献2),其中-ud是单位球面上均匀分布随机向量,及不难给出具体算法.R南畦童皇e一r?
21、参考文献VonNeumann,J.(1951)VarioustechniqueusedinconnectionwithrandomdigitsJ,U.S.Nat.Bur.Stand.Ap.Math.Ser.,No.12,pp3638.FangK.T.,YangZ.H.andKotzS.(2001)GenerationofMaltivariateDistributionbyVerticalDensityRepresentationJj.Statistics,35,281293.Troutt,M.D.(1991)ATheoremontheDensityoftheDensityOrdinateand
22、anAlternativeInterpretationoftheBoxMullermethodJ,Statistics22(3),463466.Troutt,M.D.(1993)VerticalDensityRepresentationandaFurtherRdmarkontheBoxMullerMethodJj,Statistics,248183.Cheng,R.C.H.(1978)GeneratingBetaVariateswithNonintegralShapeParametersJj,ManagementSeience/OperationResearch,21,No.4317322.Pang,W.K.,Yang,Z.H.,Hou,S.H.andTroutt,M.D.(2002)NonuniformrandomVariateGenerationbyverticalstripmethodwithgivebdensityJ,EuroupeanJouralofOperationresearch,35463477.杨振海,程维虎.统计模拟J.数理统计与管理,2006,25(1).一2e,1j1j1Jn