测量平差之条件平差.ppt

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1、第一节 条件平差原理,条件平差的数学模型为 函数模型： 随机模型： 条件平差就是在满足r个条件方程条件下，求解满足最小二乘法（V TPV = min）的V值，在数学中就是求函数的条件极值问题。 一、条件平差原理 有n个观测值 ，均含有相互独立的偶然误差，相应的权阵为 ，改正数为 ，平差值为 ，用矩阵表示为：, , ,必要观测数t,多余观测数为r r=n-t,条件方程,改正数方程： 方程的闭合差 若取,则上述方程可表示为： 按求函数极值的拉格朗日乘数法组成新函数 K为乘系数（联系数）, ,第一节 条件平差原理,函数模型,将 对V求导并令一阶导数为0： 转置后：,令： 法方程： 法方程的解 平差值

2、：,第一节 条件平差原理,改正数方程,基础方程,法方程,纯量形式,二、精度评定 1. 单位权中误差的计算 其中 的计算如下： 推导如下：,第一节 条件平差原理,纯量形式,观测值独立时,二、精度评定 2. 的协因数阵及互协因数阵,则上述方程可表示为：,第一节 条件平差原理,传播律中的K,根据协因数传播律：,二、精度评定 的协因数阵及互协因数阵 根据协因数传播律：,第一节 条件平差原理,也可以单独求：已推导得： 求 解：,第一节 条件平差原理,二、精度评定 3. 平差值函数的权倒数（协因数） 设有平差值函数： 对上式全微分得： 取全微分式的系数阵为： 由协因数传播律得： 此式即为平差值函数的协因数

3、表达式。 可求得该平差值函数的方差：,第一节 条件平差原理,三、解题步骤： （1）根据实际问题，确定出总观测值的个数n、必要观测值的个数t及多余观测个数r = n - t，列出平差值条件方程并转化为改正数条件方程 （2）组成法方程； （3）计算联系数K； （4）计算观测值改正数V；并依据（3-1-6）式计算出观测值的平差值； （5）计算单位权中误差；,第一节 条件平差原理,（6）列出平差值函数关系式，并对其全微分，求出其线性函数的系数阵f，利再计算出平差值函数的协因数QFF ，然后计算出平差值函数的协方差DFF。 为了检查平差计算的正确性，可以将平差值代入平差值条件方程式，看是否满足方程关系。

4、,第一节 条件平差原理,函数的方差,函数的协因数,线性化后,例3-1 n=4 t=3 r=1,第一节 条件平差原理,例3-1 n=4 t=3 r=1,第一节 条件平差原理,第二节 高程网条件平差,一、平差的目的 求待定点高程平差值，并进行精度评定。 二、条件方程个数的确定 条件方程个数等于多余观测个数。 r=n-t 关键在于确定必要观测个数 t 。 （1）当网中含有一个或一个以上已知水准点时： t = 网中待定点数 （2）当网中没有已知水准点时： t = 网中待定点数 1,三、水准网条件方程的列立 要求：足数、线性无关、形式简单 条件方程的形式：闭合条件方程； 符合条件方程。 列立方法见下页，

5、图见教材 P65-66 四、高程网平差举例 详见教材 P66-69,图3-2 n=8 t=3 r=5,- 平差值条件方程,第二节 高程网条件平差,改正数条件方程,条件方程闭合差,符合条件方程,闭合条件方程,图3-3 n=8 t=4 r=4,第二节 高程网条件平差,- 平差值条件方程,图3-4 n=8 t=5-1=4 r=4 改正数条件方程,- 平差值方程 条件方程闭合差,第二节 高程网条件平差,例3-2 n=8 t=4 r=4,-,第二节 高程网条件平差,权逆阵 C=1,条件方程闭合差,条件方程,-,第二节 高程网条件平差,观测值改正数,例3-2 n=8 t=4 r=4,法方程系数阵,联系数K

6、,观测值平差值,一、单一符合导线条件平差 1.目的：求各待定点平面坐标（Xi，Yi）的平差值，并进行精度评定。 2.条件方程个数的确定： 观测边数：n 观测角数：n+1 待定点数：n-1 必要观测个数：t=2 (n-1)=2n-2 多余观测个数（条件式个数）： r=n+n+1-(2n-2)=3 符合导线的条件方程数恒等于 3,3.条件方程的列立 已知： AB边方位角： 或 CD边方位角： 计算值： B点坐标： C点坐标： 三个条件方程：1个方位角符合条件；2个坐标符合条件,第三节 导线网条件平差,一、单一符合导线条件平差 3.条件方程的列立 （1）方位角符合条件 平差值条件方程： 而： 所以有

7、： 改正数条件方程： （1） 式中：条件方程闭合差,第三节 导线网条件平差,方位角符合条件方程,一、单一符合导线条件平差 其中 是第i边的方位角 3.条件方程的列立 （2）纵坐标符合条件 所以： 平差值条件方程： 而： 按泰勒级数展开： 第i边的坐标增量： 式中： 将上式代入 并按 合并同类项得：,第三节 导线网条件平差,一、单一符合导线条件平差 3.条件方程的列立 （2）纵坐标符合条件 将上式代入所列的条件方程 得： 改正数条件方程： 令：条件方程闭合差 （2）,第三节 导线网条件平差,纵坐标符合条件方程,一、单一符合导线条件平差 3.条件方程的列立 （3）横坐标符合条件 同理可得横坐标条件

8、方程： （3） 而条件方程闭合差为： 在实际运算中，S、x、y常以米为单位，w、vS、v以厘米为单位改正数条件方程： 纵坐标条件： 横坐标条件：,第三节 导线网条件平差,横坐标符合条件方程,一、单一符合导线条件平差 3.条件方程的列立 （1） 条件方程汇总 （2） （3） 综上所述，单一附合导线的平差计算的基本程序是： (1)计算各边近似方位角Ti和各点的近似坐标增量值xi、yi； (2)参照（1）写出方位角条件式，参照（2）（3）写出纵横坐标条件方程式；注意单位统一，决定 的取值。W的计算见上面。 (3)按照条件平差计算的一般程序，计算最或是值并进行精度评定。,第三节 导线网条件平差,二、单

9、一闭合导线条件平差 只要将B和C、A和D点分别重合，即可得到闭合导线。（见图） 1.方程个数确定：观测角个数n+1(含1个连接角），测边个数n，共2n+1 必要观测个数：t=2n-2 . 条件方程个数：r=3 2.条件方程列立 （1）内角和条件： （2）坐标条件：,第三节 导线网条件平差,三、边角权的确定及单位权中误差的计算 权的确定： 一般取： 则： 单位权中误差计算： 测边中误差的计算：,第三节 导线网条件平差,第三节 导线网条件平差,第三节 导线网条件平差,第三节 导线网条件平差,第三节 导线网条件平差,第三节 导线网条件平差,第三节 导线网条件平差,第四节 三角网条件平差,三角网平差的

10、目的 求待定点平面坐标平差值，并进行精度评定。 三角网的种类 测角网、测边网、边角同测网。无论网型多么复杂，都是由三角形和大地四边形相互邻接或重叠而组成。 当网中仅具备4个必要起算数据（一点坐标、一条边的方位、一条边的边长或已知两点坐标）时，称为自由网。这四个数据成为必要起算数据。 多余四个必要起算数据时，成为非自由网。,一、条件方程个数的确定 条件方程个数等于多余观测个数。 r=n-t 关键在于确定必要观测个数 t 。 1.当网中有2个或2个以上已知点时 t=2倍待定点数 2.当网中少于2个已知点时 （1）测角网 t=2倍待定点数-4 （2）测边或边角网 t=2倍待定点数-3,测角网：n=1

11、2 t=2X6-4=8 r=4 测边网：n=9 t=2X6-3=9 r=0 边角网：n=21 t=9 r=12,测角网：n=23 t=12 r=11 测边网：n=14 t=12 r=2 边角网：n=37 t=12 r=25,第四节 三角网条件平差,二、条件方程的列立 条件方程的种类：图形条件（内角和条件）、水平条件（圆周条件）、极条件、方位角条件、边长条件、坐标条件。 图形条件(n=15 t=8 r=7 哪7个？) 每个三角形内角平差值和等于180,第四节 三角网条件平差,二、条件方程的列立 2. 水平条件 中点多边形中心点角度平差值之和等于360。,第四节 三角网条件平差,二、条件方程的列立

12、 3. 极条件 中点多边形和大地四边形存在极条件。 中点多边形：从中心点的任一边开始，依次推算其 它边的长度，最后回到起始边，则起始边长度的平 差值应该与推算值相等。（从极点出发各边之比为1）,第四节 三角网条件平差,列立规律： 列出从极点P出发的各条边之比，把边长比换为正弦的比，即可列出,二、条件方程的列立 3. 极条件 极条件的线性化：,第四节 三角网条件平差,记忆规律 Sin 变 cot 分子取+ 分母取- 常数项颠倒,第四节 三角网条件平差,二、条件方程的列立 3. 极条件 大地四边形：取一顶点（D）为极点，从极点 出发的各条边之比等于1。把边长比换为角度正弦比。,第四节 三角网条件平

13、差,二、条件方程的列立 4. 方位角条件（n=12 t=4 r=8 哪8个？) 平差值条件方程： 而： 即： 有： 常数项： 方位角条件：从一个已知方位角推算另一个已知方位角，推算值应该与已知值相等。,第四节 三角网条件平差,二、条件方程的列立 5. 边长条件（边长条件：从一条已知边推算 另一已知边，推算值等于已知值） 条件方程： 而： 即： 有： 常数项： 线性化方法同极条件,第四节 三角网条件平差,二、条件方程的列立 6. 坐标条件 而： 其中： 将上述公式代入XE式，用泰勒公式线性化得：,第四节 三角网条件平差,二、条件方程的列立 3. 坐标条件 同理得： 请大家寻找记忆规律。,第四节

14、三角网条件平差,三、例题（见教材P86-88）,第五节 附有参数的条件平差,N=6 T=4 R=2 多余已知值为1，增加一个强制符合条件， 总条件数=3 但不容易列出,第五节 附有参数的条件平差,一、平差原理 设观测值个数：n 必要观测个数：t 多余观测个数：r 未知参数个数：u 条件式总数：c=r+u 平差值条件方程 将 代入： 式中： 随机模型,要求： 组成新函数 求导,基础方程,改正数方程,第五节 附有参数的条件平差,一、平差原理 （1） （2） （3） 解法一： （纯量形式） （2）代入（1） 令： 得： 其解： （4）,（4）代入（3）： 即： 令： 则有： 其解： （5） （5）代

15、入（2）得： （6） 平差值：,第五节 附有参数的条件平差,令： 有： 即： 其解： （4） 代入（2）求改正数 V ，然后求：,一、平差原理 （1） （2） （3） 解法二： （矩阵形式） （2）代入（1）得：,法方程,法方程,第五节 附有参数的条件平差,二、精度评定 单位权中误差 2. 协因数阵,其它同学们自己推导.,第五节 附有参数的条件平差,二、精度评定 3.平差值函数的中误差 设有平差值函数: 微分线性化： 式中：,平差值函数权倒数（协因数）： 方差： 中误差： 四、例题（见教材 P92-94）,第六节 条件平差估值的统计性质,一、观测量平差值 具有无偏性； 二、观测量平差值 的方差最小； 三、单位权方差估值 具有无偏性； 不再做具体推导，有兴趣同学请自学。,