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1、直线和圆锥曲线,知识点 1、直线和圆锥曲线位置关系的判断 2、与弦长有关的问题,一、直线与圆锥曲线位置关系的判断,除直线和圆的位置关系外，一般都用代数法，通过方程组解的个数判断直线和曲线的位置关系。,（1）0,（2）=0,方程有两个相等的实数根,直线与曲线有两个相同的交点,直线和曲线相切,（3）0,方程没有实数根,直线与曲线没有交点,直线和曲线相离,说明： 1、直线与双曲线、直线与抛物线相交不一定有两个交点。 当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，此时只有一个交点； 当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线相交，此时只有一个交点。,2、点、直线与曲线的位置关系,（1）点、直线
2、和圆,设点P（x0，y0），直线l：xx0+yy0=r2，圆C：x2+y2=r2。,点在圆上 x02+y02=r2 直线和圆相切,点在圆内 x02+y02r2 直线和圆相离,点在圆外 x02+y02r2 直线和圆相交,（2）点、直线和椭圆,设点P（x0，y0），直线l： ， 椭圆C： 。,点在椭圆上 直线和椭圆相切,点在椭圆内 直线和圆相离,点在椭圆外 直线和圆相交,（3）点、直线和双曲线,设点P（x0，y0），直线l： ， 双曲线C： 。,点在双曲线上 直线和双曲线相切,点在双曲线内 直线和双曲线相离,点在双曲线外 直线和双曲线相交,（4）点、直线和抛物线,设点P（x0，y0），直线l：yy
3、0=p(x+x0) 抛物线C： y2=2px,点在抛物线上 y02=2px0 直线和抛物线相切,点在抛物线内 y022px0 直线和抛物线相离,点在抛物线外 y022px0 直线和抛物线相交,二、有关弦长问题,1、弦长公式,2、焦点弦的弦长,设AB是过曲线焦点的弦，A（x1，y1）B（x2，y2）,(1)椭圆： 过右焦点:|AB|=2a-e(x1+x2) 过左焦点:|AB|=2a+e(x1+x2),以AB为直径的圆与准线 .,相离,定长为m的动弦,中点横坐标的范围?,焦点弦中,通径最短,(2)抛物线: |AB|=x1+x2+p,(3)双曲线中类似根据焦半径计算,以AB为直径的圆与准线 .,相切
4、,定长为m(m2p)的动弦,中点横坐标的范围?,焦点弦中,通径最短.,3、弦的中点问题,设A(x1,y1),B(x2,y2)是曲线mx2+ny2=1上的两点,AB的中点M(x0,y0);则有:,(1)由中点求斜率问题; (2)平行弦的中点轨迹问题.,(3)在抛物线y2=2px中有:,练习:,1.过点(2,4)作直线与抛物线y2=8x有且只有一个公共点,这样的直线有 条. 2.过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线交于A,B两点,它们的横坐标之和等于5,这样的直线有 条. 3.过抛物线x2=2py(p0)的焦点F作倾斜角为的弦,则弦长等于 .,4、以圆锥曲线过焦点的弦为直径的圆与对应的准线无
5、交点，则此圆锥曲线为（ ） A 不能确定 B 椭圆 C 双曲线 D 抛物线,5、直线l过抛物线y2=a(x+1)(a0)的焦点,并且与x轴垂直,若l被抛物线截得的弦长为4,则a= .,6、讨论直线l:y=kx+1与双曲线C:x2-y2=1的公共点的个数.,0,7、设A、B是双曲线2x2-y2=2上的两点，点N（1，2）是线段AB的中点。 （1）求直线AB的方程； （2）如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C，D两点，那么A，B，C，D四点是否共圆。为什么？,选例：,1、直线l：y=kx+1与双曲线C：2x2-y2=1的右支交于不同的两点A、B； （1）求实数k的取值范围； （2）是否存在实数
6、k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值，若不存在，说明理由。,3、过点（-1，-6）的直线与抛物线y2=4x交于A、B两点，若P(4.5,0),|AP|=|BP|,求直线l的方程.,4、已知抛物线y=-x2+ax+1/2与直线y=2x. (1)求证:抛物线与直线恒相交; (2)求当抛物线顶点在直线下方时a的范围; (3)当a在(2)的取值范围内时,求直线被抛物线截得的弦的最小值.,5、已知l1，l2是过点P（-2，0）的两条互相垂直的直线，且l1，l2与双曲线y2-x2=1各有两个交点，分别为A1，B1和A2，B2。 （1）求l1的斜率k1的取值范围； （2）若
7、|A1B1 |= 5 |A2B2 |，求l1与l2的方程。,6、已知某椭圆的焦点是F1(-4,0),F2(4,0)，过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且|F1B|+|F2B|=10.椭圆上不同的两点A(x1,y1),C(x2,y2)满足条件:|F2A|, |F2B|, |F2C|,成等差数列. (1)求椭圆的方程; (2)求弦AC中点的横坐标; (3)设弦AC的垂直平分线的方程为y=kx+m,求m的取值范围.,练习,1、 若一直线与抛物线y2=2px(p0)交于A、B两点，且 ,点O在直线AB上的投影为D(2,1),求抛物线方程。,2、如图，线段AB过x轴正半轴上一点M（m，0）(m0),端点A、B到x轴的距离之积为2m，以x轴为对称轴，过A、O、B三点作抛物线。 （1）求抛物线的方程； （2）若tanAOB=-1，求m的取值范围。,