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1、理解空间向量的概念/掌握空间向量的加法、减法和数乘/掌握空间向量的数量积的定义及其性质/理解向量在平面内的射影等概念,第47课时 空间向量的概念和运算,1空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量 (1)向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示 的向量 (2)空间的两个向量可用 的两条有向线段来表示 2空间向量的运算 定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算，如 下： ab； ,同一或相等,同一平面内,3运算律：(1)加法交换律：ab . (2)加法结合律：(ab)c (3)数乘分配律：(ab) . 4共线向量定理：空间任意两个向量a、 b(b0), ab
2、的充要条件是存在实 数，使 . 5共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，p与向量a，b共面的充要条件 是存在实数x，y使 .,ba,a(bc),ab,a b,pxayb,6空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量 p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使 . 7空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量a，b，在空间任取一点O，作 ，则AOB叫做向量a与b的夹角，记作a，b；且规定 0a，b，显然有a，bb，a；若a，b ， 则称a与b ，记作：ab. 8向量的模：设 a，则有向线段 的 叫做向量a的长度或模， 记作：|a|.,pxaybzc,互相垂直,长度,9向量的
3、数量积：已知向量a，b，则|a|b|cosa，b叫做a，b的 ，记作 ab，即ab|a|b|cosa，b 10空间向量数量积的性质 (1)ae|a|cosa，e；(2)abab0；(3)|a|2aa. 11空间向量数量积运算律 (1)(a)b(ab) ；(2)ab (交换律)； (3)a(bc) (分配律),数量积,a(b),ba,abac,1已知向量a平面，向量a所在直线为a，则() Aa Ba Ca交于一点 Da或a 答案：D,2如图，在四面体PABC中，G为ABC的重心，且 ， 则 _.(用a，b，c表示) 答案： (abc),3已知向量a(1,1,0)，b(1,0,2)，且kab与2a
4、b相互垂直，则k值是() A1 B. C. D. 答案：D,4如图，在四面体OABC中， a， b， c，D为BC的中点，E为 AD的中点，则 _.(用a，b，c表示) 解析： 答案：,计算平行六面体体对角线的长度与求异面直线上两点间的距离实质上是同一问题利用向量法求平行六面体的体对角线长与几何法相比有着非常明显的优势,【例1】 已知在一个60的二面角的棱上，如右图，有两 个点A、B，AC、BD分别是在这个二面角的两个 面内垂直于AB的线段，且AB4 cm，AC6 cm， BD8 cm则CD的长为_,解析： ，则 624282268cos 12068.| |2 (cm) 答案：2 cm,变式1
5、.平行六面体ABCDA1B1C1D1中，向量 两两的夹角均为60， 且| |1， ，则 等于() A5 B6 C4 D8 解析： ， 12223212233125. 则 5. 答案：A,利用共面向量定理可解决四点共面和直线与平面平行等问题 【例2】 如右图，已知平行六面体ABCDABCD，E、F、G、H分别是棱AD、DC、CC 和AB的中点，求证E、F、G、H四点共面,证明:取 则,与b、c共面.即E、F、G、H 四点共面.,变式2.如右图，PA平面ABCD，ABCD是矩形，M、N 分别是AB、PC的中点，求证：MN平面PAD. 证明:设 ,则, 与b、c向量共面，即MN平面PAD.,利用平行
6、向量的充要条件可解决三点共线和直线与直线平行等问题 【例3】 如右图，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，G为BC1D的重心， (1)试证A1、G、C三点共线； (2)试证A1C平面BC1D； (3)求点C到平面BC1D的距离,解答：(1)证明： 可以证明： 即A1、G、C三点共线 (2)证明：设 则|a|b|c|a，且abbcca0， abc， ca， (abc)(ca)c2a20， ，同理可证： ，因此A1C平面BC1D.,(3) abc， a2b2c23a2，即| | a，因此 .即C到平面BC1D的距离为 a.,1利用共线向量定理，可解决立体几何中三点共线和两直线平行等问题
7、2利用共面向量定理，可解决立体几何中，直线在平面内，直线与平面平行以及四点共面等问题 3要注意空间向量基底的选取，同时要重视空间向量基本定理的使用，用基底表示已知条件和所需解决问题的过程就是将几何问题转化为向量问题的过程 4通过向量的内积运算，可证明垂直问题，可计算直线与平面所成角，异面直线所成角以及距离等问题.,【方法规律】,(本题满分12分)已知如图所示，平行六面体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且C1CDC1CBBCD60 (1)求证：C1CBD； (2)当 的值是多少时，能使A1C平面C1BD？请给出证明.,解答：(1)证明：连结A1C1、AC；AC交BD于O，连C1O，
8、四边形ABCD为菱形，ACBD，DOBO，又BCC1DCC1，CC1CC1，C1BCC1DC，C1BC1D，DOBO，C1OBD，又ACBD，所以BD平面AC1，又CC1平面AC1. CC1BD. (2)由(1)知：BD平面AC1，因为A1C平面AC1， 所以BDA1C，当 1时，平行六面体的六个面是全等的菱形，同理：BC1A1C.又BDBC1B， A1C平面C1BD.,向量是解决立体几何问题的重要工具，利用向量可解决线面平行、线面垂直、三点共线、四点共面，以及距离和成角等问题，而利用向量解决立体几何问题关键在于适当选取基底，将几何问题转化为向量问题 本题第二问用向量法解决是非常好的选择，大大简化了推理和运算过程这样就很好地解决：“会做的题目花费时间过多”这一矛盾，考试过程中方法的选择就显的尤为重要.,【分析点评】,点击此处进入 作业手册,