1、1.1质量为加的质点由长度为/、质鼠为m的均质细杆约束在铅锤平而内作微幅摆动,如图E1.1所示。求系统的固有频率。解：系统的动能为：T=m(xiy+-lx122其中/为杆关饺点的转动惯鼠：则有：系统的势能为:J如E+存&专伽+“U=一COSX）+gg（1一COSX）2=mglx2+=扌（2加+加Jg/F利用咒”和T=可得:3(2加+片)g2(3加+加J1.2质量为加、半径为R的均质柱体在水平而上作无滑动的微幅滚动，在CA=a的A点系有两根弹性刚度系数为R的水平弹簧，如图E1.2所示。求系统的固有频率。解：如图，令&为柱体的转角，贝IJ系统的动能和势能分别为：T=-=mR2+-加同2=色価2护2
2、2(2丿4(/=2(/?+=k(R+aO1利用0=con0和T=U可得：3ml*4k(R+a/1.3转动惯最为丿的圆盘由三段抗扭刚度分别为，和心的轴约束，如图E1.3所示。求系统的固有频率。图EL3解：系统的动能为:心和心相当于串联,则有:8=Q+q,k=以上两式联立可得：0=占-0,2=占-&k2+人+心系统的势能为：u=丄w+-k.e；+丄=中气纠+人讣212-22332|_k2+k.利用0=（on0和T=可得：勿-从虫+人（+心）心+1.4在图E1.4所示的系统中，己知（Z=1,23）,叫d和4横杆质量不计。求固有频率。图EL4答案图EL4AF、_mgbK(d+b)Va(x一x.)crk
3、b2k解：对川进行受力分析可得:mg=强,即x3=学k.如图可得:_F_mga2k2(a+b)k2则等效弹簧刚度为:(ci+b/灯匕。叹&3+b2k2k5+(a+b)2ktk2则固有频率为:khk,(a+b$inkk1(a+bf+kka1+k2b2)1.7质彊“在倾角为Q的光滑斜面上从高/?处滑卜无反弹碰撞质鼠耳，如图E1.7所示。确定系统由此产生的自由振动。解:对“由能鼠守恒可得（其中儿的方向为沿斜面向卜）:ngh=*卩；，即vi=2gh对整个系统由动量守恒可得：“岭=(弘+)v0,即v0=J2ghw?1+m2令加2引起的静变形为兀，则有:-k令“+加2引起的静变形为兀2，同理有：（勺+
4、g）gsinaxi2=_r得:2=则系统的自由振动可表示为：x=xQcoscont+sina)nt其中系统的固有频率为:注意到比与X方向相反，得系统的自由振动为:x=xQcos/sina)ltt1.9质量为处长为/的均质杆和弹簧R及阻尼器c构成振动系统,如图E1.9所示。以杆偏角&为广义坐标，建立系统的动力学方程，给出存在自由振动的条件。若在弹簧原长处立即释手，问杆的最大振幅是多少？发生在何时？最人角速度是多少？发生在何时？是否在过静平衡位置时？答案图E1.9解：利用动量矩定理得：I0=_k&a_c&/mF0+3cF0+3ka10=0,mg=kdQaa,%=孟1.12面积为S.质量为加的薄板连
5、接于弹簧下端,在粘性流体中振动,如图E1.12所示。作用J：薄板的阻尼力为F(l=/z25v,2S为薄板总面积，卩为速度。若测得薄板无阻尼自由振动的周期为4,在粘性流体中自由振动的周期为打。求系数“。T图ELL2解：平而在液体中上卜振动时：mx+2/zS*x+kx=0rnma)nkk-/rS22.1一弹簧质量系统沿光滑斜面作自由振动，如图T2所示。己知，=30o,/n=lkg,k=49N/cm,开始运动时弹簧无伸长，速度为零，求系统的运动规律。解:mgsina=kxQmgsinalx98x丄249=0.1cm严輕=70讹/sx=xQcosC6nt=-0.1cos70/cm2.1图E2.2所示系
6、统中，已知川，c,k“丘和求系统动力学方程和稳态响应。:ZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZ图E21答案图E2丄解：等价J：分别为兀和呂的响应之和。先考虑兀，此时右端固结，系统等价为图（a）,受力为图（b）,故：mx+（代+k2）x+（q+c2）x=ktx+qxmx+ex+kx=Asin倒+qAcosatc=q+c2,k=k+k2,con=也十人(1)的解可参照释义(2.56),为：巾)=KAsniS-q)|qAcos(f-q)kJ(1-讨+(2财kq(i_s*+(2财(1)rn(2)其中:卜（2紛=/2卜C(f&+匕Jk+kj+仏+盯斫(q+CjTJ(亿+k2-
7、mct尸+(q+c2of故（2）为:讹)=sm(却-)+q也cos-q)J(+&-加斫+(q+c?)2斫=AiIsin(a)t_q+Q)V(化+总一加吋+(q+c,ofi_ELk+k2-i5队+心)=仪,(q+q网k+k2-amq=fg普考虑到兀(/)的影响，则叠加后的x(f)为:smf(of-fgT(f)?+堆(k+k-cormAjk；c；&/=i+人_加妙j+(q+c2y塚2.2如图T2-2所示，重物叫悬挂在刚度为k的弹簧上并处J：静平衡位置，另一重物从高度为处自由卜落到叱上而无弹跳。求函卜降的最人距离和两物体碰撞后的运动规律。解:动最守恒:平衡位置:故:h图T2-2叱=kx“+W2=kx
8、n,v2=答案图T2-2平衡位置故:X=-XCOS/+SLRO)nt=-x0cos6/+sind/2.4在图E2.4所示系统中，己知mk“k“化和,初始时物块静止且两弹簧均为原长。求物块运动规律。Xi卜Fqsina)t臥人（吃一西）心（尤2一兀）*-crFqsinanrnx解:图E2.4答案图E2.4取坐标轴並和x2,対连接点A列平衡方程:_kX、+k2(x2_xj+Fqsinan=0即:(代+k2bl=kyX2+Fqsinan(1)对w列运动微分方程:mx2=_比2(兀2_兀)即:mx,+k=kyX,丄(2)由（1）,（2）消去再得:wX+乜电一x,=上*-sm血kY+k2&+k2(3)故:
9、由（3）得:co.sinarsina)nt两)2.5在图E2.3所示系统中，己知mc,k,化和且CO时，X=x0,x=v0,求系统响应。验证系统响应为对初值的响应和零初值卜对激励力响应的叠加。解:x(r)=-s(Ccosf+Dsina)(lt)+4cos(6iX-04=?e=単kJ(l-M+(2财1x(0)=x。=C+Acos=C=&一AcosOx(t)=-现d%(Ccosf+Dsincodt)v0+现CAcosinO+CsniMt+DcodQQScodt)-4esin(血一Q)x(0)=v0=-现C+Dcod+AcosinO=D=求出C,D后，代入上面第一个方程即可得。2.7求图T2-7中系
10、统的固有频率，悬臂梁端点的刚度分别是及心，悬臂梁的质最忽賂不计。解:图T2-7答案图T2-7虽人和&为串联，等效刚度为:。（因为总变形为求和）眾和为并联（因为尾的变形等人的变形），则:灯3和人为串联（因为总变形为求和），故:故:心人_ktk2k4+kjc扎+kjc扎2.7由一对带偏心质鼠的等速反向旋转齿轮构成的振动机械安装在弹簧和阻尼器构成的支承上，如图E2.7所示。当齿轮转动角速度为时，偏心质最惯性力在垂直方向人小为032c7ome(XTsillCOt.已知偏心重W=1255M偏心距e=15.0cm，支承弹簧总刚度系数k=967.7N/cm,测得垂直方向共振振幅=1.07cw,远离共振时垂直
11、振幅趋近常值X。求支承阻尼器的阻尼比及在ty=300r/niin运行时机器的垂直振幅。解:心券右7亦r(D“呂尸1时共振,振幅为:远离共振点时，振幅为:vme1冲X.=LOlcm1M2X.=032cniM(1)(2)由(1)二?=me1a1meme/X2cc=300；7niin,故:X=厂=3.8x10一，加J(l-讨+(2财2.9如图T2-9所示，一质最川连接在一刚性杆上，杆的质鼠忽略不计，求卜列情况系统作垂直振动的固有频率：（1）振动过程中杆被约束保持水平位置：（2）杆可以在铅锤平面内微幅转动；（3）比较上述两种情况中哪种的固有频率较高，并说明理由。图T2-9解:(1)保持水平位置：叫=(
12、2)微幅转动:AJ答案图T2-9X=X+才=g+比山Kh+12Mg一MIh(h+l次M一MIh(中比中(A+/g也+也_丛4+4)+弘-卷加g故:2.10求图T2-10所示系统的固有频率，刚性杆的质鼠忽略不计。解:答案图T2-L0m的位置：x=x2+心=晋+兀2.11图T2-11所示是一个倒置的摆。摆球质鼠为人刚杆质鼠可忽略，每个弹簧的刚度为纟。2（1）求倒摆作微幅振动时的固有频率；（2）摆球质最加为0.9kg时，测得频率（）为1.5Hz,m为1.8kg时，测得频率为0.75Hz,问摆球质杲为多少千克时恰使系统处J：不稳定平衡状态？零平衡位置O./cos。零平衡位代答案图T2-11(2)解:（
13、1）(7=2-COS&)利用=e叫Qmaxmaxmax（2）若取卜-面为平衡位置，求解如下：T=-I02=-ml20222=kcrO1+mgl-mglO1=(ka2-mgI甘+mgl222与(T+U)=0,2ml166+20(kcr-mgl=0ml2d+(ka1-mgl)0=02.17图T2-17所示的系统中,四个弹簧均未受力,km=k,试问:(1) 若将支承缓慢撤去，质量块将卜落多少距离？(2) 若将支承突然撤去，质晟块又将卜落多少距离？解:m图T2-17(2)x(t)=xQcos(i)nt,max伽g一2.19如图T2-19所示，质杲为恥的均质圆盘在水平面上可作无滑动的滚动，鼓轮绕轴的转动
14、惯量为人忽略绳子的弹性、质鼠及各轴承间的摩擦力，求此系统的固有频率。图T2-L9解：系统动能为:T=-m.x1+丄/212&12H1J(X2m.x+2-2(2系统动能为:根据:v=|i()2+#2(外+知(砒=瓠爪+kf+审册心/怯，齢=确心,如+灯+kb1=/0+m.l12.24-长度为/、质彊为加的均匀刚性杆饺接点并以弹簧和粘性阻尼器支承，如图T2-24所示。写出运动微分方程，并求临界阻尼系数和无阻尼固有频率的表达式。图T2-24解：利用动量矩方程，有：J0=-k6cici一cQI,J=-ml13ml20+3cl20+3ka20=O3c/22.25图T2-25所示的系统中，刚杆质量不计，写
15、出运动微分方程，并求临界阻尼系数及阻尼固有频率。k3brntI答案图T2-25解:mOl1+c6aa+k6bb=0tnl20+ca20+kb10=0由=i=cy=2.26图T2-26所示的系统中,m=1kg,k=144N/m,c=48Ns/m,/i=Z=0.49m,b=05hb=025h不计刚杆质最，求无阻尼固有频率及阻尼J。答案图T2-252.26图T2-26所示的系统中,m=1kg,k=144N/m,c=48Ns/m,/i=Z=0.49m,2.26图T2-26所示的系统中,m=1kg,k=144N/m,c=48Ns/m,/i=Z=0.49m,解：受力如答案图T2-26o对O点取力矩平衡,有
16、n佩h+c自3厶+kg?I?=m/fO+clO+kl;6=016f.1=蔦mO+c6+k0=04=36mrad/s1c16m4.7两质量均为加的质点系丁具有张力F的弦上，如图E4.7所示。忽略振动过程中弦张力的变化写出柔度矩阵，建立频率方程。求系统的固有频率和模态，并计算主质嶷、主刚度.简正模态，确定主坐标和简正坐标。图E4.7答案图E4.7(L)解:smq三q*,丄，sm心占根据和加丄的自由体动力平衡关系，有：叫久=-Fsinq+Fsm0三一尸*+F儿；儿=#(儿一2开)/w2y2=-Fsinft-FsmQ=-Fj_尸今=彳()1-2儿)故：0F+一2-f0叫儿1-12丿2.当厲=鸥时,令
17、乙Silla,”-Y,sin血，久-加代入矩阵方程，有:J_1,12-:巾-1七-1-3)=04,2=133Fml根据(2-2比一匕=0得:-1-1,辽丿12_入2-入第1报型答案图E4.72.10图T4-11所示的均匀刚性杆质鼠为/1,求系统的频率方程。图T4-1L解：先求刚度矩阵。令6=1,x=0,得：k=k”b+k2cia=kjr+k2a2k2i=-k2a令e=o,x=i,得:kl2=-k】ak“=一匕则刚度矩阵为：K=再求质最矩阵。令0=1,x=0,得:叫=9八叫=0令0=0,X=l,得：答案图T4-11(2)ktb2+k2a2一k、aml2=0,m22=m2则质量矩阵为：M=3W
18、/r0m.故频率方程为:4.11多自由度振动系统质龟矩阵M和刚度矩阵K均为正定。对模态兀和X,.及自然数“证明：x：（MKt%=0,x：（KMt）Kxf=0解：Kx.=arjMxj,等号两边左乘KM1KMiKxj=arjKMiMxj=Kxj,等号两边左乘x：xKMKxj=0,当itj时重复两次：KMKxarKx等号两边再左乘KM1KMlKMKx.=arKMlKxr等号两边左乘琼xMKXj=arxKMlKxj=0,当ifj时重复/?次得到：xkM1kx,=0KXj=$MXj,等号两边左乘MK1MKlKxi=阎MKMXj故：Mxj=ajrMKlMxi,等号两边左乘xjx1iMxj=砺球MKiV/
19、k=0,当itj时即x,iMxj=0,当详j时重复运算：xMKMx.=eyjxfmK1Mxj=0,当i$j时重复II次。5.1质磧沐长/、抗弯刚度口的均匀悬臂梁基频为3.515（口/加，严，在梁自由端放置集中质量“用邓克利法计算横向振动的基频。解：111_F(m勺、of斫+斫E/(12.355+3丿EI6.088/*(3加+12355加J频。mm3w?.wA/441/41/4图E5.2解：当系统中三个集中质量分别单独存在时：f_9(/4)3_f_16(/4)3_9(/4)3儿一一_11112EI厲一12EI詁g叽+3叽_13/71/3192E/3.843IT5.2不计质竜的梁上有三个集中质鼠，
20、如图E5.2所示。用邓克利法计算横向振动的基5.3在图E5.3所示系统中，己知加和h用瑞利法计算系统的基频。kHl2k2/mk-AW?mZZZZZ6=0.4615.9在图E5.9所示系统中，己知R和人用传递矩阵法计算系统的固有频率和模态。图E5.9解：两端边界条件为:,自由端:固定端：X0r1-69222J厂69F-ar1-2k=s2xf=11-69k5由自由端边界条件得频率方程:-69*+1-69*2k2k)=ai=0.765Jy6A=1.代入各单元状态变鼠的第一元素，即:qft.22JkF得到模态:。=11.414j#2)=1-1.41475.10在图E5.10所示系统中,已知G/Pf(/
21、1,2),/,(/=1,2)和丿心=1,2八用传递矩阵法计算系统的固有频率和模态。JiGZpiGIJl/irJL图E510解:两自由端的边界条件知=0XLmbR1T20x=ori_10-arJlRMt1arJ.2XXR_*RZkqrZk1ek1221.5-GTJ.1-692A.Ai_692J.co4JJ+k212其中：k严牛,k罕。4-A由自由端边界条件得频率方程：空厶+竺旦_沪厶一力2人=0=召=0,代入各单元状态变最的第一元素，即：戸側+厶)得到模态:=ii7,严=i5.11在图E5.ll所示系统中悬臂梁质鼠不计，八/和口已知。用传递矩阵法计算系统的固有频率。图E5.M解：引入无量纲量:
22、r，兀茅恥空“业EIEIEI定义无最纲的状态变起:边界条件:左端固结：=MFs右端自由:根据传递矩阵法，有:得:其中点传递矩阵和场传递矩阵分别为:.1r100011-260100八，1，S：=011-00102001120010001S,M+Fs=0利用此齐次线性代数方程的非零解条件导出本征方程:沖+1=011-A-2+126=2=31I3EI二co=-5.12在图E5.12所示系统中梁质量不计,处I和EI己知，支承弹簧刚度系数k=6EI亿用传递矩阵法计算系统的固有频率。解：引入无量纲量:mParEI定义无屋纲的状态变危：X=y0MFs边界条件：左端餃支：X；=o00兀f,右端自由：=y00o
23、7根据传递矩阵法，有：hi丄丄260111200110001在支承弹簧处:/?11-61-211-2111oooR6X=2朋+迅_Fs=0=a=注意到上式中0为杆左端的转角，故在支承弹簧处的位移为:6EI6Eie因此有:2FS=ky=d34尺+2&一13E/6.3图E6.3所示阶梯杆系统中己知I加p,S,E和尿求纵向振动的频率方程。图E6.3解：0(x)=CSill+Ccosaa模态函数的一般形式为:题设边界条件为：血小0,E彎=窖现t)边界条件可化作：0(0)=0,ES00)=n?沪如)-上如)导出6=0及频率方程:6.4长为人密度为p、抗扭刚度为旳的的等直圆轴一端有转动惯鼠为丿的圆盘，另一
24、端连接抗扭刚度为上的弹簧，如图E6.4所示。求系统扭振的频率方程。图E6.4解：模态函数的一般形式为:题设边界条件为：0(x)=CSill+C.cosaag即G弊边界条件可化作：G切0（O）i0（O）,G*=-心以上两式联立消去C1和6得频率方程:其中“6.5长为八单位长度质最为0的弦左端固定，右端连接在一质鼠弹簧系统的物块上，如图E6.5所示。物块质最为加，弹簧刚度系数为匕静平衡位置在丁=0处。弦线微幅振动,弦内张力F保持不变，求弦横向振动的频率方程。解：模态函数的一般形式为:0(x)=CSill+C.cosaa题设边界条件为:y（0小0,卩豎1=+学丄如OX碰边界条件可化作:火0）=0,F0（z）=加”宛）一上如）Feoaniar-上)其中a=导出6=0及频率方程:Cdtan=a
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