1、教学设计： 选修 2-1 第二章 圆锥曲线与方程探索与发现：为什么二次函数 的图像是抛物线？浙江省长兴中学 许颖洲【课题名称】 探究与发现：为什么二次函数 的图像是抛物线？【 学情分析 】本节课取自人教A 版高中数学选修2-1 第二章圆锥曲线与方程中的“探究与发现”板块。在本节课之前学生已经学习了“抛物线及其标准方程”以及“抛物线的简单几何性质”这两节内容，掌握了抛物线的定义与标准方程，理解了抛物线焦点、准线的概念。【教学目标】1. 能够从抛物线的标准方程与定义两方面出发，研究抛物线与二次函数的关系。2. 能够从代数与几何的双重角度对抛物线问题进行探究。【教学重难点】重点：探究并证明二次函数的
2、图像是抛物线难点：从几何与代数两方面证明二次函数的图像是抛物线【教学过程】（一） 提出问题师： 我们是从什么时候开始接触抛物线这个概念的呢？早在初中的课本中， 我们曾遇到这样一段文字： 形如 是常数， 的函数，叫做二次函数。实际上，二次函数的图像都是抛物线。它们的开口或向上或者向下，一般地，二次函数的图像叫做抛物线。 这显然与高中给出的抛物线概念差别巨大。 高中所学的抛物线概念是这样说的：我们把到平面内一个定点 和一条定直线（ 不经过点 ） 距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点叫做抛物线的焦点，直线 叫做抛物线的准线。那么这两个抛物线是一回事吗？是否能够利用高中所给的定义去证明二次函数的图像就是一
3、条抛物线呢？老师把这样的疑问带进了今天的数学课堂， 希望同学们用智慧来一起解决这个问题：为什么二次函数 的图像是抛物线？可（二）探究思路（ 1）以形探数：从图像平移看抛物线思考 1： 在直角坐标系中将抛物线与 的图像向右平移一个单位，再向下平移一个单位，得到的图像还是抛物线吗？抛物线方程发生了什么变化？如下图所示：图像仍是抛物线。其中可发现形式的抛物线平移后所得到的方程， 可以整理成二次函数的表达式。而形式的抛物线仅通过平移不可能得到二次函数，这是由函数的定义所决定。(2)以数推形：从标准方程看抛物线：思考2:建立直角坐标系，如何利用定义得到抛物线的标准方程？重点为原点，建立直角坐标系。设，那
4、么的坐标为-，准线的方程为-.设抛物线上任意一点的坐标,根据抛物线的定义，可得方程根据抛物线的几何特征，我们以经过定点 且垂直于定直线的直线为轴，垂足为，取 的将上式两边平方并化简可得思考2:若有一个方程记为,那么这个方程所对应的曲线是什么图形？师：以上我们可以很好的说明抛物线的点到一个定点和定直线的距离相等。那么反过来，如果我们能将一条曲线的方程化简成或者的形式，也就能用定义来解释这条曲线就是抛物线。这是同学们在探究中可能会用到的基本思路。（三）合作探究师：刚刚我们从图像以及代数方程的角度分别研究了抛物线，很多同学也已经受到了启发，现在请同学们分别从这两个方向去探究 -的图像是否为抛物线？每
5、位学生取出事先已下发的用于探究的表格，内容如下：探究引例请你尝试探究二次函数-的图像是否为抛物线？探究方法以形探数：图像法以数推形：代数法探究过程方法推广这种方法是否能推广到说明的图像是抛物线？（写出证明过程）探究总结师：要求（1） 4人一小组合作完成表格中的探究过程（2）从图像与代数两方面研究引例问题，尽量给出两种办法（3）探究时长为7分钟，由组长代表发言（四）分享探究成果方法一：图像法（预设）教师结合几何画板进行图像变换演示探究问题请你尝试探究二次函数-的图像是否为抛物线？探究方法抛物线的一种标准方程为数-转化成,因此尝试通过代数变形将二次函 的形式，再通过图像的平移变换来说明。探究过程由
6、 -配方可得准方程的形式为单位再向上3个单位的结果。-,化成标,可知它是由抛物线向左平移1个方法推广这种方法是否能推广到说明的图像是抛物线？（写出证明过程）图像变换法能够推广，我们总可以把二次函数变形成-的形式。由函数图像平移的性质可知，只需沿着向量平移函数一 ，函数图像的形状不发生任何变化，平移后的函数解析式为，即-,这是顶点为坐标原点，焦点为 一的抛物线。探究总结根据函数图像平移的性质，平移后的函数的图像形状不发生变化。既然二次函数 -可以通过抛物线平移得到，那么二次函数-的图像就是一条抛物线。方法二：代数法（预设）教师结合板书进行配方法的演示探究问题请你尝试探究二次函数-的图像是否为抛物
7、线？方法与原理根据抛物线的定义：到f点和f直线跑离相等的动点形成的轨迹叫抛物 线。因此尝试用配方法从二次函数的方程中构造出距离公式，利用定义解释二 次函数是抛物线。探究过程在-的两边乘以2得到方程两边同时加上，得到，两边同时加上 ,得到对两边开方可得用跑离公式来看上式，表明函数上的任意一点到定点的跑离与这一点到定直线的跑离相等。方法推广这种方法是否能推广到说明的图像是抛物线？（写出证明过程）探究总结根据抛物线的定义可知，二次函数-的图像是一条抛物线师：有部分小组的同学想要用这个方法去解决今天的问题，但是大多数同学只做到了这一步（以填空的形式用ppt呈现），在这个探究过程中，把这些关键的空格我们
8、填上去就能够解决这个 问题。若两边同时加上 ，那么k等于几呢？（由一位学生进行板书，其他同学进行独立思考，最终师生共同完成代数法的探究过程）（五）方法推广在上述两组的探究过程中，同学们各有各的独到见解，大部分同学都能够顺利说明二次函数-的图像确实是一条抛物线。但是对于每种方法的推广还是有些不确定和疑问，那么我们一起来想办法解决。总结下来，主要有以下这两个问题：问题1:图像变换的方法可以推广到说明任意二次函数都是抛物线吗?图像变换法能够推广，我们总可以把二次函数变形成-的形式。由函数图像平移的性质可知，只需沿着向量一 平移函数一 ，函数图像的形状不发生任何变化，平移后的函数解析式为，即 -，这是
9、顶点为坐标原点，焦点为 一的抛物线。问题2:配方法能够推广到说明任意二次函数都是抛物线吗？学生 3: 由得 一 -, 两边力口上 可得， 一两边同时加上 配方可得，一 ,可以得出二次函数的图像一定是一条抛物线，焦点坐标是，准线方程是 .（六）探究总结1.抛物线的定义是探究基础。2.数形结合是基本方法。3.代数法的难点在于配方，配方的关键 在于待定系数。4.二次函数的图像是抛物线，符合抛物线的定义，但并不是所有的抛物线都是 二次函数。（七）课堂小结从以下三方面总结本课：探究思路：饮水思源，源于基本定义方法指导：千变万化，不离数形结合知识结构：难舍难分，函数方程曲线【教学评价】本节课选自高中数学人
10、教A 版选修 2-1 第二章 圆锥曲线与方程 的“探究与发现” 板块，课题名为“为什么二次函数 的图像是抛物线？”这节课主要由“提出问题、探究思路、合作探究、分享交流探究成果、探究总结、课堂小结”这六个环节组成。“提出问题” 环节引入得较为自然合理， 通过展现初中与高中课本中对抛物线的不同描述，引导学生产生疑问，从而提出本节课的探究问题。在“探究思路”环节，为避免学生在探究问题时无从着手， 教师在这一环节安排了三个思考， 主要从图像平移与代数变形两种角度进行方法铺垫， 为学生接下来在课堂上能够尽快入手探究奠定基础。 这一环节展现了本节课的核心内容与重要数学思想方法，体现课堂中教师的主导性。在探
11、究思路的铺垫下， “合作探究”这一环节顺势而行， 学生分组探究的方式大大提高探究效率， 多种方法和想法在分组探究的过程中进行碰撞与整合。 本环节属于探究课的核心部分， 时长 7 分钟的探究时间给学生充分的自由与思考余地，凸显出学生的主体性。在学生合作探究的过程中，教师在教室内流动指导，这使得学生讨论的氛围更为融洽， 对探究课有所陌生的学生逐渐融入到课堂中。 在“分享交流探究成果” 时， 由学生板演并陈述小组的探究结果的方式充分尊重学生的学习诉求， 将课堂气氛提升到本节课的最佳状态。 接着探究成果的呈现以学生发言结合教师点评的方式， 使得全体学生更全面、 准确、 深入地了解如何从 “形” 与“数
12、 两方面来解决所提出的问题。 分享交流成果后，教师做了“方法推广“的延伸，将特殊问题一般化，并处理得有详有略，舍却过分繁难的推导过程，充分把握住了课堂的整体性与节奏感。最后“探究总结”与“课堂小结”这两个环节分别从探究问题本身与课堂整体内容这两方面进行要点概括， 将学生的视野从具体的小问题拓展到数学的思想方法与知识结构上，具有较强的启发性。纵观整堂探究课，仍有些值得改进的地方。第一，学生的课前准备不足。一节气氛融洽的探究课需要学生预先对所探究的问题及其外延的基础知识有较为全面的了解。 课前准备不足所带来的问题就是学生过分依赖教师引导， 有部分学生在探究过程中缺乏参与性。 第二， 探究方法过于单一， 探究过程时长较短。 本节课在探究思路这一环节直截了当地给予学生图像与代数这两个探究的方向， 看似避免学生绕弯路提高探究效率， 但同时也埋没了学生有可能产生的其他不同的思路与想法。 后期改进建议， 可将本课题由一课时扩充到两个课时， 预留足够时间给学生进行探究的提前准备， 并充分给予学生在探究中试错的机会， 让学生从错误与成功的探究案例中体会探究性学习的乐趣。
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