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1、复变函数分析盾构隧道施工引起的地基变形第29卷2007笠第3期3月岩土工程ChineseJournalofGeotechnicalEngineeringVo1.29No.3Mar.,2007复变函数分析盾构隧道施工引起的地基变形王立忠,吕学金(1.浙江大学岩土工程研究所,浙江杭州310027:2.浙江省环境保护科学设计研究院,浙江杭州310007)摘要:半无限空间中孔洞受均布位移作用下的问题已由Verruijt采用复变函数解答,而本文中给定椭圆化位移边界条件下的解答尚无文献报导.本文应用Verruijt的基本解法,采用共形映射方法,把含括一个圆形孔洞的半无限空间区域映射为圆环域.然后把这个区域
2、内的解析函数展成Laurent级数的形式.利用Muskhelishvili的复变函数解法,求得隧道洞周给定位移条件下的应力场和位移场.分析了不同埋深,不同泊松比对位移场的影响,不同埋深对应力场的影响.最后分析了5个盾构隧道实测数据与4种不同位移边界条件解的对比情况.分析结果表明:笔者给出的第三,四边界条件的精确解对盾构隧道的设计有重要的实践意义.关键词:共形映射;半无限空间;洞周给定位移条件;应力场与位移场中图分类号:TU470文献标识码:A文章编号:10004548(2007)03031909作者简介:王立忠(1969一),男,浙江奉化人,教授,博士生导师.E-mail:.Acomplexv
3、ariablesolutionfordifferentkindsofovaldeformationaroundcirculartunnelinanelastichalfplaneWANGLi-zhong,LUXue-jin(1.InstituteofGeotechnicalEngineering,ZhejiangUniversity,Hangzhou310027,China;2.EnvironmentalScienceReseach&DesignInstituteofZhejiangProvince,Hangzhou310007.China)Abstract:Usingtheconfo
4、rmalmapping,theregionofexclusionofaholeinahalfplanewastansferedintoacirque.ThentheanalyticfunctionscouldbeexpandedasLaurentseriersinthisregion.ThestressesanddisplacementsundergivendisplacementcouldbesolvedbythecomplexmethodfoundedbyMuskhelishvili.Theinfluenceofthedisplacementsduetodifferentdepthandd
5、ifferentPoissonSratiowasdiscussed,andtheinfluenceofthestressesduetodifferentdepthwasdiscussedtoo.ItWaSshownthattheexactsolutionsofthethirdboundaryconditionsuggestedbytheauthorwasimportantinthedesigningofshieldtunnlingafterthecomparisionofthesolutionsunderfourdifferentconditionswiththedataobservedinf
6、ivedifferenttunnels.Keywords:conformalmapping;ahalfplanewithahole;ovaldeformationaroundthehole;stressanddisplacement0引言众所周知,软土中盾构隧道将引起地表沉降和地基侧向变形,由于问题的复杂性,历史上主要采用实测经验分析的方法,如Peck的沉降正态分布曲线图等.对隧道开挖引起的桩基侧向变形的分析最近国际上也逐渐引起重视.带孔洞半空间的性状分析是弹性力学的基本课题之一,历史上曾采用双极坐标法(Jeffery,MindlinLz)和复变函数方法进行求解.双极坐标法一般只求得应力场,未
7、能给出位移场.而且孔洞距离地表较近时,双极坐标法往往给出错误的数值计算结果.1987年SagasetaC41采用镜像法给出了半无限空间隧道在土体缺失不排水条件下位移场的简洁公式,但存在缺点:把孔洞周边的均匀变形作为了问题的边界条件,而实际隧道变形具有椭圆化性;当镜像法的边界条件作修正时,直接将其边界反力作用在没有孔洞的半空间上,当隧道浅埋时,采用布新耐斯克解的误差可想而知;土体是不可以压缩的材料.1996年VerruijtA和BookerJR改进SagasetaH的两个假设,即土体为可压缩材料和隧道变形可椭圆化,但Sagaseta方法的固有缺陷仍然存在.1998年LoganathanN和Pou
8、losHG把VerruijtA和BookerJR5J的工作进行了拓展,以土体缺失函数替代了土体缺失常数.这个工作非常有意义:经验性的土体缺失函数有了空间的分布.尽管理论结果与实测比较吻合,但必须指出,采用镜像理论求解该问题的缺陷仍然存在.2001年AntonioBobet7从隧道衬砌与隧道周边土体两种不同介质相互作用的组合问题入手,试图解决隧道孔洞周边变形模式的不确定性.但在隧道衬砌与收稿日期:20051226320岩土工程2007年土体的变形协调条件中无形地采用了特定变形路径的假设(先是土体均匀变形,与衬砌接触后共同变形),这种假定违背了他的初衷.2004年,2o05年,KyungHoPar
9、kts_9】给出盾构隧道孔洞周边4种径向变形模式,但对应力函数的简化似乎没有说服力.可喜的是,Park认真研究了隧道洞边的可能位移形态,为本文进一步研究奠定了基础.其实,解决给定位移下半空间含括一个孔洞的问题还有另外一种更重要的方法复变函数.20世纪以来,复变函数理论【lUJ已被广泛地应用在弹性力学领域,如徐芝纶Ll,Timoshenkot,Muskhelishvilit,路见可等人的力学专着中都有相关的论述.复变函数在推导平面弹性静力问题的最大优点在于:能把某些复杂几何构形的单连通域共形映射为几何构形较为简单的单连通域(例如单位圆内域或外域);能把含括一个孔洞的半无限空间共形映射为圆环域,然
10、后在这些区域内运用解析函数理论,将待求的解析函数就由该区域的边值条件来确定.本文利用复变函数求解孔洞周边给定位移条件下含括圆形孔洞的半无限空间问题,避免了双极坐标法计算上的困难,也避免了镜像法中关于奇点假设的不足,而且在给出应力场的同时还直接给出位移场.均布位移条件下带有圆形孔洞的半无限空间问题已由VerruijtA【l孓】采用复变函数解得.然而隧道周边的径向变形并非是均匀的,将会有椭圆化的变形发生,如图1所示.ParkIs-9总结了以往一些学者研究的隧道变形模式,简化出4种用三角级数表示的径向变形模式.作为问题的探讨,笔者参考文献15】的做法,获得了相应其他三种非均匀变形条件下的精确解答.0
11、图1二维空隙参数g的定义Fig.1Definitionofgapgin2D本文的第13部分是推导过程,第4部分是理论结果的性状分析,第57部分是4种不同边界条件下理论解与5个不同隧道实测值的比较.如图1所示,在与实测值的比较中,有一个很重要的参数空隙g需要重新说明.空隙g由1982年Lo和Rowe,1983年Rowe和Kack,1992年Lee等人引入,定义为当量土体缺失参数,由物理空隙,隧道掌子面引起的三维空间弹塑性变形和工人操作因子三部分组成,其实质为拱顶径向位移,具体计算详见LoganathanN和PoulosHG文献【5】的附录一.另外,4种不同变形模式的比较是建立在相同土体缺失体积的
12、条件之上.数据分析表明:第三,四种边界条件的解更具有很好的实践意义.1问题的描述在Z平面(直角坐标系),图2给出了半无限空间孔洞的构形.ro为隧洞半径,h为孔洞中心到水平地表的距离,为A,C两点的距离.A为坐标原点,C为孔洞内周线顶点,D为孔洞内周线最低点.尺区域为半无限空间除孔洞以外的区域.:平碡O(A)B图2半无限空l司的一个孔洞Fig.2Ahalfspacewithacircularcavity引用Muskhelishvili平面问题的复变函数解法】,各应力,位移分量可通过两个在区域内的解析函数(z)和(z)表达出来.应力公式如下+ay=2妒(z)+妒(z),(1)一+2i%=2矽(z)
13、+I6,(z),(2)即=2Re(妒,(z)一Re(z)+I6,(z),Oy=2Re(0,(z)+Re(z)+(z),=IIIl(z)+I6,(z);位移公式如下:(3)2G(u+iv)=?妒(z)一Z?妒(z)一(z),(4)其中G=E/(2+2/t)为剪切模量,对于平面应变问题=34it,为泊松比.在Z平面,边界条件为Z=Z:妒(z)+Z?(z)+I6,(z)=0,(5)lZ+hil=,.:2G(u+iv)=?妒(z)一Z?妒(z)一I6,(z).(6)2复变函数解法2.1共形映射在平面,图3给出了半无限空间孔洞构形映射后的表示.斜线标注部分为区域,是图1中尺区域经共形映射后的区域共形映射
14、公式为z:-f.(7)l十l一区域中的洞周线Iz+hiI=ro,水平线Z=Z,点第3期王立忠,等.复变函数分析盾构隧道施工引起的地基变形321A,B,C,D分别映射为区域中的=,=1,点A,B,C,D.确定(0<<1)的公式为鱼:.(8)h1+rl弭面=+irl,图3共形映射区域Fig.3Planeofconformaltaransformation2.2z)和z)在平面的Laurent级数展开O(z)和(z)在R区域内是解析函数.映射函数)是解析函数,因此由复变函数理论得出,()和()在区域内都是解析函数.妒()和()可以展成Laurent级数的形式:(z)=()=()=+,(9
15、)(z)=()=()=co+dk(,(10)同时z=,令=且=1,则一1pdr.:=一一:一olll)2(1一)2.3按面上的边界条件求级数系数边界条件式(5)改写为l:0(O+oxc一)(O=.,(12)把式(9)(11)代入式(12)解得=一ao一寺口1一寺,(13)c=易+(七一1)a一1一寺(+1)ak+1,k=1,2,3,(14)dk=一ak+寺(七一1)一1一寺(+1)bk+1,k=1,2,3,(15)边界条件式(6)改写为:).oJ(OL=2G(u+iv)=,()=f(adr).(16)令,(=(1一?f(triO)=,把式(9):一(11),(13)(15)代入式(16)解得(
16、1一+1一+=(1一2)口一(1+2良)bk+A一良,k=1,2,3,(17)(1+厢)口+(1一)(+1)=(+厢+(1一)足+A,=1,2,3,(18)(1一)口一(+)=Ao一(+1)a.,(19)(1+厢)口+(1一)=A+(1+口o.(20)注意:公式(18)修正了VerruijtA【15J文献中公式(31)中的加减符号错误.3洞周4种给定径向位移条件下的解答3.1边界条件的给出如图4所示,Park简化出了隧道周边四种径向位移边界条件.采用图5极坐标(原点在0)的表述如下:BC一1:Ur(r=ro)=一U1,(21)BC一2:Ur(r=ro)=一U2(1+sinl9,),(22)BC
17、一3:Ur(r=ro)=一3(1+sin一cos),(23)BC一4:Ur(r=to)=一(5+3sina-3cos.(24)(a)BC一1(c)BG-3(d)Bc_4图44种径向位移边界条件Fig.4Fourboundaryconditionsofradialdeformation0Mf/.一图5边界条件的极坐标表示Fig.5Boundaryconditioninpolarcoordinate3.2相同沉降体积下各最大位移关系当ui(14)<<ro,有以下关系BC一1:=2nrul,(25)BC一2:S2=2nru2,(26)322岩土工程2007年由于Verruijt采用复变函
18、数建立的xoy坐标系与Park采用极坐标不同,因此隧道周边的位移边界条件要进行变换.令M为xoy坐标系中的任意一点,点位表示为Z;点M在xdy坐标系中的点位表示为Z,两者之间的关系为Z=Z一ih.(30)当点M在隧道周边时,在两坐标系中分别表示为z,Z:,显然满足式(3O).如图5,当点M在隧道周边时,可建立关系:si=;c刚=等,(31)Z:一i.(32)cco(aa)l+l一口从式(30)(32)和式(8)推出sin0=1+2(1-at)1cosTi(1-or2).(33)(1)BC1的变换BC.1边界条件的变换已由Verruijt完成.各项系数如下:ao=一2iGul,A=2iGul,=
19、0(k2),A_女=0(k1).(34)(2)BC.2的变换把式(21)转化到如图2所示的Z平面上,当IZ+ihI=ro时,Ullzc+ihl=r=-U2,5把式(30)转化到如图3所示的平面上,当=时,_.If(1+)2(1一2)21,.一Ip=一2【一一.(1-ota)(1-ota-1)1-ota.(36)故f(aa)=(1一)?f(ctcr)=2GuI?(1一)+A+A一,k=2k=l其中2批,1)oj=一3+)G,Al=c7+52_3一G,A=一堑4i,(),批,().3.4程序编制过程(40)根据问题的对称性,Verruijn假定所有系数均为纯虚数,由初始常数口n值代入式(17),(
20、18)求得a,;因(z)和(z)是收敛级数,故可以推出n=ljmb,因此可以求出0,从而由式()(),=0a1315式(17)(2O)求出(z)和(z)的各项系数.与Verruij不同,本文不采纳对称性假设,直接迭代计算,然后进行收敛判断,过程如下:(1)对方程式(17),(18)进行极限分析,结合公式(34),(38),(39),(40)可以看出,当A_,+,趋向0,kNl(,为某一整数)时,当kN2(2为某一整数),口=也趋向一固定值.若要使得(9),(10)级数收敛,则必须lima+l=一limbk0,k-4k4于是可求得a,从而得出两个级数的各项系数(迭代计算次数为max(N1,N,)
21、(注:本程序中l由10确定,本程序中由10确定,2由级数相邻项系数之差10确定).(2)利用公式(1)(4)可以得出土体的应力场和位移场(由于无限远处的位移为零,所以各点位移要减去无限远处位移).(37)4计算结果分析各应力分量的计算见公式(3),文中计算结果+,一的规定:拉应力为正,压应力为负;位移如数藤一一搬变,椭一一一+一3自一一一一一;8缺界第3期U沿轴正向为正,负.王立忠,等.复变函数分析盾构隧道施工引起的地基变形323位移v沿Y轴正向为正,反之为关系.4.1平面应变位移场分析-0.Q5-0.10-0.15-0.20-0.25-0I30e)一z+(4.V)一z+.(1)不同hlro和
22、位移边界条件对沉降槽的影响算例选用的计算参数为:泊松比取0.5,孔洞半径ro=l,孔洞中心距水平线h=1.5ro,4ro,10ro,E=l,l=l,2=l,3,4=号;Y0.图6分别给出了不同隧道埋深h=1.5ro,4ro,10ro分别对应的v/u曲线图.结果表明:a)随着相对埋深的增加,4种边界条件分别对应的沉降槽最大深度均减小,沉降盆曲率降低也很大.b)h4ro时,4种边界条件对应的沉降槽最大深度关系为:vBc一3<vBc一4<vBc一2<vBcl.h>4ro时,4者关系为:vBc一4<vBc一3<vBc一2<VBcl,且VBC一4VBC一3VBC
23、一2VBCI.c)h=1.5ro时,4种边界条件分别对应的沉降槽深度曲线在=+2ro附近有交点;h=4ro时,4条曲线在=+_4ro附近有交点;h=10ro时,4条曲线在=+lOro附近有交点.交点位置与hlro有一定的对应(2)不同泊松比对沉降槽的影响算例选用的计算参数为:泊松比取0.25,0.5,孔洞半径ro=l,孔洞中心距水平线h=1.5ro,E=l,l=l,2=l,3=4,u4=78,y=0.以BC.3,BC.4为例,图7分别给出了h=1.5ro(1t=0.25,0.5),1.5ro(1t=0.25,0.5)分别对应的v/u曲线图.结果表明:a)无论是埋设较深的隧道(=lOto)还是埋
24、设较浅的隧道(=1.5ro),泊松比对隧道沉降槽深度的影响比较大.泊松比越小,沉降槽深度越大.b)在4种不同边界条件下埋设较深隧道(=lOtn)的沉降槽深度受泊松比的影响程度要比埋设较浅(h=1.5ro)的少.c)在隧道埋设较深的情况下,不管泊松比怎样变化总有:VBc一4VBc一3.(a)h=1.5Pb,=0.25,0.5gc-3(u=0=o.50z5;2cC4-4(/t=0.50(b)h=10%,=0.25,0?5图70曲线Fig.7Thecurvesofv/uo(3)不同位移边界条件和/rn对水平位移的影响算例选用的计算参数为:泊松比取0.5,孔洞半径ro=l,孔洞中心距地表h=1.5ro
25、,h=4ro,/Ih=10ro,=2ro,E=l,正ll=l,正l2=l,正l3=-r,u4=8,Y=0.图8分别给出了h=1.5ro,4ro,10ro分别对应的=2ro处水平位移u/u曲线图.结果表明:a)隧道埋设深度越浅,同一纵断面隧道水平位移的最大值就越大;当小于某一埋设深度,水平位移最大值出现的位置趋向于地表面.当大于某一埋设深度,水平位移最大值出现的位置趋向于隧道的腰线且各边界条件下水平位移的最大值略有回升.324岩土工程2007矩(b)=4to,p=0.5.:2uluo(c)h=10ro.p=0.5.x=2ro图8曲线Fig.8ThecurvesofU/Uob)BC.1和BC.2的
26、曲线很接近,BC.3和BC.4的曲线很接近.当埋设深度较深(h=lOro)时,4种不同边界条件对应的水平位移曲线比较一致,但各曲线仍然有相互交叉的现象.4.2应力场分析度量单位的规定:孔洞周边的位移采用单位位移,孔洞半径采用单位长度.计算的应力为由洞周位移引起的附加应力,实际应力为附加应力与重力场的叠加.第一,第三主应力计算公式为=半+=半一(42)图9中纵坐标急(),是()无量纲的含义为:第一,第三主应力单位同弹性模量,大小正比于孔洞周边位移.算例选用的计算参数为:泊松比取0.25,0.5,孔洞半径ro=1,孔洞中心距水平线h=1.5to,E=1,l=1,2=1,3=,4=萼,y=0.图9分
27、别给出了h=1.5ro(P=O.5),h=lOro(g=O.5),h=1.5ro(g:0.25),h=lOro(:0.25)分别对应嘉(),嘉()曲线图.结果表明:(1)水平面上满足应力边界条件,受压区长度随隧道埋设深度的增加而增加,受压区长度受泊松比的影响比较小.(2)隧道埋设深度较浅时(如h=1.5r0)时,4种边界条件对应的最大压应力的关系为:()Bc一4<()Bc_3<()Bc一2<()Bc一1.隧道埋设深度较深时(如|Il=lOro)时,4者关系为:()Bc一()c一,<()c一()c一,同沉降槽最大深度的变化规律比较一致.(3)随沉降槽深度的增加,水平面上最
28、大压应力也相应增加,受压区长度变短.5沉降槽现场实测与理论计算的比较Lo和RoweI】采用了弹塑性有限元对盾构隧道图体的位移场进行了深入的分析,该研究主要对拱顶位移做了性状分析,未给出隧道周边位移变化的具体模式和数值(如位移的径向和切向值).本文采纳了Lo和Rowe17提供的拱顶位移位移值譬,并假定隧道周边仅有径向位移且在相同的土体缺失条件(S=2nr0g)下,分析了各种椭圆化位移边界条件下场地的变形.表1给出了5个隧道的几何尺寸,土性参数等(Loganathan和Poulos,1998【o).现取参数如下:E=,=QSuo=g.图10分别给出了Heathrow快速火车隧道,ThunderBa
29、y隧道,绿色公园隧道,巴塞罗那网络延伸地铁隧道及Bangkok下水道的地表沉降实测资料与4种不同边界条件下理论解的对比图.规律如下:(1)边界条件BC.3,BC.4的解比BC.1,BC.2的解更加接近实测资料.BC.3,BC.4的地表中轴线沉降与沉降槽深度的偏差为5%20%.(2)巴塞罗那网络延伸地铁隧道,Bangkok下水道的理论曲线与实测曲线形状几乎相似,数值的大小可能与弹性模量取值有关.绿色公园隧道的理论曲线与实测曲线主要部分几乎重合.(3)经与实测比较的BC.3,BC.4的理论曲线要优于1996年VerruijtA和BookerJR【5】,Park所得到的曲线.6水平侧移实测与理论计算
30、的比较图l1分别给出了Heathrow快速火车隧道距中心线6m纵断面处,Heathrow快速火车隧道距中心线9m第3期王立忠,等.复变函数分析盾构隧道施工引起的地基变形3256-42246128-464812I,IlIlllll,蔚,l.1.I吾(等.oll_.-0.1l-0.2一2l_0.323-0.43(等)-4(去)1.0.34一4(a)h=1.5./1=0.5(b)h=10ro./1-0.5-4-246128-464812,o.5.LJ0lt吾(等).一一_0.5蹲-o.1;4一l-0-1.5-o.22-0-2.5-o.3Tt-(z)搿-3.o斋c去.10三.(c)h=1.5,/1=0
31、.25(d)h=10ro./t=0.25图9o-lr0),r0)曲线Fig?9u2G(r0表1隧道几何尺寸及土性Table1Geometryandsoilconditionsofthetunnels(LoganathanandPoulos,1998)隧道名称h,d/mE./MPakN?m)空隙g/mm土质参考资料Heathrow快速火车隧道ThunderBay隧道绿色公园隧道巴塞罗那网络延伸地铁隧道19,8.53510.7,2.4729.4,4.1410.0,8.0k下水道l8.5,2.66l9l8l9l8l758伦敦硬黏土Deane和Bassett(1995)淤泥质软黏土伦敦黏土3l砂砾质硬
32、黏土Rowe和kack(1983)Rowe和Kack(1983)Ledesma和Romero(1997)8l软黏土到硬黏土Phienwej(1997);Ramasamy(1992)目目目(a)Heathrow速火车隧道(b)ThunderBay隧道目目xlm(c)绿色公园隧道图104种边界条件地表沉降解的比较Fig.10Comparisonofsolutionsofsurfacesettlementforfourdifferentboundaryconditionsm加326岩土工程2007年目越磺目磺(a)Heathrow速火车隧道距中心线6m处ulm茸越磺(b)Heathrow速火车隧道距
33、中心线9m处ulm(c)nderBay隧道距中心线2.2m处(d)B丑rIgk0k下水道距中心线4m处图114种边界条件水平位移解的比较Fig.11Comparisionofsolutionsoflateraldisplacementforfourdifferentboundaryconditions纵断面处,ThunderBay隧道距中心线2.2m纵断面处,Bangkok下水道距中心线4m纵断面处水平位移实测资料与相同位置在4种不同边界条件下水平位移理论解的对比图.规律如下:(1)4种不同边界条件下水平位移理论解的变化规律均同实测水平位移的变化规律.BC一3,BC一4的解比BC一1,BC一2
34、的解更加接近实测资料,BC一4的解最好.(2)BC一4的解可以作为水平位移的保守估计.7中轴线处实测沉降数据与理论计算的比较图12分别给出了Heathrow快速火车隧道距中心线处,ThunderBay隧道距中心线处,绿色公园隧道中心线处垂直位移实测资料与相同位置在4种不同边界条件下垂直位移理论解的对比图.规律如下:(1)4种不同边界条件下垂直位移理论解的变化规律均同实测垂直位移的变化规律.BC一3,BC一4解的曲线比较接近,数值上要比BC一1,BC.2的小,而BC一1,BC一2解的曲线更加接近实测资料(图11(a)除外),这可能与工程实际非均一的土层有关.(2)BC一3,BC一4的解可以作为垂
35、直位移的保守估计.8结语采用半无限空间孔洞问题的复变函数解法,考虑隧道周边变形的椭圆化分布,本文获得了洞周在第二,第三,第四位移边界条件下位移场和应力场的精确解答.然后对不同埋深,不同泊松比对位移场的影响,囊3-6-BC-2-9-12.一十实测着潭车髓j醛卜l,目越磺目越磺(a)Heathorow火车隧道中心线处vlm(b)ThunderBay/道中心线处vlm薹5t-IIBC-115-2一一实测l一-车髓j一20卜,-.自目一30L(c)cteenP丑rk隧道中心线处图124种边界条件垂直位移解的比较Fig.12Comparisonofsolutionsofverticaldisplacem
36、entforfourdifferentboundaryconditions不同埋深对应力场的影响进行了分析,总结出了一些很有意义的规律.最后分析了5个隧道实测数据与4种不同位移边界条件解的对比情况.从4种不同边界条件的解与实测的数据的对比分析及与1996年VerruijtA和BookerJR【,Park所得到的结果对比分析知,第三,第四位移边界条件下的解与实际情况比较吻合.但是一般地下隧道工程很少进行基底监测,第3期王立忠,等.复变函数分析盾构隧道施工引起的地基变形327因此在实际工程中建议采用第三位移边界条件下的解.综上所述,本文一方面从理论上完善了半无限空间含括一个孔洞在孔洞周边不同位移边
37、界条件下的求解过程,另一方面将对盾构隧道的具体设计具有重要的指导意义.参考文献:1】JEFFERRYGB.PlanestressandplanestraininbipolarCOordinates,TransactionsoftheRoyalSociety,London,England,1920.2】MINDLINRaymondD.StressdistributionaroundatunnelJ.ASCE,1940.3】MINDLINRaymondD.StressdistributionaroundaholeneartheedgeofaplateundertensionC/Proceeding
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39、dictionfortunnelinginducedgroundmovementsinclayJ.JournalofGeotechnicalandGeoenvironmentalEngineering,ASCE,1998.7】BOBETAntonio.AnalyticalsolutionforshallowtunnelsinsaturatedgroundJ.JournalofEngineeringMechanics,2001.8】PARKKyungHo.ElasticalsolutionfortunnelinginducedgroundmovementinclaysJ.Internationa
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