《线性代数总复习.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数总复习.ppt（56页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、总 复 习,第一章 行列式,1、了解行列式的概念；,3、会用行列式的性质和展开定理计算行列式；,2、掌握行列式的性质和展开定理；,4、掌握几种特殊行列式的计算。,5、会用克莱母(Cramer)法则;,第二章 矩阵,2. 理解逆矩阵的概念, 掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件, 理解伴随矩阵的概念, 会求逆矩阵。,3. 掌握矩阵的初等变换,了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念。,4. 了解分块矩阵及其运算。,1. 理解矩阵的概念, 了解单位矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵, 以及它们的性质; 掌握矩阵的线性运算、转置、乘法、方阵的幂与方阵的行列式。,第三章 向量 线性关系 秩,1. 理解
2、n维向量的概念以及向量的线性运算;,2. 理解向量组的线性组合与线性表示的概念;,3. 理解向量组线性相关, 线性无关的定义, 了解并会用向量组线性相关, 线性无关的有关性质及判别法;,4. 理解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念, 会求向量组的极大无关组和秩，理解向量组等价的概念;,5. 理解矩阵秩的概念及与向量组秩的关系及其计算,第四章 线性方程组,1. 理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件;,2. 理解齐次线性方程组的基础解系和通解的概念, 掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法;,3. 理解非齐次线性方程组的解的结构和通解的概念;,4.
3、会用消元法求解线性方程组.,第五章 线性空间与线性变换,1. 了解向量空间, 子空间, 维数, 基底, 坐标等概念;,2. 了解基变换和坐标变换公式, 会求过渡矩阵;,3. 了解线性变换的概念，会求线性变换的矩阵；,5. 了解规范正交基, 正交矩阵的概念, 以及它们的性质.,4. 了解Euclid(欧几里得)空间及内积的概念, 掌握将线性无关向量组正交化的施密特(Schmidt)正交化方法;,第六章 矩阵的特征值与特征向量,1. 了解矩阵的特征值和特征向量的概念及其求法;,2. 了解矩阵的特征值和特征向量的性质;,3. 了解相似矩阵的概念及性质;,4. 掌握将(实对称)矩阵(正交)相似对角化的
4、方法.,第七章 二次型,1. 掌握二次型及其矩阵表示, 了解二次型秩的概念, 了解合同变换与合同矩阵的概念, 了解二次型的标准形和规范形的概念以及惯性定理;,2. 掌握用正交变换化二次型为标准形的方法, 会用配方法化二次型为标准形;,3. 理解正定二次型和正定矩阵的概念, 掌握其判别法.,典型例题,1. 计算,24页：11 (1), (3), (4), 12,2. (051,2,4)(4分) 设1, 2, 3均为3维列向量, 记矩阵A=(1,2,3), B=(1+2+3, 1+22+43, 1+32+93),如果|A|=1, 求|B|.,解法一 |B|=|1+2+3, 1+22+43, 1+3
5、2+93|,=|1+2+3, 2+33, 2+53|,=|1+2+3, 2+33, 23|,=2|1+2+3, 2+33, 3|,=2|1+2, 2, 3|,=2|1, 2, 3|,=2|A|=2,B=(1+2+3, 1+22+43, 1+32+93),解法二由于,所以,解 A-1BA=6A+BA,B-AB=6A, A-1B=6E+B, B=6A+AB,B=6(E-A)-1A, 即,49页：10, 11, 12, 18,4.(041,2) 设A是3阶方阵，将A的第1列与第2列交换得B, 再把B的第2列加到第3列得C, 求满足AQ=C的可逆矩阵Q.,解 由已知有: B=AP1,2, C=BP2+
6、3(1),所以有: Q=P1,2P2+3(1),于是， C=AP1,2P2+3(1),解 由于,所以, a=0或a=-10时, 1, 2, 3, 4线性相关.,a=0时, 由于,此时R(A)=1, 1是一个极大线性无关组, 且有,2=21, 3=31, 4=41,a=-10时, 由于,可见, 此时R(A)=3 , 1,2,3是一个极大线性无关组, 且,4=-1-2-3.,64页：6, 7, 12, 15,解 由于方程组的增广矩阵为,可见, 当=-4/5时, R(A)=2, R(A|b)=3, 方程组无解.,当-4/5, 且-1时 R(A)=R(A|b)=3, 方程组有唯一解.,当=-1时, 有
7、,所以, 有R(A)=R(A|b)=2, 方程组有无穷多解, 且通解为,或写成,也可以写成向量形式,解 由于A*0, 所以存在某个Aij0, 于是R(A)n-1.,又由于Ax=b的解不唯一, 故R(A)n. 于是R(A)=n-1.,B,所以, 方程组Ax=0的解空间是1维的. 故应选(B).,78页：5 ; 79页: 9, 1,7*.,117页：2(2) , (3) ; 3(1) , (2) ;,8*.,135页：2(2) , (3) ; 5,行列式的概念,定义 由n个数 1,2,3,n 所组成的一个有序数组称为一个n级排列。,一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数。,逆序数为奇数的排列
8、称为奇排列，逆序数为偶数的排列叫做偶排列。,其中，ti是比pi大的且排在pi 前面的数的个数,定理 对排列进行一次对换, 改变排列的奇偶性。,定义,行列式的性质,性质1 行列式与其转置行列式相等, 即D=DT。,性质2 行列式可以按行(列)提取公因子.,行列式的性质,性质3 行列式两行(列)互换，行列式变号.,性质4 行列式某两行(列)元素相同, 则行列式为零。,性质5 行列式某两行(列)元素成比例, 则行列式为零。,行列式的性质,性质6 若行列式的某一行(列)的元素都是两个数之和,则行列式可分成两个行列式之和。,行列式的性质,性质7 行列式某一行(列)的若干倍加到另一行(列)对应的元素上，行
9、列式不变.,行列式展开定理,. 行列式展开定理: 行列式的值等于其任何一行(列)元素与其对应的代数余子式乘积之和. 即,. 关于代数余子式的重要性质：,Cramer法则及其应用,. Cramer法则 若D0, 则Ax=b有唯一解: xi=Di /D,. 解判定 Ax=0有非零解|A|=0.,Ax=0只有零解|A|0.,Ax=b有唯一解|A|0.,Ax=b无解|A|=0.,Ax=b有无穷多解|A|=0.,特殊行列式的计算,. 对角行列式, 上(下)三角行列式: 对角线元素乘积,. 二、三阶行列式: 对角线法则,特殊行列式的计算,. Vandermonde行列式,线性运算, 乘法, 转置, 方阵的
10、幂, 方阵的行列式;,|AB|=|A|B|: A, B为同阶方阵.,A+B: A, B为同型矩阵(行和列都相等);,AB: A的列数等于B的行数, ABBA,AB=0推不出A=0或B=0,AB=AC或BA=CA推不出A=0或B=C,矩阵的运算,|kA|=kn|A|, |A+B|A|+|B|,逆 矩 阵,可逆矩阵又称为非异阵或非奇异阵.,若AB=E (或BA=E)，则A可逆, 且B=A-1 (A为方阵)。,（） (A-1) -1=A,（） (AT)-1=(A-1)T,（） (kA)-1 =1/k A-1,（） (AB)-1=B-1A-1,逆矩阵的计算:,A可逆|A|0。,（） |A-1| =1/
11、|A|,（） (Ak)-1=(A-1)k A-k,(A+B)-1A-1+B-1,伴 随 矩 阵,|A*|=|A|n-1 (A*)-1=A/|A|=(A-1)* (A可逆时),AA*=A*A=|A|E, A可逆时有A*=|A|A-1,(AT)*=(A*)T (cA)*=cn-1A*,(AB)*=B*A* (Ak)*=(A*)k,(A*)*=|A|n-2A,n=2时有:,初等变换与初等矩阵,初等变换与初等方阵的关系：,初等变换: rirj , kri , rj+kri , cicj , kci , cj+cri,初等矩阵: Pi,j, Pi(k), Pi+j(k),矩阵的等价: A经初等变换变成B
12、，称A与B等价；,P-1i,j=Pi,j, P-1i(k)=Pi(1/k), P-1i+j(k)=Pi+j(-k),分块对角矩阵,分块对角矩阵,分块对角矩阵,设A为n阶方阵, 若A的分块矩阵只有在主对角线上有非零子块, 其余子块都为零矩阵, 且非零子块都是方阵, 即,则称A为分块对角矩阵, 分块对角矩阵具有性质:,（a） |A|=|A1|A2|As|,（b）,定义 给定向量组: 1, 2, , m , 若存在一组数 k1, k2,km , 使: =k11+k22+ +kmm , 则称向量可由向量组1, 2, , m线性表示, 也称向量是向量组1, 2, , m的线性组合. 称可互相线性表示的两
13、个向量组等价.,向量组的线性表示,向量可由向量组1, 2, , m线性表示当且仅当线性方程组 x11+x22+xm m=有解.,向量可由向量组1, 2, , m线性表示当且仅当向量组1, 2, , m和1, 2, , m, 有相同的秩.,反之, 线性方程组Ax=b有解当且仅当常向量b可由系数矩阵A的列向量组线性表示.,如果矩阵A可经过初等行(列)变换变成矩阵B, 则矩阵A和矩阵B的行(列)向量组等价.,若C=AB, 则矩阵C的列向量组能由矩阵A的列向量组线性表示, 而且矩阵B的各列恰是对应的表示式系数.,向量组的线性表示,实际上, 由,可得, i=b1i1+b2i2+bmim .,若C=AB,
14、 则矩阵C的行向量组能由矩阵B的行向量组线性表示, 而且矩阵A的各行恰是对应的表示式系数.,如果 , 则向量 能用1, 2,m唯一线性表示. 而且此时有,向量组的线性表示,则表示式为: =a11+a22+amm,这是因为: (1,2,m)x=, 即 =x11+x22+xmm,的解为: x1=a1, x2=a2, , xm=am,如果 , 则向量 能用1, 2,m线性表示, 但表示式不唯一. 设此时有,向量组的线性表示,则表示式为:,=(a1-c1r+1k1- c1mkm-r)1+ +(ar-crr+1k1 - crmkm-r) r +k1r+1 + +km-rm , k1,k2,km-2R,定
15、义 若存在一组不全为零的数k1, k2 , , ks, 使:,k11+k22+ +kss=0,则称向量组1, 2, , s线性相关, 否则称线性无关.,向量组的线性相关性,向量组1,2, ,s线性相关(线性无关)齐次线性方程组 x11+x22+xss=0有非零解(只有零解).,反之, 齐次线性方程组 Ax=0有非零解(只有零解) 矩阵A的列向量组线性相关(线性无关)R(A)s(R(A)=s).,向量组1,2, ,s(s2)线性相关向量组中至少有一个向量 可由其余s-1个向量线性表示.,定理1 若向量组有一个部分组线性相关, 则此向量组线性相关.,向量组的线性相关性,定理3 设向量组1, 2,
16、, s线性无关, 而向量组1, 2, , s, 线性相关, 则可由1, 2, , s线性表示, 且表示式唯一.,定理2 设向量组1, 2, , s线性无关, 将每个i增加若干个分量得到的新的加长向量组仍然线性无关.,推论 含有零向量的向量组必线性相关.,推论 线性无关向量组的任一部分组也线性无关.,() 1, 2, ,r线性无关;,() 1, 2, ,r, 线性相关( 是向量组中任一向量).,定义 若向量组T中的某个部分组1, 2, ,r,满足:,则称1, 2, , r是此向量组的一个极大线性无关向量组.,向量组的最大无关组和秩,称r是此向量组的秩, 记为R(T)=r.,矩阵的秩等于行向量组的
17、秩也等于列向量组的秩.,向量组与它的任一极大线性无关组等价.,若列向量组1, 2, r线性无关,则当(1, 2, r)A =0时, 有A=0 (其中A是矩阵).,向量组的最大无关组和秩,推论1 等价的线性无关向量组含有相同个数的向量.,定理 若向量组1, 2,s可由向量组1, 2,t 线性表示，则R1, 2, sR 1, 2,t ,推论3 向量组1, 2, p线性无关, 且可由向量组1, 2,q 线性表示，则pq.,推论2 等价的向量组具有相等的秩,推论4 向量组1, 2, p可由向量组1, 2,q 线性表示，且pq, 则向量组1, 2, p线性相关.,推论5 任意n+1个n维向量线性相关.,
18、线性方程组的表示,矩阵形式: Ax=b, Ax=0,向量形式: x11+x22+xnn=,注意: 方程组有解和系数矩阵(行列式), 增广矩阵, 以及向量组的线性表示, 线性相关性之间的关系.,x11+x22+xnn=0,解空间为V=x=k11+k22+kn-rn-r|kiR是n-r维的,通解为: x=k11+k22+kn-rn-r , kiR (基础解系),Amnx=0, x11+x22+xnn=0,齐次线性方程组,有非零解R(A)=rn 1, 2, n线性相关,若,只有零解R(A)=n 1, 2, n线性无关,非齐次方程解+齐次方程解=非齐次方程解,Amnx=b, x11+x22+xnn=b
19、,非齐次线性方程组,无解R(A)R(A|b)b不能由1, 2, n线性表示.,唯一解R(A)=R(A|b)=n1,2,n线性无关且b 可由1, 2, n线性表示.,无穷多解R(A)=R(A|b)n1,2,n线性相关且b可由1, 2, n线性表示.,非齐次方程解-非齐次方程解=齐次方程解,非齐次方程通解=非齐次方程特解+齐次方程通解,若R(A)=R(A|b)=rn, 通解中含有n-r个任意实数.,如果向量空间的一个基为1, 2, r, 向量可表示为: =a11+a22+arr, 则称(a1,a2,ar)T为向量在基1, 2, r下的坐标.,向 量 空 间,对向量空间V1和V2, 若V1V2, 称
20、V1是V2的子空间.,定义 若非空向量集合V上定义了线性运算(满足8条性质), 则称V是一个向量空间.,把向量空间看成向量组, 其极大线性无关组就是向量空间的基, 其秩就是向量空间的维数.,如果向量空间的一个基为1, 2, r, 则有,V=11+22+rr|1,2,rR,定义 设1, 2,n和1, 2, n是V的两个基, 矩阵C满足: (1, 2,n)C=(1, 2, n), 则称矩阵C是基1, 2,n到基1, 2, n的过渡矩阵. 过渡矩阵是可逆的.,向 量 空 间过渡矩阵,定理 设1, 2, n和1, 2, n是线性空间V的两组基. 如果向量在这两组基下的坐标分别为x=(x1, x2, x
21、n)T, y=(y1, y2, yn)T, 则x=Cy. 其中C是过渡矩阵.,向 量 空 间,定义 设是线性空间VK到VK的一个映射, 且满足, VK, kK都有,则称为VK的一个线性变换.,(+)= ()+ (),(k)=k(),若(1, 2, n)=(1, 2, n)A,即，矩阵A的第j列为向量(j)在基1, 2,n下的坐标.,矩阵A称为线性变换在基1, 2,n下的矩阵.,向 量 空 间,定义 设=(a1,a2,ar)T, =(b1,b2,br)T, 则称 (, )=a1b1+a2b2+arbr为向量和的内积. 称|= (, )1/2=(a12+a22+ar2)1/2为向量的长度(模).,
22、定义了内积的线性空间称为Euclid(欧几里得)空间。,由线性无关向量组1, 2, m, 得到正交向量组1, 2, m的方法称为Schimidt(斯密特)正交化过程:,再取i=i/|i|, 便得规范正交向量组.,若(, )=0, 则称向量和正交.,定义 一组两两正交的非零向量称为正交向量组, 由单位向量构成的正交向量组称为规范正交向量组.,向 量 空 间,定义 在n维向量空间V中, 含有n个向量的正交向量组称为V的正交基. 由单位向量构成的正交基称为规范正交基.,1, 2, n为规范正交向量组(i, j)=ij .,定义 若实方阵A满足AAT=E, 则称A是正交矩阵.,n阶实矩阵A是正交矩阵A
23、的行(列)向量组是规范正交向量组.,正交矩阵A的行列式等于1.,特征值,特征向量及其求法,定义 设A是n阶方阵, 如果数和n维非零列向量满足关系式,则称为A的特征值, 为A的属于的一个特征向量.,A=,det(E A)称为方阵A的特征多项式. det(E A)=0称为方阵A的特征方程.,A的特征值就是特征方程的解, n阶方阵A有n个特征值.,A的属于特征值i的特征向量就是齐次线性方程组,(iE A)x=0,的所有非零解.,对角矩阵和三角矩阵对角线元素恰是n个特征值.,(1) 1+2+n=a11+a22+ann,特征值, 特征向量的性质,(2) 12n=|A|,(3) 若是A的特征值, f(t)
24、是t的多项式, 则f()是f(A)的特征值, 且对应的特征向量相同.,(4) 若1, 2是A对应的特征向量, 则k11+k22(0)也是A对应的特征向量.,(5) 矩阵对应不同特征值的特征向量必线性无关.,(6) 实对称矩阵的特征值都是实数.,(7) 实对称矩阵对应不同特征值的特征向量都正交.,(8) 实对称矩阵r重特征值恰有r个线性无关特征向量.,相似矩阵,定义 设A, B都是n阶方阵, 若存在可逆矩阵P, 使,P-1AP=B,对A进行运算 P-1AP=B称为对A进行相似变换, 可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换矩阵.,则称B是A的相似矩阵, 或说矩阵 A与B相似.,A与B相似记作AB.,定
25、理 相似矩阵有相同的特征多项式, 因此也有相同的特征值.,注意: 定理的逆命题不成立.,若AB, 则AkBk , f(A)f(B). Ak=P-1BkP,矩阵相似对角化,定理 n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是矩阵A有n个线性无关的特征向量.,若P-1AP=diag(1, 2, n), 则1, 2, n是A的n个特征值, 矩阵P的n个列向量恰是A的n个特征向量.,也有: A=PP-1,实对称矩阵A必能与对角矩阵相似.,对实对称矩阵A, 必有正交矩阵Q, 使Q-1AQ=.,二次型的基本概念及表示方法,定义 含有n个变量x1, x2, , xn的二次齐次函数,只含平方项的二次型=1x12+2
26、x22+nxn2称为二次型的标准形. i仅取1, -1, 0时称为二次型的规范形.,二次型的矩阵表示: =xTAx, 其中,(x1,x2,xn)=a11x12+a22x22+annxn2+ 2a12x1x2+2a13x1x3+2an-1,nxn-1xn.,称为一个n元二次型, 简称二次型.,化二次型为标准形,定义 设A, B为同阶方阵, 如果存在可逆矩阵C, 使得B=CTAC, 则称A与B是合同的, 记为A B.,对方阵A的运算CTAC, 称为对A的合同变换, 并称C为把A变为B的合同变换矩阵.,定理 任意二次型=xTAx都可经正交变换x=Py化为标准形=yTy, 其中的对角线元素恰是A的特征
27、值.,若作可逆变换x= Cy,(|C|0), 将二次型=xTAx变为,=xTAx=yT(CTAC)y为标准形, 称将二次型化为标准形.,将二次型化为标准形主要有两种方法:,正交相似(合同)变换法; 配方法(注意变换可逆).,正定二次型, 正定矩阵,惯性定理,定义 如果x0, 都有=xTAx0(0(A0).,=1y12+ 2y22+ryr2 (i0),则1, 2, , r中正数个数与1, 2, r中正数个数相同.,定理(惯性定理) 设实二次型=xTAx, 其秩为r, 在不同的可逆线性变换x=Cy和x=Dz下化为标准形,=1z12+2z22+rzr2 (i0),定义 的标准形中的正系数的个数称为的正惯性指数, 负系数的个数称为的负惯性指数.,正定二次型,正定矩阵的判定,定理 n元实二次型=xTAx为正定(负定)二次型的充分必要条件是的正(负)惯性指数等于n.,定理 n阶实对称矩阵A正定(负定)的充分必要条件是A的n个特征值都是正数(负数).,定理 n阶实对称矩阵A正定的充分必要条件是A的所有顺序主子式都大于0. A负定的充分必要条件是A的所有奇数阶顺序主子式都小于0, 偶数阶顺序主子式都大于0.,