《云大数学分析习作读书报告格式（字）.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《云大数学分析习作读书报告格式（字）.doc（49页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、云大数学分析习作读书报告格式（500字） 云 南 大 学数学分析习作课（1）读书报告题 目： 学 院： 专 业： 姓名、学号： 任课教师： 时 间：摘 要关键词：以下为正文部分：小标题四号宋体字，其余均为小四号宋体字。撰写时请删除！12参考文献1 数学分析习题集解，吉米多维奇原著，费定晖等编著，山东大学出版社，2005.2 论如何加强数学人才在求职中的优势，杨汉春，张 庆，高等理科教育，No.4（2003）：2226.3 12345 第二篇：数学分析习作课(2)读书报告张伟 11600字 云 南 大 学数学分析习作课（2）读书报告题 目： 两类曲线积分性质及曲面积分学 院： 物理科学技术学院
2、专 业： 数理基础科学专业 姓名、学号： 张伟 20101050105 任课教师： 时 间： 2011年6月30日（星期四 ）摘要：1一 曲线积分：1第一类曲线积分的性质与应用；2第二类曲线积分的性质与应用；3两类曲线积分的对比。二曲面积分：1.第一类曲面积分的性质与应用；2.第二类曲面积分的性质与应用；3.两类曲面积分的对比。关键词：曲线积分，曲面积分，概念，性质，计算，运用。 内容：一曲线积分：（一）第一类曲线积分：1.第一类曲线积分概念：（1） 模块分解法：设几何形体?是一可求长的空间曲线段l，在这个几何形体?上定义了一个函数f?，?.将此几何形体?分为若干可以度量的小块?1，?2，?n
3、，把他们的度量大小仍记为?i?i?1,2,?,n?.并令d?max?i的直径，在每一块?i中任意取一点?i，作下列和式（也1?i?n称为黎曼和数，或积分和数）?f?i?i，如果这个和式不论对于?怎i?1n样划分以及?i在?i上如何选取，只要当d?0时恒有同一极限I,则称此极限为f?在几何形体?上的黎曼积分，记为：?f?d?，也就是?f?d?lim?f?i?i.这个极限是与?的分法及?i取法无关的. d?0i?1n点列描述法：（2） 点列分解法：设L为xOy面内的一条有向光滑曲线弧，函数f(x,y)在L上有界在上任意插入一点列M1,M2,?,Mn?1把分成n个小弧段.设第i个小弧段的长度为?si
4、.又(?i,?i)为第i个小弧段上任意取定的点作乘积 2f(?i,?i)?si(i?1,2,?,n),并作和?f(?i,?i)?si,如果当各小弧段长度的最大i?1n值?0时，这和的极限总存在，则称此极限为f(x,y)函数在曲线弧上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分，记作?f(x,y)ds,即 L?Lf(x,y)ds?lim?f(?i,?i)?si ?0i?1n（3）"?"说法表达为：如果对任意?0及一定数I，总存在一个数?0，对于任意?的分法，只要d?时，不管点?i在?i上如何选取，恒有?f?ii?1?ni?，则称I为f?在?上的黎曼积分，记为：?f?d?.这时，我们也称f
5、?在?上可积.2，第一类曲线积分的性质（公式推导）：（1）若?fi?x,y?ds?i?1,2,?,k?存在，ci?i?1,2,?,k?为常数，则?LL?cf?x,y?dsiii?1k也存在，且?L?cf?x,y?ds?c?f?x,y?ds iiii?1i?1LiLikk（2）若曲线段L由曲线L1，?，且?f?x,y?ds?i?1,2,?,k?L2，Lk首尾相接而成，都存在，则?f?x,y?ds也存在，且?f?x,y?ds?f?x,y?ds LkLi?1Li?f?x,y?ds与?g?x,y?ds都存在，且在L上f?x,y?g?x,y?，则?f?x,y?ds?g?x,y?ds(4) 若?f?x,y
6、?ds存在，则?f?x,yds也存在，且?f?x,y?ds?f?x,yds(5) 若?f?x,y?ds存在，L的弧长为s，则存在常数c，使得?f?x,y?ds?cs，(3)若LLLLLLLLL其中inff?x,y?c?supf?x,y? LLL3,第一类曲线积分的计算：（1） 对参数方程：若曲线C（A,B）：x?t?,y?t?,?t?,是光滑的，即?/?t?,?/?t? 在?,? 连续，且不同时为0，函数f?x,y?在C连续，则函数f?x,y?在C（A,B）存在第一类曲线积分，且 3?CA,B?f?x,y?ds?f?t?,?t?/2t?/2tdt?（2）对坐标方程：曲线C（A,B）是由方程y=
7、y(x)给出，且y/?x?在?a,b?连续时，上式表示为：?C?A,B?f?x,y?ds?f?x,y?x?y/2xdxab4,第一类曲线积分的应用：(1) 计算?Lyds, 其中L是抛物线y?x2上点O(0,0)与点B?1,1?之间的一段弧.解：由于L由方程y?x2(0?x?1)给出，因此10?Lyds=?1x2?(x2)?2dx=?x?4x2dx1?1?12=?(1?4x)?=(55?1) ?12?012(2)求 I?解：令Cx2?y2ds，其中C是圆周x2?y2?ax,a?0C1:y?ax?x2,C2:y?ax?x2,y/?由公式则：I? ?a0a?2x2ax?x2,ds?y/2dx?a2
8、ax?x2dxCx2?y2ds?C1x2?y2ds?2C2x2?y2dsx2?ax?x2aa2ax?xa0dx?ax2?ax?x2a2ax?x2dx?2?aax2ax?x2?aa?dx?x?aa2a?2a2(3) 计算曲线积分?(x2?y2?z2)ds, 其中?为螺旋线x?acost,y?asint,z?kt上相应于t从0到2?的一段弧. 解：?(x2?y2?z2)ds2?2?02?(acots)?(asint)2?(kt)2?(?asint)2?(acots)2?k2dt?(a2?k2t2)a2?k2dtk23?2?22?2?a?k?at?t?3?03?(4) 物理计算：2?a2?k2(3a
9、2?4?2k2)4计算半径为R, 中心角为2?的圆弧L关于它的对称轴的转动惯量I (设线密度?1).解：取以x轴为对称轴，则I=?y2ds L利用L的参数方程x?Rcos?,y?Rsin?(?)于是I?yds?R2sin2?(?Rsin?)2?(Rcos?)2d?L?2?R3?R?sin?d?23?2sin2?3?R(?sin?cos?)?2?（一） 第二类曲线积分：1.第二类曲线积分的概念：设L为一条有向光滑或逐段光滑曲线，其方向由A到B，且设F（x,y,z）是定义在L上的向量函数，表示式为又设P,Q,R都是有界函数.将LF?x,y,z?P?x,y,z?i?Q?x,y,z?j?R?x,y,z
10、?k，自A到B分为n个有向小弧段?si?i?1,2,?,n?，每个小弧段?si 的起点为Ai，终点为Ai?1，有向弧段?si的大小为?si，方向与AiAi?1的方向一致，?si的表示式为?si?xii?yij?zik，在每一段内任取一点?i,?i,?i?，作和式（即黎n?niiii?曼iiii和）?F?,?,?s?(P?,?,?xi?1i?1?Q?i,?i,?i?yi?R?i,?i,?i?zi)，当n?d?max?si?，令d?0，如果极限?lim?F?i,?i,?i?si存在，并且I1?i?nd?0i?1与L的划分以及与?i,?i,?i?的选取无关，则称此极限为F（x,y,z）在L上的第L二
11、类L曲线积分，记为?F?x,y,z?ds?P?x,y,z?dx?Q?x,y,z?dy?R?x,y,z?dz.其中L的方向是从A到B，ds?dxi?dyj?dzk,dx,dy,dz理解为ds在x轴，y轴，z轴上的 5投影，是带有符号的.2.第二类曲线积分的性质（积分与方向有关）：（1）A(x,y)?P(x,y)i?Q(x,y)j ?LA?tds?L(Pcos?Qcos?)ds（2）?LP(x,y)dx?Q(x,y)dy?LP(x,y)dx?LQ(x,y)dy（3）?Pdx?Qdy?Pdx?Qdy，其中L?表示有向弧段L的反方向弧段 LL?（4） ?kPdx?Qdy?k?Pdx?Qdy，k为任意常
12、数 LL?k?k?（5） 若?Pidx?Qidy,?i?1,2,?,k?存在，则?ciPi?dx?ciQi?dy存在，且： LL?i?1?i?1?k?k?k?ciPi?dx?ciQi?dy?ci?L?i?1?i?1?i?1?Pdx?Qdy?，其中c?i?1,2,?,k?为常数 Liii（6） 若有向曲线L是有向曲线L1,L2,?,Lk首尾相接而成，则?LiPdx?Qdy?i?1,2,?,k?存在，且：?Pdx?Qdy?Li?1kLiPdx?Qdy3.第二类曲线积分的计算：（1） 对参数方程： 设光滑曲线L:x=x(t),y=y(t),z=(t) 且t从?到?变化时L从点A到点B变化，设向量函数
13、F?x,y,z?P?x,y,z?i?Q?x,y,z?j?R?x,y,z?k，则AB?F?x,y,z?ds?P?x,y,z?dx?Q?x,y,z?dy?R?x,y,z?dz AB=?P?x?t?,y?t?,z?t?x/?t?Q?x?t?,y?t?,z?t?y/?t?R?x?t?,y?t?,z?t?z/?t?dt ?（2） 对坐标方程：设光滑曲线L:y=y(x),z=z(x) 且x从a到b变化时L从点A到点B变化，则:AB?P?x,y,z?dx?Q?x,y,z?dy?R?x,y,z?dzba=?P?x,y?x?,z?x?Q?x,y?x?,z?x?y/?x?R?x,y?x?,z?x?z/?x?dx4
14、.第二类曲线积分的应用：6 ?（1）若对任意的x，y有解：由格林公式将 ?Q?P，设C是有向闭曲线，则Pdx?Qdy ?C?x?yCP(x,y)dx?Q(x,y)dy?(D?Q?P?)dxdy ?x?y?Q?P知，应该填写：0 ?x?y其中D为C l围成的平面区域，及条件（2）?ydx?xdy?_，其中l是延圆周(x?1)2?(y?1)2?1正向一周 l解：因为圆周(x?1)2?(y?1)2?1所围圆面积D为：12?，由格林公式得：?ydx?xdy?lD(1?1)dxdy=2?，应该填写：2?（3）（物理中的计算）弹性力的方向向着坐标原点，力的大小与质点距坐标原点x2y2的距离成比例，设此点反
15、时针方向描绘出椭圆2?2?1的正四分之一，球弹性ab力所做的功。?解：依胡克定律，弹性力F?k?xi?yj? ? 功的微分为： dA?F?ds?k?xi?yj?dxi?dyj?k?xdx?ydy? ?x2y2从而A?k?xdx?ydy?， 其中C为椭圆2?2?1的正四分之一弧段，即abC从(a,0)到(0,b)的一段弧段， ?x?acost?，,0?t?2?y?bsint?0令故 A?2?k?a2costsint?b2sintcostdt?k2a?b22?即弹性力做功为k2a?b2. 2?（三）两类曲线积分见的联系：?x?x?s?设L为从A到B的有向光滑曲线，它以弧长s为数.L:?,0?s?l
16、，若?y?ys?P(x,y),Q(x,y)为曲线L上的连续函数，则7?Pdx?Qdy?P?x,y?cos?t,x?Q?x,y?cos?t,y?ds?LL，其中dxdy?cos?t,x?,?cos?t,y? dsds二曲面积分：（二）第一类曲面积分：1.第一类曲面积分的概念：（2） 模块分解法：设几何形体?是一可求面积的曲面片S，在这个几何形体?上定义了一个函数f?，?.将此几何形体?分为若干可以度量的小块?1，?2，?n，把他们的度量大小仍记为?i?i?1,2,?,n?.并令在每一块?i中任意取一点?i，作下列和式（也d?max?i的直径，1?i?n称为黎曼和数，或积分和数）?f?i?i，如果
17、这个和式不论对于?怎i?1n样划分以及?i在?i上如何选取，只要当d?0时恒有同一极限I,则称此极限为f?在几何形体?上的黎曼积分，记为：?f?d?，也就?是?f?d?lim?f?i?i.这个极限是与?的分法及?i取法无关?d?0i?1n的.（2）"?"说法表达为：如果对任意?0及一定数I，总存在一个数?0，对于任意?的分法，只要d?时，不管点?i在?i上如何选取，恒有?f?ii?1?ni?，则称I为f?在?上的黎曼积分，记为：?f?d?.这时，我们也称f?在?上可积.2, 第一类曲面积分的计算：（1）设有光滑曲面 S:z?z?x,y?,?x,y?D，f?x,y,z?为S上
18、的连续函数，则?f?x,y,z?dS?f?x,y,z?x,y?zx?zydxdy （坐标22SD方程）（2）若光滑曲面 S:x?x?u,v?,y?y?u,v?,z?z?u,v?,?u,v?D，f?x,y,z?为S上的连续函数，则 8?Sf?x,y,z?d?f?x?u,v?,y?u,v?,z?u,v?FG?F2dudv， D其中E?xu/2/2/2/2/2/2?yu?zu,F?xuxv?yuyv?zuzv,G?xv?yv?zv（参数方程）3.第一类曲面积分的应用：（1）计算 ?SxyzdS, 其中S是曲面z?x2?y2介于z?0,z?1之间的部分解：对于曲面z?x2?y2， ?z?z?2x,?2
19、y， ?x?yS在xy平面上的投影区域为D：x2?y2?1，故： ?Sxyz?xyx2?y2D?2x?2ydxdy?4?xyx2?y2?2x?2ydxdy2222D1? 其中D1为单位圆在第一象限中的部分，此部应用了对称性.极坐标变换得：?4?xyx?yD1?22?2x?2ydxdy?4?2220sin?cos?d?r5?4r2dr?2?r5?4r2dr0011变换u?4r2，得（2）计算曲面积分?SxyzdS?51 ?84420dS，其中曲面?是由平面z?h?0?h?a?截球面 zx2?y2?z2?a2的顶部9图1 解： 曲面?的方程为z?a2?x2?y2，它在坐标面xoy上的投影为圆形的闭
20、区域：x2?y2?a2?h222?zx?zy?aa?x?y222，所以dS ?z?Dxy利用极坐标计算上面的积分，得到2?dSardrd?22?d?00za?ra2?r2?Dxy?1?2?a?ln?a2?r2?2?0（3）计算曲面积分? ?2?alnahdS1?x?y2，其中曲面?是由平面x?y?z?1以及三个坐标面所围成的四面体的表面解：如上图，曲面?由曲面?1,?2,?3,?4组成，其中?1,?2,?3,?4分别是平面x?y?z?1，x?0,y?0,z?0上的部分?1?x?y?1dS2?dx?011?xdy01?x?y21?3?ln2?；2?10?1?x?y?2dS2?dz?0111?zd
21、y01?ydx2?1?ln2； ?1?x?y?3dS2?dz?011?x1?z01?xdy2?1?ln2； 1 2?1?x?y?4dS2?dx?001?x?y2?ln2?得?1?x?y?dS21?1?1?ln2?1?ln2?ln2?ln2?2?2? 3?3?1ln22?（二）第二类曲面积分：（*） 曲面的侧的概念：（1）单侧曲面与双侧曲面在实际生活中碰到的都是双侧曲面，至于单侧曲面也是存在的，牟彼乌斯带就是这类曲面的一个典型例子。（2）曲面的上侧和下侧，外侧和内侧双侧曲面的定向: 曲面的上、下侧，左、右侧，前、后侧. 设法向量为 ?(cos? , cos? , cos?),则上侧法线方向对应第
22、三个分量?0, 即选“+”号时，应有cos?0，亦即法线方向与Z轴正向成锐角. 类似确定其余各侧的法线方向. 封闭曲面分内侧和外侧.111，第二类曲面积分的概念：在光滑的曲面S上任取一点P0，过点P0的法线有两个方向，选定一个方向为正，当点P在曲面S上连续变动（不越过曲面的边界）时，法线也连续变动.当动点P从点P0出发沿着曲面S上任意一条闭曲线又回到点P0时，如果法线的正向与出发时的法线正向相同，称这种曲面S是双侧曲面，否则称为单侧曲面.设S是光滑曲面，预先给定了曲面的侧，亦即预先给定了曲面上的单位法向量n0，又设f?x,y,z?是一个向量，f?x,y,z?P?x,y,z?i?Q?x,y,z?
23、j?R?x,y,z?k，其中P,Q,R都是连续函数.将S划分为许多有向小块?Si?i?1,2,?,n?，在?Si内任取一点?i,?i,?i?，作向量?Si?n0?i,?i,?i?Si，再作和式?f?i,?i,?i?Si，i?1?n令?max?Si的直径，如果极限limf?i,?i,?i?Si存在，并且此极限与点i?0?i,?i,?i?的选取无关，又与S的划分无关，则称它是f?x,y,z?在有向曲面S上的第二类曲n面积分?，记，为同?f?x,y,z?dSS，知即道?f?,?,?S?f?x,y,z?dS?lim?S?0iiii?1i时还?f?x,y,z?dS?f?x,y,z?nSS?dS.2.第二
24、类曲面积分的性质：（1）?Pdydz?Qdzdx?Rdxdy?Pdydz?Qdzdx?Rdxdy,其中-S表示曲面S的另?SS一侧（2） 若 ?Pidydz?Qidzdx?Ridxdy,?i?1,2,?,k?存在，则有：Sk?k?k?k?CiPi?dydz?CiQi?dzdx?CiRi?dxdy?Ci?i?1?i?1?i?1?S?i?1?Pdydz?Qdzdx?Rdxdy?iiiS（3） S?Uik?1si，且si与sj在i?j时，无公共点，则：?Pdydz?Qdzdx?Rdxdy?Pdydz?Qdzdx?RdxdySi?1sik3. 第二类曲面积分的计算：12z?z?x,y?,?x,y?Dx
25、ySDxy（1）曲面S表示，其中符号“?”由曲面S的正侧外法线与z轴正向的夹角余弦的符号决定；Q?x,y,z?dzdx?Q?x,y?z,x?,z?dzdx?Dzx（2） 曲面S表示y?y?z,x?,?z,x?Dzx，S，其中符号“?”由曲面S的正侧外法线与y轴正向的夹角余弦的符号决定P?x,y,z?dydz?P?x?y,z?,y,z?dydz?x?x?y,z?,?y,z?DyzSDxy（3）曲面S表示为,其中符号“?”由曲面S的正侧外法线与x轴正向的夹角余弦的符号决定；（4）曲面S表示为： x?x?u,v?,y?y?u,v?,z?z?u,v?,?u,v?Duv， ?R?x,y,z?dxdy?R
26、?x,y,z?x,y?dxdy?P?x,y,z?dydz?P?x?u,v?,y?u,v?,z?u,v?SDuvD?y,z?dudv Du,v其中符号“?”由曲面S的正侧外法线与x轴正向的夹角余弦的符号决定；D?z,x?Qx,y,zdzdx?Qxu,v,yu,v,zu,vdudv ?Du,vSDzx其中符号“?”由曲面S的正侧外法线与y轴正向的夹角余弦的符号决定；D?x,y?Rx,y,zdxdy?Rxu,v,yu,v,zu,vdudv ?Du,vSDxy其中符号“?”由曲面S的正侧外法线与z轴正向的夹角余弦的符号决定；4. 第二类曲面积分的应用：（1）设S?:z?c?R2?x?a?y?b的上侧，
27、试计算积分 22I?x2dydz?y2dzdx?x?a?yzdxdyS?分比考虑三个积分：首先 ?x?a?yzdxdy 由于S关于x=a 平面前后对称，而被积函数S?x?a?yz在对称点处的值大小相等，符号相反，故应有此项积分为零 13且 2222xdydz 由对称性知， ?x?x?a?2ax?a?a?S?2?x?a?S?a2dydz?0， 故?2x?dydz?8a?x?a?dydz 其中S1在?S?S1?x?a,y?b2 的2部分，应将S1?向yOz投影?:?y?b?z?c?R2,z?c,y?b则?x2dydz?8a?R2?y?b?z?cdydz?22S?4a?R3 3还有 2y?dzdx
28、仍由对称性尔后向xOz投影，可求得S?2?ydzdxS?4b?R3 3得 I?4?a?b?R3 3（2）计算积分(x?y)dydz?(y?z)dzdx?(z?3x)dxdy，?为球面 ?x2?y2?z2?R2取外侧.解： 对积分(x?y)dydz, 分别用?前和?后记前半球面和后半球面的外?侧, 则有 ?前 : x?R2?y2?z2, Dyz: y2?z2?R2; ?后: x?R2?y2?z2, Dyz: y2?z2?R2. 因此, (x?y)dydz=?前+ ?后?Dyz?R?2?y2?z2?ydydz?Dyz?ydydz?0? ?2y2?z2?R2?8?2d?y?rcos?, z?rsin
29、?0rdr ?1 ?4?R2?r2?2?322?3?r?Rr?04?R3. 3对积分(y?z)dzdx, 分别用?右和?左记右半球面和左半球面的外侧, ?14则有?右: y?R2?z2?x2, Dzx: x2?z2?R2; ?左: y?R2?z2?x2, Dzx: x2?z2?R2. 因此, (y?z)dydz?右+?左 ?DzxR?2?z2?x2?zdzdx?R2?z2?x2?zdzdx Dzx? ?2x2?z2?R24R2?z2?x2dzdx?R3. 3对积分(z?3x)dxdy, 分别用?上和?下记上半球面和下半球面的外侧, 则有 ?上: z?R2?x2?y2, Dxy: x2?y2?R
30、2; ?下: x?R2?x2?y2, Dxy: x2?y2?R2. 因此, (z?3x)dxdy=?上+ ?下?Dxy3xdxdy?3xdxdy Dxy?2x2?y2?R2?4R2?x2?y2dxdy?R3. 3（三）两类曲面积分间的联系： 令?,?, ?分别是s上的法线方向与x轴正向，y轴正向，z轴正向的夹角，则有：?P?x,y,z?dydz?P?x,y,z?cos?dsSS?Q?x,y,z?dzdx?Q?x,y,z?cos?dsSS?R?x,y,z?dxdy?R?x,y,z?cos?dsSS三 曲线积分与曲面积分间的联系： 15第一类曲线积分： ?C?A,B?f?x,y?ds?f?t?,?
31、t?/2t?/2tdt ?第二类曲线积分：ABCA,B?f?x,y?ds?f?x,y?x?y/2xdx ab?F?x,y,z?ds?P?x,y,z?dx?Q?x,y,z?dy?R?x,y,z?dz AB=?P?x?t?,y?t?,z?t?x/?t?Q?x?t?,y?t?,z?t?y/?t?R?x?t?,y?t?,z?t?z/?t?dt ?第一类曲面积分： ?f?x,y,z?dS?f?x,y,z?x,y?zx?zydxdy 22SD?Sf?x,y,z?d?f?x?u,v?,y?u,v?,z?u,v?FG?F2dudv， D其中E?xu/2/2/2/2/2/2?yu?zu,F?xuxv?yuyv?
32、zuzv,G?xv?yv?zv 第二类曲面积分：1曲面S表示为：z?z?x,y?,?x,y?Dxy，?R?x,y,z?dxdy?R?x,y,z?x,y?dxdySDxy2.曲面S表示为： x?x?u,v?,y?y?u,v?,z?z?u,v?,?u,v?Duv，?P?x,y,z?dydz?P?x?u,v?,y?u,v?,z?u,v?SDuvD?y,z?dudv Du,vD?z,x?dudv Du,vD?x,y?dudv Du,v ?Q?x,y,z?dzdx?Q?x?u,v?,y?u,v?,z?u,v?SDzx?R?x,y,z?dxdy?R?x?u,v?,y?u,v?,z?u,v?SDxy参考文献
33、1 数学分析（下册），主编：朱培勇 黄家琳，副主编：张利平 唐再良 陈顺清曾意 王良成，四川大学出版社，2002.2 数学分析同步辅导 下册 第三版 主编：彭舟 姬燕妮 航空工业出版社 20053 数学分析讲义 下册 第四版 刘玉琏 傅沛仁 林玎 苑德馨 刘宁 编 20034 数学分析名师导学（下）大学数学名师导学丛书编写组 编 20055 数学分析习题集解（3），吉米多维奇原著，费定晖等编著，山东科学技术出版社，2005.6 数学分析，姚允龙编著，复旦大学出版社，2002.7 数学分析，主赔勇 黄家琳主编，四川大学出版社，2002.8 数学分析，欧阳光中等编著，高等教育出版社，2007.9 高等数学，刘早青等编著，华中科技大学出版社，2008.10 陶哲仙议分析，北京大学出版社，2002.1617