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1、第三节 曲线积分与路径的无关性,一、第二型曲线积分与路径无关的条件 二、势函数的概念及其求法,B,如果在区域G内有,A,L1,L2,1. 平面上曲线积分与路径无关的定义,否则与路径有关.,则称曲线积分,在G内,与路径无关,一、第二型曲线积分与路径无关的条件,与路径无关的四个等价命题,条件,在单连通开区域D上,具有,连续的一阶偏导数,则以下四个命题等价.,2.平面上曲线积分与路径无关的条件,D(x0 , y1),或,则,解,原式=,原积分与路径无关.,例1,解,积分与路径无关,设曲线积分,与路径无关,具有连续的导数,例2,即,(1,0),法一,法二,内具有一阶连续导数,L是上半平面 (y 0)内
2、的有向分段光滑曲线,其起点为(a, b),终点为(c, d).,记,(1) 证明曲线积分I 与路径L无关;,(2) 当ab = cd 时,求I 的值.,练习,证,因为,所以在上半平面内曲线积分I 与路径L无关.,(1),解,(2),由于曲线积分I 与路径L无关,所以,考虑表达式,如果存在一个函数,使得,则称,并将,全微分式,为一,原函数.,二、势函数的概念及其求法,（二元函数的全微分求积）,物理概念,给定平面的连续向量场,如果表达式,是平面区域内某个,二元函数 的全微分，即,则称向量场 为有势场,并称二元函数 为有势场 的势函数或位函数,由,例,可知:,都是,分别是上面的,原函数.,全微分式.,求原函数,判断全微分式,四个等价命题,例3,问 是否为全微分式?,求其一个原函数.,如是,解,在全平面成立,所以上式是全微分式.,因而一个原函数是：,全平面为单连通域，,法一,这个原函数也可用下法“分组”凑出:,法二,因为函数u满足,故,从而,所以,由此得,y的待定函数,法三,小结,与路径无关的四个等价命题,势函数的概念及其求法,第二型曲线积分与路径无关的条件,