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1、第五章 多重共线性,一、多重共线性的性质,完全多重共线：对解释变量x1, x2, xk, 如果存在一组不全为0的常数1、2、 k，使得： 1x1i+ 2x2i+ + kxki=0 非完全多重共线：包括变量间交互相关情形如下： 1x1i+ 2x2i+ + kxki+i=0,二、完全多重共线的估计问题,以二元回归为例： 设：x3i=x2i （r23=1） 代入上式：,如果出现完全多重共线，则偏回归系数是不确定的，其标准误是无穷大。,或将x3i=x2i 代入原模型：,偏回归系数无确定解的含义：无法从所给样本中将x2和x3的影响分离出来：当x2发生变化时，x3也按一个倍数因子改变。,三、多重共线的实际
2、后果,完全多重共线是一种极端情形，非完全多重共线更常见。 非完全多重共线下，OLS估计量仍是最优线性无偏估计量，但有如下后果： 估计精度较低 称为方差膨胀因子 VIF表明：估计量的方差由于多重共线的出现而膨胀起来。 当r23=0.7时，VIF=1.96 当r23=0.9时，VIF=5.76 即： 是r23为零时的5.76倍。 当r23=0.95时，VIF=10.26 即： 是无共线时的10倍。,三、多重共线的实际后果,由于方差膨胀，接受零假设更为容易，出现多个偏回归系数单零t检验不显著。 虽然单零检验不显著，但是联合检验（F检验）却显著，总的拟合优度也很高。 OLS估计量及其标准误对数据的小变
3、化敏感。,四、多重共线产生的原因,数据采集方法：解释变量取值范围过小； 模型或从中取样的总体本身的特点 例：在作电力消费对收入和住房面积的回归时，一般来说，收入较高的家庭住房面积也较大。 模型设定问题 如多项式回归： 一个过度决定的模型： 解释变量个数样本容量,五、多重共线的识别,注意：多重共线是个程度问题，而不是有无问题。 识别方法： R2值高，F检验显著，但显著t值少。 回归元间有高度两两相关(充分而非必要条件)。 本征值(eigenvalues)和病态指数(condition index),病态指数CI在10-30之间，中强多重共线 CI30，严重多重共线,五、多重共线的识别,辅助回归：
4、作每一个xi对其余x变量的回归，并计算R2，记为 。这种回归叫辅助回归，以辅助y对x的回归。然后计算统计量：,(k-2, n-k+1)的F分布,当Fi显著时，认为xi与其余的x有共线性。,容许度与方差膨胀因子,经验规则：VIF10则说该变量是高度共线的。,六、多重共线的克服,1. 横截面数据与时间序列数据并用 例如研究汽车需求，假定有销售量、平均价格和消费者收入的时间序列数据，模型为：,在时间序列数据中，价格和收入变量一般都有高度共线的趋势。如果作上述回归时存在高度共线问题，可利用横截面数据估计收入弹性3，因为这些数据都产生于一个时间点上，价格还不至于有多大变化。令收入弹性的横截面估计为 ，原
5、回归可化为：,六、多重共线的克服,2. 剔除变量：对严重多重共线，最简单的做法之一是剔除共显著变量之一。但从模型中剔除一个变量，可能导致设定偏误。,yt=b1+b12x2t+1t E(b12 ) = 2 + 3 b32 b12是的一个有偏且非一致的估计，无法得到反映x2对y的净影响的系数2,yt=1+2x2t+3x3t+t 剔除一变量后变为：,六、多重共线的克服,3. 差分法：时间序列数据间往往有较强的相关性，减小相关性的方法是形成一次差分方程：,虽然x2和x3的水平之可能高度相关，但是，其差分形式相关程度往往较低。因此，一阶差分回归常能减低多重共线性的严重程度。（对于横截面数据，一阶差分不适用。 差分法的问题：随机误差项可能存在序列相关；损失了一次观测值，因而减少了一个自由度，如果样本容量本身就不大，这可能会有影响。,六、多重共线的克服,4. 补充新数据：以二元回归为例,当r23给定时，增加新样本，通常可以使 增大，从而减少 的方差，使我们能更准确地估计2。,习题：,现有美国70-83年进口（百万美元）、GNP（10亿美元）和消费者价格指数（CPI）数据。请考虑一下模型: 用表中数据估计此模型的参数。 你认为存在多重共线吗?使用病态指数和方差膨胀因子分析共线性的性质。 你认为上述模型需要修正吗？说明理由。如果需要，应如何修正？,