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1、 第 2 卷 2 0 0 8 年 2 月第 2 期 中国基础教育研究 Re s e a r c h M a g a z i n e 0f c ese Ba s i c Edu c a t i o n Vlo 1 2 NO 2 2 O O 6 浅谈解不等式中的 “ 分类讨论 思想 张艳辉 河北省徐水综合高中徐水0 7 2 5 5 0 “ 分类讨论”思想是中学数学中一个很重要的数 学思想，它有利于锻炼学生逻辑性，严谨性的思想品 质。用 “ 分类讨论”的思想解题在高中数学中占有重 要的地位。在用这种思想方法解题时，往往有些同学 考虑欠全面，或出现重复。笔者在教学过程中对此类 问题进行了一下总结： 1
2、 何谓 “ 分类讨论” 。所谓 “ 分类讨论”就是在 研究数学问题时，根据某一标准把所研究的对象进行 分类，然后按类进行讨论。 2 为何要 “ 分类讨论” 。让我们先看问题 1 ：解关 于 x的不等式：m x + l 10( m R ) 分析：为了求 X ，将不等式变形为：m x - i ，不等 式两边需要同时除以m ，但是需要考虑 m是否为 0 ，导 致运算受阻。于是，不等式解法如下： 解Om ： ： 0时， 若 m 0 ，r 一 一 1：若 m 0 ，r - I ，故此时 m eR 。 本题讨论的原因是因为不等式的两边同时除以 m 时运算受阻所致。 问题 2 ：解关于 X的不等式 a x
3、2 - 2 0 ( a 0 ， b 0 目 a 、b 1 ，k R ) 解：原不等式可化为：a I k b ，即 ( 旦) k b 分析：为求 x ，两边应取对数，而对数本身首先要 求各数为正。( ) O ，而 k R ，所以不能盲 目取对 b 数，而应对 k的符号加以讨论： ( D k k ， x R b k = 0时，( 旦) k ， x R b k 0时， 分析：涉及取以谁为底的对数，底与 1 1 4 0 的大小关系影响着不等式符号的变化，若取以 为底 的对数，应对旦与 1的大小展开讨论，这是对数性质 b 的需要。 1 ，即 a b时， lo g 0 旦 1 ，即 0 a b时， k ，
4、此时，若 0 k 0时，a b 0 ， l o g ；0 a b ， lo g a ； a = b且 0 k l 时 X R ，k 1时，X 。 总而言之，分类的标准，可按符合运算的需要或 概念、性质本身的要求而定，目的就是便于运算，即 按符合运算要求为标准进行分类讨论。 在 第一册教师教学用书中，对分 类思想的意义和方法作了阐述： “ 分类的思想对于科学 研究比较重要，要按某种特征进行分类，例如按照大 小、轻重，等等。分类要不重、不漏。就是说，把一 群事物分类时， 要使其中的每一个事物都归入某一类。 不能无类可归 ( 不漏) ，并且只归入某一类，不能既归 入这一类，又归入另一类或另几类 (
5、不重) ” 。换言之， 拟定了分类标准后，分类的原则是不重，各类子集 的交集为空集；不漏，各类子集的并集应为字母的 全集。 问题 4 ：解关于 X的不等式。 J ( x R ) 解：当 a = 0时，不等式为J 0 故 x 0 ： 当 a ： ： 0时，原不等式同解于 f 0 f l 一 一 【 a - b 【 ab 由，屈 l 0 0 由 A 得 !三 二 鱼 ： 2 0 三 兰 0 维普资讯 第 2 卷 2 0 0 6 年 2 月第 2 期 中国基础教育研究 Re s e a r c h Ma g a 口 u e Of Ch i n ese Ba s i c Ed u c a t i o
6、n V_o 1 2 No 2 2 O O 6 当 a 0时，x a 由 ( B )得 x 0且 ( x + 2 a )( x - 3 a ) ( X - a ) 0 时，x 一 2 a ；当 a 0时 ，a x 0或 x 0时，解集为 ( 一 一，一 2 a )U( a ，+ o o ) ； a 0时，解集为 ( 一 一，- 3 a )U ( a ，+ o o ) 。 此题对 a的讨论做到了不重不漏。 4 由以上分析可知，用 “ 分类讨论”思想解不等 式的关键是确定分类标准，进行合理分类讨论。同时， 我们应明确，分类是讨论的前奏，讨论是分类的延续， 有了正确的分类 ，才会有完整的讨论。所以，在
7、找到 了分类的原因，即字母的出现使运算受阻，为了畅通 这种运算，就应按符合运算 的需要和要求，合理确定 分类标准，逐类进行讨论 ，使运算正常进行，最后归 纳出结论。这就是分类讨论的全过程。分类中要做到 不重、不漏，以求解答 的全面、准确。 “ 分类讨论”思想对培养学生思维的条理性、缜密 性，提高学生全面、周密的分析问题和解决问题的能力 起到了十分关键的作用。因此有必要掌握这种思想方法。 一 件发人深省的小事 范绪普 湖北省恩施市沙地中心学校恩施4 4 5 0 1 7 我从教近三十年，始终有一个突出的嗜好，就是 让每个学生写得一手好字。凡是我教过的学生大都以 字写得好受到各界人士的称赞，我也以此
8、引以为荣。 今年，在我班发生的件事却引起了我深刻的反 思。我打开学生王东的作业本，他的字写得特笨，字 的每一笔就像一根根棍子， 丝毫没有写出我讲的笔锋， 与我教的横平，竖直，点挑，撇刀等运笔方法沾不上 边，我心里很不是滋味，王东眼里没有我这个老师， 他偏偏要“ 他行他素” 。 我一气之下把王东叫到办公室， 大声吼道：“ 你的字写的太难看了” 。接着我把陈婷的 作业本递到他面前并指着说：“ 你看别人写得多好”! 哪知王东不仅不看陈婷的作业本， 反而把头扭向一边， 嘴里小声嘟嘟嚷嚷地说：“ 我是我，她是她” “ 嘿! 你还不听话得很啊 ! ”我气得差点儿拍了桌子， 可王东心平气和的说；“ 老师，我
9、不是她，她的那种字 我不喜欢，我的字比她的好! ” 我震惊了，王东居然如此自 信，我的目 光下意识 的又在王东的作业上移动，我终于潜意识地发现，他 的字稳健有力，整体感很强，给人一种立如松，坐如 钟的坚毅感。 怪不得他这么犟，真是字如其人! 我服他了，我内 疚了，好在我能随机应变，顺便拿出一本 书法基础 给他，并教给他怎样写黑体字的一些知识，他高兴地 行了个队礼离开了办公室。 为了弥补我一时的莽撞，我在班上表扬了他写的 字。还经常让他在学习园地、墙报展示他的 “ 怪字” ， 让他有大显身子的机会，现在堪称我校书坛一 “ 怪” 。 前苏联教育家苏霍姆林斯基说得好，每个学生都 是一个独一无二的世界
10、。事实正是如此，学生的个体 差异是客观存在的，此个人与彼个人相去甚远，穿衣 戴帽，各有所好，皆秉性与环境不同而各成其才，我 们有什么理由把学生教成千人一面? 为什么把对学生 的评价与他人比较而不看学生自身纵向成长? 一 个成功的教育者，应该注重学生的个性独到之 处，据其秉赋因材施教，因时施教，充分发挥每个学 生的个性特长 ，让各种不同性格的学生在百花园里争 奇斗艳，各领风骚。 这件小事，引起 了我深刻反省。首先，在教育教 学中，要以全面提高学生素质为出发点，使学生的个 性得到张扬，教师一句话可以成就一个天才，亦可毁 灭一个天才。 其次，对学生的评价要废除传统的横向比较，建 立起 “ 以人为本”的纵向发展评价观。如果把学生教 得整齐划一，千人一面那就是教育最大的悲剧。一代 文豪钱钟书如果不是吴宓校长慧眼识英才，他的文学 才华也被埋没了。 再者，人的个性化与社会化，是人在发展过程中 相辅相成的两个侧面，只有人的个性化，也才有社会 化。教师常见到的偏科学生，应该培养他 “ 偏”出特 长、“ 偏”出个性，这才是教育的本位与成功。 1 4 1 维普资讯