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1、,1.工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫的牙齿,发明了锯;,2.人们仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理,发明了潜水艇.,3.科学家对火星进行研究,发现火星与地球有许多类似的特征; 1)火星是绕太阳运行、绕轴自转的行星; 2)有大气层,在一年中也有季节变更; 3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存,等等.,科学家猜想;火星上也可能有生命存在.,4.利用平面向量的本定理类比得到空间向量的基本定理.,若 ， 则,若 ， 则,5.利用平面向量的性质类比得空间向量的性质,就是这种:在两类不同事物之间进行对比,找出若干相同或相似点之后,推测在其他方面也可以存在相同或相似之处的一种推理模式,称为
2、类比推理.(简称:类比),类比推理的几个特点:,1.类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测正在研究的事物的属性,是以旧有的认识为基础,类比出新的结果.,2.类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性.,3.类比的结果是猜测性的不一定可靠,但它却有发现的功能.,例1,例2,例1.在平面几何里,有勾股定理: “设ABC的两边AB、AC互相垂直，则AB2+AC2=BC2.”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理， “设三棱锥A-BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，研究三棱锥的侧面面积与底面面积的关系,可以得出的猜想是_.”,c2=a2+b2,类比平面内直角三角形的勾股定理, 得
3、空间中四面体性质的猜想,3个面两两垂直的四面体,PDFPDEEDF90 4个面的面积S1，S2，S3和S 3个“直角面” S1，S2，S3和1个“斜面” S,例2、试将平面上的圆与空间的球进行类比.,圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.,球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的集合.,圆 弦 直径周长 面积,球,截面圆,大圆,表面积,体积,圆的概念和性质,球的概念和性质,与圆心距离相等的两弦相等,与圆心距离不相等的两弦不相等,距圆心较近的弦较长,以点(x0,y0)为圆心, r为半径的圆的方程为(x-x0)2+(y-y0)2 = r2,圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦,球心与
4、不过球心的截面(圆面)的圆点的连线垂直于截面,与球心距离相等的两截面面积相等,与球心距离不相等的两截面面积不相等,距球心较近的面积较大,以点(x0,y0,z0)为球心, r为半径的球的方程为(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2 = r2,例2:利用圆的性质类比得出球的性质,球的体积,球的表面积,圆的周长,圆的面积,类比推理的一般步骤, 检验猜想。,观察、比较,联想、类推,猜想新结论,类比推理的一般步骤:, 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；, 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征， 从而得出一个猜想；,即,继续,例4,例3.利用等差数列性质类比得等比数列性质,n+m=p+
5、q时, am+an= ap+aq,n+m=p+q时, aman= apaq,任意实数a、b都有等差中项 ，为,当且仅当a、b同号时才有等比中项 ，为,成等差数列,成等比数列,下标等差,项等差,下标等差,项等比,例4：试根据等式的性质猜想不等式的性质。,等式的性质： (1) a=ba+c=b+c; (2) a=b ac=bc; (3) a=ba2=b2;等等。,猜想不等式的性质：,(1) aba+cb+c;,(2) ab acbc;,(3) aba2b2;等等。,思考：这样猜想出的结论是否一定正确呢？,又如,在平面内，若ac,bc,则a/b. 类比到空间，你会得到 什么结论？并判断正误.,错误,
6、（可能相交）,猜想:在空间中，若a g，b g, 则a/b。,图(1),图(2),归纳推理和类比推理的共同点,归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理.,从具体问题出发,观察、分析、比较、联想,归纳、类比,提出猜想,合情推理,1.(2001年上海)已知两个圆x2+y2=1:与x2+(y-3)2=1,则由式减去式可得上述两圆的对称轴方程.将上述命题在曲线仍然为圆的情况下加以推广,即要求得到一个更一般的命题,而已知命题应成为所推广命题的一个特例,推广的命题为- - - -.,(x-a)2+(y-b)2=r2与(x-c)2+(y-d)2=r2（ac或,设圆的方程为,bd),则由式减去式可得上述两圆的对称轴,方程.,练习2:把四面体与三角形作类比,由平面中的余弦定理猜想空间中的结论,平面内,三角形ABC中，,如图,在空间,四面体A-BCD中，,设二面角B-AC-D，C-AD-B，D-AB-C的大小依次为,