超市中数学问题.doc

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1、玉溪师范学院 教育超市中的数学问题课题研究 理学院数学系09级二班 第4小组 二O一一年十二月组长：罗佳伟小组成员：刘琴 侯贵英 胡玉兰 李坤目录一、合作学习记录表二、教育超市中的数学问题的研究方案三、数列求和复习教学设计四、小论文(1) 教育超市中的食物盒(2) 教育学超市中的数学问题(3) 学校教育超市中的数学(4) 论教育超市中的椭圆问题(5) 超市中的数列问题合作学习记录表班级09数学2班活动主题教育超市中的数学问题活动时间2011.12.219小组长罗佳伟 记人录 罗佳伟学号姓名组员完成任务记录合作态度评分 组长评分组员评分2008011221罗佳伟组织分配工作、小组活动记录、参与小

2、组讨论、小组工作总结、汇总92922008011241侯贵英参与小组讨论、参与讨论研究方案、参与小组工作总结90902008011262刘琴合作学习记录、参与讨论研究方案、参与小组工作总结90902008011210李坤参与小组讨论、参与讨论研究方案、参与小组工作总结90902008011252胡玉兰参与小组讨论、教案的编写、参与小组工作总结9090合作学习自我评价（组员的合作态度，对问题讨论的积极性，任务完成情况，存在问题）： 我们小组研究的是玉溪师院教育超市中存在的数学问题，通过实地考察，然后确定研究方向。在合作期间，小组的每一位成员都积极参与讨论，做好自己所分配到任务。经过我们小组全体成

3、员的共同努力，我们按时完成了此项调查。但期间还是存在着一些问题，可能都是第一次接触到这样的实践活动，难免会有生疏不懂的地方，但是我们都努力去学，努力去做，尽我们的最大努力把它做到最好。 注：“合作态度评分”由全体组员参与评分，其中：组长评分占50%，其它组员评分占50%。小组成员活动记录 2011年12月19日，我们小组进行了第一次讨论，讨论我们调查的具体时间、调查的具体内容及各成员的具体分工，以确保每个成员都积极参与。 2011年 12月 20日，早，我们带着不同于以往的心情与目标进入了教育超市，根据以往的了解及此时的探寻，确定出超市哪些是与我们所学的数学有着密切的关系。 2011年12月

4、20日，下午，我们再一次走进教育超市，这次我们的目的主要是收集所需要的照片，并且要怎样运用我们所学过的知识来表述它，然后确定小组的研究方向。 2010.年12月 24日，我们小组的最后一次会议，主要是组长进行对各个小组成员的材料进行整理，汇总，完成我们小组的工作。 小组长签名：罗佳伟 2010年 12月24日超市中的数学问题的研究方案一、课题背景在学校的教育超市，学生可以在最短的时间内以最快的速度购齐所有需要的商品，正是这种快捷便利的购物方式吸引了学生和老师们光临超市，在生活中，使得学生和老师有共同的经验范围（在超市中的购物中的所见所闻）。通过本次调查，让我们进一步发现、了解数学就在我们身边。

5、二、课题研究的目的和意义本次调查是为了引导我们用数学思维去观察了解我们身边的数学问题，认识数学在实践生活中的应用。同时，让我们通过收集、分析和处理信息来实际感受和体验知识的产生过程，进而了解社会，培养分析问题、解决问题的能力和创造力。三、课题研究的目标（1） 对超市中的数学应用有一定的了解；（2） 在商品中发现数学问题，并找出解决的方法。四、研究方法（1）实地调查法（2）观察分析法五、研究的基本内容 我们小组五人一起去教育超市，然后分工去观察和记录超市中的：（1）包装盒问题（2）不等式及百分比问题；（3）分割问题。（4）椭圆问题（5）数列问题六、实践过程第一阶段：召集小组成员集中讨论，确定活动

6、的具体事项。第二阶段：集体进行实地考察，采集相关资料。第三阶段：分析采集的相关资料，分工合作，完成调查。七、课题研究的成果形式小组的每一位成员分工合作，最后把自己调查得到的结果汇总，发现数学问题并且解决了它，最后把它写成论文的形式。通过本次调查，提高了我们对数学知识的理解与运用，让我们体会和发现了数学的美，并且能够运用数学思维观察生活中的事物。同时，通过参与活动，提高了我们调查、收集、处理信息、与人沟通的能力，以及相互合作学习的能力。具体成果：（1）一份有关研究课题的研究方案；（2）一份有关数列求和的教学设计；（4）小组参与人员的五篇小论文高中数列知识教学设计一、教学目标1、知识与技能目标掌握

7、已经学过的等差、等比数列的通项公式; 能够熟练应用数列求和的一些技巧（如列项相消法）。2、过程与方法目标用一些特殊的数列对一般的数列进行求和。3、情感态度与价值观目标 能够更深入的认识数列，让学生树立起良好的数列观，体会数列中的乐趣。二、教材分析1、重点：（1）对所遇到的数列进行分析，找到它的结构特点，即找到解的突破口；（2）对常见等差、等比数列的性质特点的掌握以及能够熟练应用；（3）对某些特殊的数列的求和公式的了解乃至掌握并能在适宜时进行应用。如：12+22+32+-+n2=(n (n+1)(2n+1)/6（4）掌握求和过程中的思想方法。2、难点对数列进行剖析。三、课型与教法 授课类型：复习

8、课 课时安排：1课时四、教学过程（一）复习导入1、复习数列概念；复习等差、等比数列。（5分钟）掌握下列公式：等差数列的通项公式、求和公式：;等比数列的通项公式： 2、采用提问的方式对数列求和的常用方法进行复习，并提出一些常用方法，如：分组求和法，列项相消法等。（5分钟）（二）例题讲解（对常用求和方法进行应用）（30分钟）（1）拆项分组法通过拆项，将一般数列转化为等差、等比数列再求和。也可以按需要将其拆分为一些常用数列的前n项和。常用数列如：拆项的关键是要知道通项 ，再将拆为两项或多项，这样就能对原数列分组求和，从而求出。例1：求和：。分析：，于是原数列可转化为数列与的前项和的和。（2）分组求和

9、法例2：求数列的前n项和。解： （3）列项求和法该方法的关键是构造两项之差，使其在求和过程中起到消项的作用。常见拆两个项公式： 例3： 已知数列：求其前n项和。分析： 解：（4）乘公比错位相减法形如（其中数列有一个为等差数列，另一个为等比数列）这样的数列，我们可以使用此方法对其求前n项和。例4：求式子的和。 分析：可看作与的积，即可看成一个等差数列与一个等比数列之积构成的数列。 解：令则 两式错位相减得 所以，（三）巩固练习（5分钟）求式子的和。（四）、小结（5分钟）数列求和是数列问题中常见的现象。本节课对数列求和问题中常用到的一些思想方法进行归纳总结，并以例题的形式将其呈现出来。需要掌握的内

10、容就是数列求和问题中常用的思想方法。此外，还需对以前学的内容包括等差、等比数列的性质、相关公式进行准确把握，因为这些内容在数列求和过程中常会用到。再者，要记住一些常用公式，如： 等等，这些式子在数列求和过程中经常会用到。（五）、作业布置 作业题：求和 1.教育超市中的食物盒学校：玉溪师范学院 专业：数学与应用数学 姓名：侯贵英 学号：2009011214组号：第四组 指导老师：文萍【摘要】 数学是对现实世界的一种思考、描述、刻画、解释、理解，其目的是发现现实世界中所蕴藏的一些数与形的规律，为社会的进步与人类的发展服务。生活中有很多地方都是数学的应用。生活也是数学的发源地，是数学的归宿，因此，数

11、学都能在生活中找到其产生的踪迹。为探讨数学与生活接轨的问题，并“利用数学知识解决实际问题、更有效的应用我们的材料去制作我们的各种包装盒、去生活中验证数学知识”，为此，我对我们学校教育超市中的数学应用问题进行了调查、了解和分析。【关键词】 教育超市 数学 食物盒数学来源于生活，生活中处处有数学。为进一步理解数学存在于生活，与我们的生活密切联系，我走进了教育超市，走进了数学。面对教育超市琳琅满目的商品，空白的大脑一下塞满了有形的记忆数学问题。在教育超市里，我看到了很多物品堆放、排列的很整齐，但它们排列、堆放的方式都不太一样；最让我好奇都是我看到了教育超市中的很多食品盒子都是圆柱体的。这是为什么呢？

12、刚走进教育超市，我一眼看到了在左边角落堆放的一打打饮料，饮料瓶全数圆柱形的，接着是各种食物大部分都是以圆柱形的食物盒装置，这是为什么呢？为什么不是正方体长方体或是其它的形状偏偏全是圆柱形的呢？我边走边思考，边思考边走。 再往里面走又看到了成堆的火腿肠、老干妈、饼干、油菜等盛放它们的盒子都是圆柱形的。带着满脑的疑问我开始对它们进行了调查，结果发现：在底面积、高相同的圆柱体与正方体中那个的表面积更大呢？ 如下图中：正方体边长为a，则正方体与圆柱体的底面积均为、体积均为，我们来讨论一下它们各自的表面积。 图1 图2正方体的表面积： S正方体=6圆柱体的表面积：S圆柱体=2S底面积+S侧面积 5.54

13、5由此我们可以看出在底面积很高都相等（体积相等）的情况下S正方体表面积S圆柱表面积。可想在我们要装置相同体积的物品时我们选用圆柱体的盒子比选用正方体的盒子更为节省材料，商家在这方面选择合理了自然可以省下不少的材料，这也是我们数学的应用所在。而且圆柱形盒子比其它形状的更美观。 图3在图三中我们直径为a的圆柱体与直径为a的正方体一比较知道圆柱体的占地面积小于正方体的占地面积，因此在我们空间有限的范围内选用圆柱体更为得当且美观。圆柱形体积问题在数学中的体现：圆柱体的体积公式的推导：把圆柱底面分成若干份相等的扇形(如分成16等份)，沿着圆柱底面的扇形和圆柱的高把圆柱切开，可以得到大小相等的16块。把1

14、6块圆柱的底面拼成一个近似长方形，则圆柱体就接近长方体（如果分成的扇形越多，拼成的立体图形就越接近于长方体了）。由于体积没有发生变化，所以可以通过求切拼后的长方体的体积来求圆柱的体积。长方体的体积底面积高长方体的底面积等于圆柱的底面积，长方体的高就是圆柱的高。所以：圆柱的体积底面积高，如果用V表示圆柱的体积，S表示圆柱的底面积，H表示圆柱的高，可以得到圆柱的体积公式； VSH公式的应用：例1 一个棱长8分米的正方体要削成一个最大的圆柱,要削去多少立方分米？解：由题意得 正方体的体积=8x8x8=512立方分米 要得到最大的圆柱体，那么该圆柱的底面直径=高=8分米 圆柱的底面半径=8/2=4分米

15、 圆柱体的体积=3.14x4x4x8=401.92立方分米 要削去的体积=512-401.92=110.08立方分米例2圆柱形钢管，长3米，外直径16米，内直径10米每立方分米重9.8克，求共重多少千克？（用两种不同的方法解答）解法1:圆柱体积 V=R2h(2表示平方 ,R2表示R的平方. 下同)因为是空心的所以圆柱形钢管的体积=外体积-内体积而 外体积=3.14(16/2)23=602.88（立方米）内体积=3.14(10/2)23=235.5（立方米）所以圆柱形钢管的体积V=602.88-235.5=367.38（立方米）注:1立方米=100立方分米 =367380（立方分米）你想1立方分

16、米重9.8克,那367380（立方分米）有多重呢?很简单那就是 367389.8=3600324克=3600.324千克解法2:因为解1算出了圆柱形钢管的体积V=367380（立方分米） 这里就不重复了重量=体积*密度 (不知你有没有学过,一般要初中才学)每立方分米重9.8克 (9.8克/立方分米)就是密度重量=体积*密度=9.8克/立方分米367380立方分米=3600324克=3600.324千克例3 圆柱OO1，内有一个三棱柱ABCA1B1C1。三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且AB是圆O的直径。（I）证明平面A1ACC1平面B1BCC1；（II）设AB=AA1.在圆柱OO1内随机选

17、取一点，记该点取自于三棱柱ABCA1B1C1内的概率为P. (i)当点C在圆周上运动时，求P的最大值； 解：（I）证明A1AABC，BC平面ABC，A1ABC.AB是圆O的直径，BCAC.又ACA1A=A, BC平面A1ACC1.而BC平面B1BCC1,所以平面A1ACC1平面B1BCC1.（II）(i)设圆柱体的底面半径为r,则AB=AA1=2r，故三棱柱ABCA1B1C1的体积V1=AC*BC*2r=AC*BC*r. 设BAC=( 0y，那么yx；如果yy；（对称性） 如果xy，yz；那么xz；（传递性） 如果xy，而z为任意实数或整式，那么x+zy+z；（加法则） 如果xy，z0，那么x

18、zyz；如果xy，z0，那么xzy，z0,那么xzyz;如果xy，z0,那么xzy，mn，那么x+my+n(充分不必要条件) 如果xy0，mn0，那么xmyn 如果xy1，那么x的n次幂y的n次幂（n为正数）,1xy0,那么x的n次幂y的n次幂（n为正数）, 如果由不等式的基本性质出发，通过逻辑推理，可以论证大量的初等不等式，以上是其中比较有名的。解不等式可遵循的一些同解原理主要的有： 不等式F（x）F（x）同解。 如果不等式F（x） G（x）的定义域被解析式H（ x ）的定义域所包含，那么不等式 F（x）G（x）与不等式F（x）+H（x）G（x）+H（x）同解。 如果不等式F（x）0，那么不

19、等式F(x)G（x）与不等式H（x）F（x）H（ x ）G（x） 同解；如果H（x）0，那么不等式F（x）H（x）G（x）同解。 不等式F（x）G（x）0与不等式同解；不等式F（x）G（x）0与不等式同解。做题时应该注意1.符号： 不等式两边都乘以或除以一个负数，要改变不等号的方向。 2.确定解集： 比两个值都大，就比大的还大； 比两个值都小，就比小的还小； 比大的大，比小的小，无解； 比小的大，比大的小，有解在中间。 三个或三个以上不等式组成的不等式组，可以类推。 3.另外，也可以在数轴上确定解集： 把每个不等式的解集在数轴上表示出来，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集

20、的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集。有几个就要几个。 4.不等式两边相加或相减，同一个数或式子，不等号的方向不变。（移项要变号） 5.不等式两边相乘或相除，同一个正数，不等号的方向不变。（相当系数化1，这是得正数才能使用） 6.不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变。（或1个负数的时候要变号）不等式的证明方法1、比较法：包括比差和比商两种方法。 2、综合法 证明不等式时，从命题的已知条件出发，利用公理、定理、法则等，逐步推导出要证明的命题的方法称为综合法，它是由因导果的方法。 3、分析法 证明不等式时，从待证命题出发，分析使其成立的充分条件，利用已知的一些基本原理

21、，逐步探索，最后将命题成立的条件归结为一个已经证明过的定理、简单事实或题设的条件，这种证明的方法称为分析法，它是执果索因的方法。 4、放缩法 证明不等式时，有时根据需要把需证明的不等式的值适当放大或缩小，使其化繁为简，化难为易，达到证明的目的，这种方法称为放缩法。 5、数学归纳法 用数学归纳法证明不等式，要注意两步一结论。 在证明第二步时，一般多用到比较法、放缩法和分析法。 6、反证法 证明不等式时，首先假设要证明的命题的反面成立，把它作为条件和其他条件结合在一起，利用已知定义、定理、公理等基本原理逐步推证出一个与命题的条件或已证明的定理或公认的简单事实相矛盾的结论，以此说明原假设的结论不成立

22、，从而肯定原命题的结论成立的方法称为反证法。例题1.已知且求证： 百分比 一、生活中处处有数学，通过观察，学校教育超市中的苏打饼干、夹心饼干、维他命水等等，大部分商品都有重要成份的百分比（如图）。扇形统计图扇形统计图是用整个圆表示总数（单位“1”），用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分之几。通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系。作用:能清楚地了解各部分数同总数之间的关系与比例。扇形面积与其对应的圆心角的关系是： 扇形面积越大，圆心角的度数越大。 扇形面积越小，圆心角的度数越小。 扇形所对圆心角的度数与百分比的关系是：圆心角的度数=百分比*360度 扇形统计图还可

23、以画成圆柱形的。制作1 已知单位一,求出各面积占单位一的百分率(百分比). 2 如单位一未知,应先求出单位一. 3 用360(圆的度数)乘求出的百分比（百分数）,求应画角的度数. 4 画一个平面圆形 5用量角器量出角度画半径. ps:单位一未知用除法,找出实数再找它的对应分率，如果圆的半径为R，则圆的面积为R的平方，因此扇形面积的计算公式为S扇形=（n/360）R2 （n为圆心角的度数,R为底面圆的半径）。特点通过扇形的大小来反映各个部分占总体的百分之几。 扇形统计图可以更清楚的了解个部分数量同总数之间的关系。 扇形统计图可以让一些杂乱无章的数据变得清晰透彻，使人看上去一目了然，利于计算各种数

24、据，变得更加方便，快捷！怎样做 扇形统计图是说明事物的结构、比例的图形。所以它的制作步骤是： 1、把各组的数值在总量中所占比率计算出来。 2、再用各组的比率乘以360，得出改组在统计图中扇面的角度。 3、根据各组扇面的角度，在圆形图上画出来。如：全班100个同学考试，不及格的20名，60-70分的10名，71-80分的20名，81-90分的30名，91-99分的15名，100分的5名。各组比例：不及格：20/100=0.2；60-70分：10/100=0.1；71-80分：20/100=0.2；81-90分：30/100=0.3；9199分：15/100=0.15；100分：5/100=0.0

25、5。各组扇面角度：不及格：0.2360=72；60-70分：0.1360=36；71-80分：0.2360=72；81-90分：0.3360=108；91-99分：0.15360=54；100分：0.05360=18 共计360这就是各组数值在扇形统计图上各扇面的度数。又如，超市中的摆放架中一半都是用来摆放食品，八分之一是用来摆放生活用品的，其余的四分之一是用来摆放学习用品的，十六分之一是用来摆放体育用品的，十六分之一是空闲的！所讲知识点，符合数学教学论所提及的“以学生为主体学习，教师作为学习的组织者、引导者。”在提及关于此方面的知识点时，教师可利用超市这一教师与学生所拥有的共同经验来举例讲解

26、，这样同学对生疏的知识点在无形中就有了熟悉的感觉。这满足了“教师与学生要有共同的经验”参考文献:1 百度百科2 张奠宙 张广祥，中学代数研究，高等教育出版社 2006.1(2010年重印)3 刘影 程晓亮，数学教学论，北京大学出版社 2009.24 数学教学论笔记3.学校教育超市中的数学学校：玉溪师范学院 专业：数学与应用数学 姓名：刘琴 学号：2009011211组号： （第四组） 指导教师：文萍【摘要】琳琅满目的商品陈列对销售的促进作用毋庸置疑。有资料表明商品在陈列中的位置进行上、中、下3个位置的调换，从上往下挪的一律下跌。学校教育超市中销售量最大的商品是处于货架上黄金段位的商品。根据一项

27、调查显示，商品的销售额会发生如下变化：从下往上挪的销售一律上涨。另外学校教育超市中对有些商品采用了等差数列的摆放方法，使商品看起来整齐美观，从而可以吸引顾客，而且容易计算商品的总数。【关键词】 学校教育超市 商品摆放 黄金分割 等差数列【前 言】 学校教育超市中商品的摆放位置以及摆放形式决定商品的销售额，那么如何摆放商品获利最高呢？根据观察学校教育超市中货架的黄金陈列线的高度一般在85-120厘米之间，货架的二、三层，是眼睛最容易看到手最容易拿到商品的陈列位置，所以是最佳陈列位置。此位置一般用来陈列高利润商品、自有品牌商品、独家代理或经销的商品。该位置最忌讳陈列无毛利或低毛利的商品，那样对零售

28、店来讲是利润上一个巨大的损失。 另外根据等差数列来摆放商品对商品的销售也起到了积极的作用。商品摆放中的黄金分割以及数列说明：我们所学的数学知识源于生活，又应用于生活。到生活中去发现数学问题，从以前的被动学习转化为自主探究学习，通过这样的方式提高了我们自主学习的能力以及创新意识，同时也让我们发现了数学的美和价值。我们采取的实地考察、观察采集相关资料的方式来完成我们的调查学习，通过对学校教育超市的两次实地考察，得到小组研究的切入点，从而也确定了我的论文主题商品摆放中的黄金分割线和等差数列问题。【正 文】通过观察，学校教育超市中的大多货架的上段和中段之间的段位，是眼睛最容易看到手最容易拿到商品的陈列

29、位置，所以是最佳陈列位置，此位置一般用来陈列高利润商品、自有品牌商品、独家代理或经销的商品，该位置一般看不到陈列着无毛利或低毛利的商品，我们一般称这个位置为黄金段位；最上层通常陈列需要推荐的商品；下层通常是销售周期进入衰退期的商品。学校教育超市的一些地方把商品按照等差数列摆放既美观，又容易计算商品数。首先我们研究黄金分割在商品摆放中的运用：黄金分割线是指一根线段被分割成两个不同的部分，分割线将较大的部分与较小的部分分割成一定的比例（如图一 ）。具体的比例公式是：AC/BC=AB/AC（AC为长边，BC为短边），其比值约为1.6181或10.618。 AC/BC=1.618，则点C为线段的黄金分

30、割点。CABD（图一）要了解黄金分割在商品摆放中的应用，首先我们应该了解黄金分割点的的画法：（如图）二所示已知线段AB（1） 过B点作垂直于AB的线段DB，使AB=2DB（2） 连接AD,在AD上截取DE=DB;（3） 在AB上截取AC=AE, G，则C点为线段AB的黄金分割点。 （图二）下面我们通过实例来研究黄金分割在商品中摆放中的运用。如图三是学校教育超市中的饮料柜，可以发现，它的每一层高度是相同的，假设每层高35厘米，则货架高175厘米，通过计算确定该货架的黄金段位在哪一层？ （图三）分析：已知货架高175厘米，首先作一条175厘米的线段，根据找黄金分割点的方法可以知道该货架的黄金段位在

31、高108厘米处 ，因为每层高35厘米，由此可知货架的黄金分割段位在第三层。通过实地考察知该位置摆放的是利润比较高的啤酒。 现在来研究等差数列在商品摆放中的运用： 等差数列是指如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母表示。要了解等差数列在商品摆放中的应用，首先我们了解等差数列的相关公式为：（1）通项公式或 ( 2 )前n项和公式为：或（3）若则：存在 若则：这里可以根据学校教育超市中老干妈和祯香肉松的摆放来观察等差数列在摆放中的运用： （图四）如图四所示，观察可知这是一个公差为1，首相为5的等差数列。已知该数列

32、有四项 ，因此我们可以根据数列的通项公式写出第二、三、四项，根据求和公式计算得出老干妈有多少罐。 （图五）如图五所示，观察可知这是一个公差为2，首相为4的等差数列。已知该数列有四项 ，因此我们可以根据数列的通项公式写出第二、三、四项，根据求和公式计算得出祯香肉松有多少罐。 通过两次到学校教育超市的实地考察，我们成长了不少，从中学习啦很多，遇事也变得冷静了许多，同时，通过这么多天的调查整理，让我从实际生活中真正感受到了黄金分割点的美以及了解了等差数列在实际生活中的运用。从中体会到数学来源于现实生活，我们学习数学目的，就是用我们所学习的数学知识来解决日常生活中的一些现象和问题！不过，这次的探究我们

33、也存在一些不足之处，例如学校教育超市的有些商品商家禁止拍照，我们事先没有跟售货员说好就拿着相机大张旗鼓的拍照，不但打扰售货员的工作，也引起了顾客的好奇，影响了人们的正常购物。在进行下一次的探究时，我们会更注重与人交流合作，礼貌的进行每一项活动，争取做得更好。我们要感谢老师给我们这次锻炼的机会，让我们可以有机会走进生活去探索我们书本上学的东西，把书本上学到东西应用于生活，让我们体验了数学源于生活又用于生活的理念，同时发现生活中的美和数学的价值。参考文献：1 孙高阳.“黄金分割”在数学 . 和田师范专科学校学报, 2010.2 和平原.在等差数列求和公式的教学中培养学生的创造性思维. 数学通报,1

34、999 . 4.论教育超市中的椭圆问题 学院：玉溪师范学院 专业：数学与应用数学 姓名：胡玉兰 学号：2009011244 指导老师：文萍【摘要】 在教育超市中隐含着大量的数学问题，我现在要论的是教育超市中的椭圆问题，在形形色色的商品中有着大量的类似椭圆形状的物品如：鸡蛋，镶嵌的饰品等等。而椭圆又是我们高中课本中的一个重要的知识，他是圆锥曲线中的一部分，也是我们最先接触的一种较复杂的曲线。【关键词】 教育超市中 椭圆 问题一、 引言在教育超市中隐含着大量的数学问题，在这我们主要研究的是其中的椭圆问题，椭圆作为圆锥曲线的一种，也是高中课本里较为复杂的一种曲线，而且还是高考中不可缺少的一类问题。理

35、解好椭圆问题更有助于我们提高思维模式，以便为以后的圆锥曲线打好基础，因此椭圆的学习是至关重要的。这里我仅结合了高中课本的知识来谈谈椭圆的定义，怎样理解好椭圆的知识，怎样运用椭圆的知识去解决考试中的问题以及综合的运用。二、 椭圆的知识 （一）、椭圆的概念1、第一定义：平面内与两个定点的距离的和等于常数的点的轨迹叫做椭圆。即：其中两定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。2、第二定义：平面内到定点的距离与定直线的距离之比是常数时的点的集合叫做椭圆。其中定点叫做椭圆的焦点，为椭圆的离心率，而定直线则称为椭圆的准线。（准线方程：或） （二）、椭圆的标准方程高中课程在平面直角坐标系中，用方程描述

36、了椭圆，椭圆的标准方程中的“标准”指的是中心在原点，对称轴为坐标轴。椭圆的标准方程有两种：1、 焦点在x轴，标准方程为：2、 焦点在y轴，标准方程为：其中a，b中较大者称为椭圆的长半轴长，较小者称为椭圆的短半轴长，焦距与长短半轴的关系为。（三）、椭圆的几何性质以标准方程：为例来说明1、范围 由标准方程可知，椭圆上点的坐标都适合不等式，即。说明椭圆位于直线和所围成的矩形里。2、对称性椭圆既是分别以y轴，x轴为对称轴的轴对称图形，又是以坐标原点为对称中心的中心对称图形。椭圆的对称中心叫椭圆的中心。3、顶点 椭圆与它的对称轴的四个交点称为椭圆的顶点，顶点坐标为：4、离心率 椭圆的焦距与长轴长的比，叫

37、做椭圆的离心率。，越趋近于1，则越趋近于，从而越小，椭圆越扁；反之，越趋近于0，则越趋近于0，从而越趋近于，椭圆就越趋近于圆。（四）、直线与椭圆的位置关系 由直线和椭圆的方程联立消去y,的一个方程类似于： 如果，方程判别式为，那么直线与椭圆有两个公共点；直线与椭圆有一个公共点；直线与椭圆无公共点。三、 在高中数学中的应用例1、椭圆的两个焦点为，过作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为p,则=（ ）A. B. C. D. 解析：由知，的坐标分别是，即p点的横坐标为，代入椭圆方程的，即。则。所以答案选c例2、点A，B分别是椭圆的长轴的左右焦点，点F是椭圆的右焦点。点P在椭圆上，且位于x轴上方，且PAPF。（1）求P点的坐标：（2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于，求椭圆上点到点M的距离d的最小值。思路分析：将d用点M的坐标表示出来。 然后求其最小值。 解：（1）由已知可得点 设点，则 由已知可得则解得或由于，只能，于是所以，点P的坐标是（2）直线AP的方程是设点M，则M到直线AP的距离是，于是，。又，解得。椭圆上的点到点M的距离d有由于，所以当时，d取得最小值为。小结：此类型的题目在理解题意的基础上需要准确的做出图形，然后根据该题型的类型求解。例3、已知椭圆，左右焦点分别为，椭圆上有一点为M且。