《经济数学基础》形成性考核册及参考答案.doc

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1、 本文由yvlong贡献 doc文档可能在WAP端浏览体验不佳。建议您优先选择TXT，或下载源文件到本机查看。 经济数学基础 12形成性考核册及参考答案 作业（一） （一）填空题 C. lim x sin x 0 1 =1 x D. lim sin x =1 x x ） 答案：B x ? sin x = .答案：0 1. lim x 0 x 2.设 3. 设 y = lg 2 x ，则 d y = （ B A x 2 + 1, x 0 f ( x) = ? ，在 x = 0 处连续，则 k = .答案：1 ? k, x=0 ? y = x 在 (1,1) 的切线方程是 1 1 .答案： y =

2、 x + 2 2 1 dx 2x 1 dx x ln10 C ln10 dx x D 1 dx x 4. 若函数 f (x)在点 x0 处可导，则( A函数 f (x)在点 x0 处有定义 C函数 f (x)在点 x0 处连续 5.当 x )是错误的答案：B B lim x x0 f ( x) = A ，但 A f ( x0 ) 3.曲线 D函数 f (x)在点 x0 处可微 答案：C D cos x 4.设函数 f ( x + 1) = x 2 + 2 x + 5 ，则 f ( x) = .答案： 2 x f ( ) = .答案： ? 2 2 ）答案：D 5.设 f ( x) = x sin

3、 x ，则 0 时，下列变量是无穷小量的是（ ）. sin x x A 2 B C ln(1 + x ) x (三)解答题 1计算极限 （1） lim x 1 （二）单项选择题 1. 函数 y= x ?1 的连续区间是（ x +x?2 2 A ( ?,1) (1,+ ) C B ( ?,?2) ( ?2,+) D x 2 ? 3x + 2 1 =? 2 2 x ?1 1? x ?1 1 =? x 2 （2） lim x2 x 2 ? 5x + 6 1 = x 2 ? 6x + 8 2 (?,?2) (?2,1) (1,+) (?,?2) (?2,+) 或 （3） lim x 0 （4） lim

4、 x 2 ? 3x + 5 1 = x 3 x 2 + 2 x + 4 3 (?,1) (1,+) 2. 下列极限计算正确的是（ ）答案：B sin 3 x 3 = （5） lim x 0 sin 5 x 5 x2 ? 4 （6） lim =4 x 2 sin( x ? 2) A. lim x 0 x x =1 B. x 0 lim + x x =1 1 2设函数 1 ? x sin + b, x 0 ? x ? f (x) 在 x = 0 处有极限存在？ 答案： y = 3 2 (3 x ? 5) 3 （4） y = x ? xe x ，求 y 问： （1）当 a, b 为何值时， （2）当

5、 a, b 为何值时， 答案： （1）当 b （2）当 a 答案： y = 1 2 x ( x + 1)e x f (x) 在 x = 0 处连续. （5） = 1 ， a 任意时， f (x) 在 x = 0 处有极限存在； y = e ax sin bx ，求 dy = e ax (a sin bx + b cos bx)dx 1 x = b = 1 时， f (x) 在 x = 0 处连续。 答案： dy 3计算下列函数的导数或微分： （1） （6） y = e + x x ，求 dy 1 y = x 2 + 2 x + log 2 x ? 2 2 ，求 y y = 2 x + 2 x

6、ln 2 + 1 x ln 2 1 1 答案： dy = ( x ? 2 e x ) dx 2 x （7） 答案： ax + b （2） y = ，求 y cx + d y = cos x ? e ? x = (2 xe ? x ? 2 2 ，求 dy ad ? cb 答案： y = (cx + d ) 2 （3） 答案： dy sin x 2 x )dx （8） y = sin n x + sin nx ，求 y y = n(sin n ?1 x cos x + cos nx) y= 1 3x ? 5 ，求 y 答案： 2 （9） y = ln( x + 1 + x 2 ) ，求 y 答案：

7、 y = 2 ? 2x 2 (1 + x 2 ) 2 ，求 答案： y = 1 1+ x2 cot 1 x （2） y= 1? x x y 及 y (1) 3 （10） y=2 + 1 x 1 + 3 x 2 ? 2x x 3 ，求 y 答案： y = 3 ?2 1 ?2 x + x ， y (1) = 1 4 4 作业（ 作业（二） 5 答案： y = 2 ln 2 1 ? 2 1 ? 6 ? x + x 1 2 6 2 x sin x y 是 x 的隐函数，试求 y 或 dy cot 5 （一）填空题 1. 若 f ( x ) dx = 2 x + 2 x + c ， 则 f ( x) =

8、 .答案： 4.下列各方程中 （1） x 2 2 x ln 2 + 2 2. + y 2 ? xy + 3 x = 1 ，求 dy = y ? 3 ? 2x dx 2y ? x y ) + e xy = 4 x ，求 y (sinx)dx = .答案： sin x + c f ( x)dx =F ( x) + c ， 则 xf (1 ? x 2 答案： dy 3. 若 ) dx = .答案： （2） sin( x + 答案： y = 4 ? ye xy ? cos( x + y ) xe xy + cos( x + y ) 1 F (1 ? x 2 ) + c 2 d e 2 4.设函数 1

9、ln(1 + x )dx = .答案：0 dx ? 5. 若 P ( x ) = 0 1 1+ t2 x dt ，则 P ( x) = .答案： ? 1 1+ x2 5求下列函数的二阶导数： （1） y = ln(1 + x 2 ) ，求 y （二）单项选择题 3 1. 下列函数中， （ A 答案：D 2. 下列等式成立的是（ A sinxdx ）是 xsinx 的原函数 B 2cosx2 C -2cosx2 D - 2 (三)解答题 1 cosx2 2 1 cosx2 2 1.计算下列不定积分 （1） ） B ln 3x e x dx = d(cosx) 1 d(2 x ) ln 2 1 x

10、dx = d( ) x C 2 答案：C x dx = D 1 x dx = d x 3x ex + c 答案： 3 ln e （2） C 3. 下列不定积分中，常用分部积分法计算的是（ A ） (1 + x) 2 x dx 3 5 cos(2 x + 1)dx ， B x 1 ? x 2 dx x sin 2 xdx x dx D 1+ x2 答案：C 4. 下列定积分计算正确的是（ A ） B 4 2 答案： 2 x + x 2 + x 2 + c 3 5 （3） 1 1 2 xdx = 2 2 16 ?1 dx = 15 x2 ? 4 x + 2 dx C 答案：D (x + x 3 )

11、dx = 0 ） C D sin xdx = 0 5. 下列无穷积分中收敛的是（ A + 1 1 dx x B + 1 1 dx x2 + 0 e x dx D + 1 sinxdx 1 2 x ? 2x + c 2 1 （4） dx 1 ? 2x 1 答案： ? ln 1 ? 2 x + c 2 答案： 答案：B 4 （5） x 2 + x 2 dx 3 答案： e ? e 1 dx 1 2 答案： (2 + x ) 2 + c 3 （6） （3） e3 1 x 1 + ln x sin x x 答案：2 dx （4） 2 0 x cos 2 xdx 1 2 x ln xdx 答案： ? 2

12、 cos （7） x +c xsin 2 dx ln( x + 1)dx x 答案： ? （5） x x 答案： ? 2 x cos + 4 sin + c 2 2 （8） e 1 答案： （6） 1 2 (e + 1) 4 4 x 答案： ( x + 1) ln( x + 1) ? 2.计算下列定积分 （1） x+c (1 + xe 0 4 )dx 答案： 5 + 5e 作业三 （一）填空题 2 ?1 1 ? xdx 答案： 5 2 2 （2） 1 e dx x2 1 x 1 0 4 ? 5? ? 1.设矩阵 A = 3 ? 2 3 2 ? ， A 的元素 a 23 = . ? ? 则 ?

13、2 1 6 ? 1? ? ? 答案：3 5 2.设 A, B 均为 3 阶矩阵，且 A = B = ?3 ，则 ? 2 AB T = . 答案： B若 AB = AC ，且 A O ，则 B = C A O, B O ，则 AB O 答案 C ACB T 有意义，则 C T 为（ ） C对角矩阵是对称矩阵 D若 72 3. 设 件是 4. 设 A, B 均为 n 阶矩阵，则等式 ( A ? B) = A ? 2 AB + B 2 2 2 成立的充分必要条 2. 设 A 为 3 4 矩阵，B 为 5 2 矩阵， 且乘积矩阵 .答案： AB = BA ( I ? B) 可逆，则矩阵 A, B 均为

14、 n 阶矩阵， A + BX = X 的解 矩阵 A 2 4 C 3 5 B 4 2 D 5 3 X = . 答案： ( I 答案 A ） 3. 设 A, B 均为 n 阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（ B) A 1 5. 设 矩 阵 1 0 0 ? A = ?0 2 0 ? ? ? ?0 0 ? 3? ? ? 0 ? ? 0 ? ? 1? ? 3? ? A ( A + ， 则 B) ?1 = A ?1 + B ?1 ， B ( A ? B ) D AB 1 = A ?1 ? B ?1 答案 C A ?1 = . 答 案 ： C AB = BA ） = BA 4. 下列矩阵可逆的是（ ?1 ?

15、 A = ?0 ? ?0 ? ? 0 1 2 0 1 2 3? ? ? A 0 2 3 ? ? ?0 0 3? ? ? C ? 1 0 ? 1? ? B 1 0 1? ? ? ?1 2 3? ? ? D ? （二）单项选择题 1. 以下结论或等式正确的是（ ） A若 1 1? ? ?0 0 ? 1 1 ? ? ? 2 2? 答案 A A, B 均为零矩阵，则有 A = B 6 5. 2 2 2? ? ? 矩阵 A = 3 3 3 的秩是（ ? ? ? 4 4 4? ? ? B1 C2 D3 答案 B ） 2 3? ? 1 2 4 ? ?2 4 5? ?7 19 7 ? ?2 4 5? ?1 ?

16、 1 2 2? ? 1 4 3 ? ? ?6 1 0? = ?7 12 0 ? ? ?6 1 0? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ? 3 2? ? 2 3 ? 1? ?3 ? 2 7? ?0 ? 4 ? 7 ? ?3 ? 2 7? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ? 5 15 ? 1 11 0 ? = ? ? ? 3 ? 2 ? 14? ? ? 2 3 ? 1? ?1 2 3? ?1 1 1 ?，B = ?1 1 2? ，求 AB 3设矩阵 A = ? ? ? ? ?0 ? 1 1 ? ?0 1 1 ? ? ? ? ? 解 因为 A0 三、解答题 1计算 （1） ?

17、2 1? ?0 1? ?1 ? 2? ? ?=? ? ? 5 3? ?1 0? ?3 5 ? ?0 2 ? ?1 1? ?0 0? ? ? =? ? ?0 ? 3? ?0 0? ?0 0? 。 （2） ? 3? ?0? （3） ? 1 2 5 4? ? = 0 ? 1? ? ? ?2? AB = A B 2 3 1 2 3? ? ? 1 2 4 ? ? 2 4 5 ? ?1 ? ? 1 2 2? ? 1 4 3 ? ? ? 6 1 0 ? 2计算 ? ? ? ? ? ? 1 ? 3 2? ? 2 3 ? 1? ?3 ? 2 7? ? ? ? ? ? 解 A=1 1 0 ?1 2 2 1 = 1

18、 1 2 = (?1) 2+3 (?1) =2 1 2 1 0 ?1 0 1 2 3 2 3 2 1 2 3 B = 1 1 2 = 0 -1 -1 = 0 0 1 1 0 1 1 所以 AB = A B = 2 0 = 0 7 1 2 4 ? ? ? 4设矩阵 A = 2 1 ，确定 的值，使 r (A) 最小。 ? ? ?1 1 0 ? ? ? 答案： 13 ? 6 ? 3? ? ? （2）A = ? 4 ? 2 ? 1 ? ? ? 2 1 1? ? ? 0? ? 1 3 ? 2 ? 7 ? 1? = ? ? ?0 1 2? ? ? 1 2? ?1 2 ? A=? ?, B = ?2 3?

19、 ，求解矩阵方程 XA = B ?3 5 ? ? ? ? 1 0? ? 1 1 ? ? ? A 可交换，则 B1 + B2 ， B1 B2 也与 A 可交换。 9 当 = 时， r ( A) = 2 达到最小值。 4 答案 A -1 2 ? 5 3 2 ?5 ? 8 5 4 5求矩阵 A = ? ?1 ? 7 4 2 ? ?4 ? 1 1 2 答案： r ( A) 1? 3? ? 的秩。 0? ? 3? 7设矩阵 = 2。 答案：X = 四、证明题 6求下列矩阵的逆矩阵： 1 ?3 2 ? ? （1） A = ? 3 0 1? ? ? ?1 1 ? 1? ? ? 1 1试证：若 B1 , B2

20、 都与 提示：证明 ( B1 + B2 ) A = A( B1 + B2 ) ， B1 B2 A = AB1 B2 A ， A + A T ， AA T , A T A 是对称矩阵。 答案 A 1 1 3 ? = ?2 3 7 ? ? ? ?3 4 9 ? ? ? 2试证：对于任意方阵 提示：证明 ( A + 3设 A T ) T = A + A T ， ( AA T ) T = AA T , ( A T A) T = A T A A, B 均为 n 阶对称矩阵，则 AB 对称的充分必要条件是： AB = BA 。 T 提示：充分性：证明 ( AB ) = AB 8 必要性：证明 AB = B

21、A 1 4设 A 为 n 阶对称矩阵， B 为 n 阶可逆矩阵，且 B 矩阵。 提示：证明 ( B 作业（四） （一）填空题 1.函数 1 = B T ，证明 B ?1 AB 是对称 5. 1 6? ?1 1 ?0 ? 1 3 2? ，则 t 时， 设线性方程组 AX = b ，且 A ? ? ?0 0 t + 1 0 ? ? ? 1 ） D3 x AB) T = B ?1 AB 方程组有唯一解.答案： （二）单项选择题 1. 下列函数在指定区间 ( ?, + ) 上单调增加的是（ f ( x) = x + 1 在区间 内是单调减少的.答案： x Asinx 答案：B 2. 已知需求函数 q

22、( p ) Be x Cx 2 (?1,0) (0,1) 2. 函数 = 100 2 ?0.4 p ，当 p = 10 时，需求弹性为（ B 4 ln 2 C - 4 ln 2 D - 4 2 ） 4 p y = 3( x ? 1) 2 的驻点是 ，极值点是 = 1, x = 1 ，小 ，它是极 值点. A 4 2 答案：C 4 p ln 2 ln 2 答案： x 3.设某商品的需求函数为 q ( p ) = 10e p 2 ，则需求弹性 E p = 3. 下列积分计算正确的是（ .答案： A ） 2p e x ? e?x ?1 2 dx = 0 1 B e x + e?x ?1 2 dx =

23、 0 1 1 4.行列式 D 1 1 C 答案：A = ? 1 1 1 = .答案：4 ?1 ?1 1 1 -1 x sin xdx = 0 D 1 -1 ( x 2 + x 3 )dx = 0 4. 设线性方程组 Amn X Ar ( A) = b 有无穷多解的充分必要条件是（ Br ( A) ） = r ( A) m n Cm n Dr ( A) = r ( A) n 9 答案：D x1 + x 2 = a1 ? 5. 设线性方程组 ? x 2 + x3 = a 2 ，则方程组有解的充分必要条件是（ ?x + 2x + x = a 2 3 3 ? 1 B a1 ? a 2 + a 3 =

24、0 A a1 + a 2 + a 3 = 0 C a1 + a 2 ? a 3 = 0 D ? a1 + a 2 + a 3 = 0 答案：C 三、解答题 1求解下列可分离变量的微分方程： 答案： ） y = x(? cos 2 x + c) 3.求解下列微分方程的初值问题： (1) y = e 2 x ? y , y ( 0) = 0 y 答案： e = 1 x 1 e + 2 2 (2) xy + 答案： y ? e x = 0 , y (1) = 0 1 x (e ? e) x (1) y = e x+ y y y= 4.求解下列线性方程组的一般解： 答案： ? e = ex + c （

25、2） dy xe x = dx 3 y 2 y = xe ? e + c 3 x x + 2 x3 ? x 4 = 0 ? x1 ? （1） ? ? x1 + x 2 ? 3 x3 + 2 x 4 = 0 ?2 x ? x + 5 x ? 3 x = 0 2 3 4 ? 1 答案： ? 答案： x1 = ?2 x3 + x 4 ? x 2 = x3 ? x 4 （其中 x1 , x 2 是自由未知量） 2. 求解下列一阶线性微分方程： 2 （1） y ? y = ( x + 1) 3 x +1 2 1 2 答案： y = ( x + 1) ( x + x + c ) 2 y （2） y ? =

26、 2 x sin 2 x x 0 2 ? 1? 2 ? 1? ?1 ?1 0 ?1 0 2 ? 1? ? ? 1 1 ? 3 2 ? ?0 1 ? 1 1 ? ? 0 1 ? 1 1 ? A=? ? ? ? ? ? ? 2 ? 1 5 ? 3? ?0 ? 1 1 ? 1? ?0 0 0 0 ? ? ? ? ? ? ? 所以，方程的一般解为 10 x1 = ?2 x3 + x 4 ? ? x 2 = x3 ? x 4 （其中 x1 , x 2 是自由未知量） x1 ? x 2 ? x3 = 1 ? ? x1 + x 2 ? 2 x3 = 2 ? x + 3x + ax = b 2 3 ? 1 答

27、案：当 a 当a 2 x1 ? x 2 + x3 + x 4 = 1 ? （2） ? x1 + 2 x 2 ? x3 + 4 x 4 = 2 ? x + 7 x ? 4 x +11x = 5 2 3 4 ? 1 1 6 4 ? x1 = ? x3 ? x 4 + ? 5 5 5 （其中 x , x 是自由未知量） 答案： ? 1 2 3 7 3 ? x 2 = x3 ? x 4 + 5 5 5 ? 5.当 为何值时，线性方程组 = ?3 且 b 3 时，方程组无解； ?3 时，方程组有唯一解； 当 a = ?3 且 b = 3 时，方程组无穷多解。 6求解下列经济应用问题： （1）设生产某种产

28、品 q 个单位时的成本函数为： C ( q ) 元）, 求：当 q = 100 + 0.25q 2 + 6q （万 = 10 时的总成本、平均成本和边际成本； x1 ? x 2 ? 5 x3 + 4 x 4 = 2 ? 2 x ? x + 3x ? x = 1 ? 1 2 3 4 ? 3x1 ? 2 x 2 ? 2 x3 + 3 x 4 = 3 ? ?7 x1 ? 5 x 2 ? 9 x3 + 10 x 4 = ? 有解，并求一般解。 答案： 当产量 q 为多少时，平均成本最小？ 答案： C (10) = 185 （万元） C (10) = 18.5 （万元/单位） C (10) = 11 （

29、万元/单位） 当产量为 20 个单位时可使平均成本达到最低。 （2）.某厂生产某种产品 q 件时的总成本函数为 C ( q ) 单位销售价格为 x1 = ?7 x3 + 5 x 4 ? 1 （其中 x1 , x 2 是自由未知量） ? ? x 2 = ?13x3 ? 9 x 4 ? 3 5 a, b 为何值时，方程组 = 20 + 4q + 0.01q 2 （元） ， p = 14 ? 0.01q （元/件） ，问产量为多少时可使利润达到最大？最大 11 利润是多少 答案： 当产量为 250 个单位时可使利润达到最大， 且最大利润为 L ( 250) （3）投产某产品的固定成本为 36(万元)

30、，且边际成本为 C ( q ) = 1230 （元） 。 = 2q + 40 (万元/百 台)试求产量由 4 百台增至 6 百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本 达到最低 解：当产量由 4 百台增至 6 百台时，总成本的增量为 答案： C = 100（万元） 当 x = 6 （百台）时可使平均成本达到最低. （4）已知某产品的边际成本 C (q ) =2（元/件） ，固定成本为 0，边际收益 R (q ) = 12 ? 0.02q ，求： 产量为多少时利润最大？ 在最大利润产量的基础上再生产 50 件，利润将会发生什么变化？ 答案：当产量为 500 件时，利润最大. L = - 25 （元） 即利润将减少 25 元. 121