1、微微 分分 几几 何何几何几何学学解析几何微分几何其它几何初等几何用微积分方用微积分方法研究几何法研究几何图形的性质图形的性质包括平面几包括平面几何和立体几何和立体几何何用代数的方用代数的方法研究图形法研究图形的几何性质的几何性质代数几何代数几何分形几何分形几何计算几何计算几何蓝色字母代表向量、向量函数或者矩阵，蓝色字母代表向量、向量函数或者矩阵，如如 a、r(u,v)、A 等等粉红色字母代表特殊常数，如圆周率粉红色字母代表特殊常数，如圆周率 p p 和和自然对数的底数自然对数的底数 e 等等黄色字母代表特殊函数（如正弦函数黄色字母代表特殊函数（如正弦函数 sinq q 等）、特殊空间（如欧氏
2、空间等）、特殊空间（如欧氏空间 R3、平面、平面R2 和实数集和实数集 R）、特殊向量（如单位坐标）、特殊向量（如单位坐标向量，如向量，如 i、j、k ）或者变换群）或者变换群字母右上角的字母右上角的撇撇号代表对一般参数求导数，号代表对一般参数求导数，右上角或者顶上的右上角或者顶上的圆点圆点代表对弧长参数求代表对弧长参数求导数导数符号说明第一章第一章 预备知识预备知识第二章第二章 曲线论曲线论第三章第三章 曲面的基本理论曲面的基本理论第四章第四章 黎曼曲率张量与黎曼曲率张量与测地线测地线例题选讲例题选讲主目录主目录主目录第一章第一章 约约1616学时学时第二章第二章 约约1212学时学时第三章
3、第三章 约约2424学时学时第四章第四章 约约1818学时学时例题选讲例题选讲 约约2 2学时学时机动机动 约约2 2学时学时总共大约总共大约7474学时学时学习进度表学习进度表学时分配学时分配第一章第一章 预备知识预备知识微分几何微分几何第一章第一章 预备知识预备知识向量代数向量代数向量分析向量分析曲线与曲面的概念曲线与曲面的概念等距变换等距变换本章补充习题本章补充习题第一章内容概要本章讨论三维欧氏空间的向量代数、向量微积分、本章讨论三维欧氏空间的向量代数、向量微积分、曲线与曲面的解析几何、等距变换等内容，这些内曲线与曲面的解析几何、等距变换等内容，这些内容是后面讨论曲线曲面的微分几何时所需
4、要的容是后面讨论曲线曲面的微分几何时所需要的本章的本章的重点重点是第三节：是第三节：曲线与曲面的概念曲线与曲面的概念这一这一节包括曲线与曲面的概念、曲线的法线和曲面的切节包括曲线与曲面的概念、曲线的法线和曲面的切平面方程平面方程向量代数包括向量的线性运算（加法和数乘）、向量代数包括向量的线性运算（加法和数乘）、向量积、内积、混合积、向量的长度和夹角等内容，向量积、内积、混合积、向量的长度和夹角等内容，其中拉其中拉格朗日公式格朗日公式是这一节的重点是这一节的重点向量函数的微积分和普通函数的微积分基本类似，向量函数的微积分和普通函数的微积分基本类似，所以本节作为一般了解所以本节作为一般了解返回章首
5、1.1向量代数向量代数内容：向量积、内积、混合积的性质与计内容：向量积、内积、混合积的性质与计算算重点：拉格朗日公式重点：拉格朗日公式返回章首集合集合 R3=(x,y,z)|x,y,zR 称为三维实向称为三维实向量空间，其元素量空间，其元素 (x,y,z)叫做一个向量。叫做一个向量。aijkO返回章首1.11.1 向量代数向量代数-向量向量例如例如 i=(1,0,0)，j=(0,1,0)，k=(0,0,1)是是 R3 的三个向量。的三个向量。除了除了 i、j、k 这三个向量以外，我们一般用这三个向量以外，我们一般用蓝色小写英文字母或希腊字母表示向量，如蓝色小写英文字母或希腊字母表示向量，如a、
6、r、a a、b b 等。等。几何上，我们用一个箭几何上，我们用一个箭头表示向量，箭头的起点头表示向量，箭头的起点叫向量的起点，箭头的末叫向量的起点，箭头的末端点叫向量的终点。端点叫向量的终点。再设再设 a=(x,y,z)，lR，则，则 l 与与 a 的的数乘数乘定义为定义为 la=lxi+lyj+lzk=(lx,ly,lz).设设 a1=(x1,y1,z1)，a2=(x2,y2,z2)，则它们则它们的的和和定义为定义为 a1+a2 =(x1+x2,y1+y2,z1+z2).a1 a2 a1+a2a la 返回章首1.11.1 向量代数向量代数-线性运算线性运算设设 i=(1,0,0)，j=(0
7、1,0)，k=(0,0,1)，则任意，则任意向量向量 a=(x,y,z)可表示为可表示为 a=xi+yj+zk（如（如图）图）aijkOzkyjxixi+yj=xi+yj+zk返回章首1.11.1 向量代数向量代数-向量向量设设 ai=(xi,yi,zi)（i=1,2）是是 R3 中的两个中的两个向量，它们的向量，它们的内积内积定义为定义为a1 a2=x1x2+y1y2+z1z2内积具有如下性质：内积具有如下性质：正定性正定性a a 0，等式成立当且仅当，等式成立当且仅当 a=0；对称性对称性a b=b a；线性性线性性a (kb+hc)=ka b+ha c向量向量 a 的长度为的长度为|a
8、a a)1/2；长度为长度为 1 的向量叫的向量叫单位向量单位向量返回章首1.11.1 向量代数向量代数-内积内积1.11.1 向量代数向量代数-两个不等式两个不等式定理定理.对任意的两个向量对任意的两个向量 a、bR3 有下面有下面两个不等式成立：两个不等式成立：许瓦滋不等式许瓦滋不等式a b|a|b|闵可夫斯基不等式闵可夫斯基不等式|a+b|a|+|b|这两个不等式中的等式成立的充分必要条这两个不等式中的等式成立的充分必要条件是件是 ab返回章首1.11.1 向量代数向量代数-两向量的夹角两向量的夹角向量向量 a 与与 b 的夹角为的夹角为如果两个向量的夹角是如果两个向量的夹角是 p
9、 p/2/2，就称这两个，就称这两个向量相互向量相互垂直垂直或或正交正交因此两向量正交的充因此两向量正交的充分必要条件是它们的内积为零分必要条件是它们的内积为零由许瓦兹不等式可知由许瓦兹不等式可知|cosq q|1.返回章首1.11.1 向量代数向量代数-距离距离两个向量两个向量 a、b 作为作为 R3 的点，它们之间的的点，它们之间的距离距离定义为定义为 d(a,b)=|a b|在在 R3 上装备上装备了这样的距离函数之后就叫了这样的距离函数之后就叫欧氏空间欧氏空间距离具有如下性质：距离具有如下性质：正定性正定性d(a,b)0，等式成立当且仅当，等式成立当且仅当 a=b；对称性对称性d(a,
10、b)=d(b,a)；三角不等式三角不等式d(a,b)d(a,c)+d(c,b)返回章首1.11.1 向量代数向量代数-向量积向量积ababq q伸出右手，让大拇指和四指垂直，让四指从伸出右手，让大拇指和四指垂直，让四指从向量向量 a 朝向量朝向量 b 旋转一个较小的角度（旋转一个较小的角度（小于小于180180）到达）到达 b，则大拇指所指的方向就是，则大拇指所指的方向就是 ab 的方向的方向（如图）（如图）设向量设向量 a、b 的夹角为的夹角为 q q，则它们的则它们的向量积向量积（也叫（也叫叉积叉积）ab 是这样一个向量，其长度是这样一个向量，其长度为为|ab|=|a|b|sinq q，方
11、向满足右手法则：，方向满足右手法则：返回章首1.11.1 向量代数向量代数-向量积的性质根据向量积的定义，我们有根据向量积的定义，我们有ij=k,jk=i,ki=j.反交换律：反交换律：ab=ba（见下图）（见下图）分配律：分配律：a(b+c)=ab+ac.abababba返回章首1.11.1 向量代数向量代数-向量积的计算公式向量积的计算公式 注意：注意：|ab|等于由等于由 a 和和 b 张成的平行张成的平行四边形的面积四边形的面积（如图）设设 ai=(xi,yi,zi)（i=1,2）是是 R3 中的两个中的两个向量，则有：向量，则有：abq q|a|sinq q|a|b|sinq q=|
12、ab|返回章首1.11.1 向量代数向量代数-混合积混合积三个向量三个向量 a、b、c 的的混合积混合积定义为定义为(a,b,c)=(ab)c向量的混合积满足轮换不变性：向量的混合积满足轮换不变性：(a,b,c)=(b,c,a)=(c,a,b).向量的混合积满足反交换性，即交换两个向量的混合积满足反交换性，即交换两个向量的位置改变混合积的符号，如向量的位置改变混合积的符号，如 (a,b,c)=(c,b,a)，等等，等等.返回章首 注意：注意：|(a,b,c)|等于由向量等于由向量 a、b、c 张成张成的平行四面体的体积的平行四面体的体积 （如图）（如图）bacq q|ab|q q|c|cosq
13、 q ab|(a,b,c)|=|(ab)c|=|ab|c|cosq q=平行四面体的体积平行四面体的体积返回章首1.11.1 向量代数向量代数-混合积的几何意义混合积的几何意义1.11.1 向量代数向量代数-混合积的计算公式混合积的计算公式设设 ai=(xi,yi,zi)（i=1,2,3）是是 R3 中的三中的三个向量，则有：个向量，则有：两个向量垂直的充分必要条件是它们的内两个向量垂直的充分必要条件是它们的内积为零，两个向量平行的充分必要条件是积为零，两个向量平行的充分必要条件是它们的叉积为零，三个向量共面的充分必它们的叉积为零，三个向量共面的充分必要条件是它们的混合积为零要条件是它们的混合
14、积为零返回章首1.11.1 向量代数向量代数-拉格朗日公式拉格朗日公式设 a、b、c、d 是 R3 的四个向量，则特别地有返回章首看证明练习题练习题1证明证明(ab)c=(a c)b (b c)a（提示：（提示：用分量验证，并由此证明拉格朗日公式用分量验证，并由此证明拉格朗日公式返回章首1.21.2向量分析向量分析内容：向量函数的导数、积分、泰勒公式、内容：向量函数的导数、积分、泰勒公式、复合函数求导的链式法则复合函数求导的链式法则重点：链式法则重点：链式法则返回章首1.21.2 向量分析向量分析-向量函数的极限向量函数的极限设设 r(t)是一个向量函数，是一个向量函数，a 是常向量，如果对是
15、常向量，如果对任意的任意的 e e 0，存在，存在 d d 0，使得当，使得当 0|t t0|d d 时，时，|r(t)a|e e 成立，则称成立，则称 a 是是 r(t)当当 t 趋趋向于向于 t0 时的时的极限极限，记为，记为 ,或者记或者记为为 r(t)a(当当 tt0)一元向量函数是形如一元向量函数是形如 r(t)=(x(t),y(t),z(t)的向量，其中的向量，其中 x(t)、y(t)、z(t)是普通的是普通的一元一元函数函数，叫该向量函数的，叫该向量函数的分量函数分量函数返回章首1.21.2 向量分析向量分析-向量函数极限的计算向量函数极限的计算这个定理表明这个定理表明对向量函数
16、求极限就是对它的对向量函数求极限就是对它的每个分量求极限每个分量求极限这样，向量函数的极限就转这样，向量函数的极限就转化成普通函数的极限化成普通函数的极限定理定理.设设 r(t)=(x(t),y(t),z(t)，a=(x0,y0,z0)，则则当且仅当当且仅当返回章首1.21.2 向量分析向量分析-向量函数的极限的性质向量函数的极限的性质推论推论.（极限的运算性质极限的运算性质）设当设当 tt0 时，时，有有 r(t)a，s(t)b，l(t)c，则我们，则我们有：有：r(t)s(t)ab，l(t)r(t)car(t)s(t)a br(t)s(t)ab返回章首1.21.2 向量分析向量分析-向量函
17、数的连续性向量函数的连续性如果当如果当 t t0 时有时有 r(t)r(t0)成立，则称成立，则称向量函数向量函数 r(t)在在 t0 处处连续连续；如果；如果 r(t)在它在它的定义域内的每一点都连续，则称的定义域内的每一点都连续，则称 r(t)是是连续函数连续函数连续函数的和、差、积（内积、向量积、连续函数的和、差、积（内积、向量积、混合积、数乘）是连续的混合积、数乘）是连续的r(t)=(x(t),y(t),z(t)在在 t0 处连续的充分必要处连续的充分必要条件是每个分量条件是每个分量 x(t)、y(t)、z(t)都在都在 t0 处处连续连续返回章首1.21.2 向量分析向量分析-一元向
18、量函数的导数一元向量函数的导数显然，若显然，若 r(t)在一点在一点 t0 处可导，则它在该处可导，则它在该点处必定连续点处必定连续存在，则称向量函数存在，则称向量函数 r(t)在在 t0 处可导，而该处可导，而该极限就叫极限就叫 r(t)在在 t0 处的处的导数导数，记为，记为 r(t0)如如果果 r(t)在它的定义域内处处可导，则称在它的定义域内处处可导，则称 r(t)可导，此时可导，此时 r(t)叫叫 r(t)的的导函数导函数（也简称导（也简称导数）数）设设 r(t)是一元向量函数如果极限是一元向量函数如果极限返回章首1.21.2 向量分析向量分析-向量函数导数的性质向量函数导数的性质向
19、量函数向量函数 r(t)=(x(t),y(t),z(t)的导数为的导数为 r(t)=(x(t),y(t),z(t)设设 l 是普通函数，是普通函数，r、s、u 都是向量函数，都是向量函数，则则(lr)=lr+lr；(rs)=r s；(r s)=r s+r s；(rs)=rs+rs；(r,s,u)=(r,s,u)+(r,s,u)+(r,s,u)返回章首 可导的向量函数可导的向量函数 r(t)具有固定长度的充要条具有固定长度的充要条件是件是 r(t)垂直于垂直于 r(t)可导的向量函数可导的向量函数 r(t)具有固定方向的充要条具有固定方向的充要条件是件是 r(t)平行于平行于 r(t)1.21.
20、2 向量分析向量分析-具有固定长度和固定方向的向量函数具有固定长度和固定方向的向量函数返回章首看证明看证明1.21.2 向量分析向量分析-一元向量函数的链式法则一元向量函数的链式法则定理定理.（一元向量函数的链式法则一元向量函数的链式法则）设设 r(u)可微的向量函数，可微的向量函数，u=u(t)是可微的普是可微的普通函数，则复合函数通函数，则复合函数 r(t)=r(u(t)也可微，也可微，并且并且返回章首1.21.2 向量分析向量分析-二元向量函数的偏导数二元向量函数的偏导数设设 r(u,v)是二元向量函数，如果极限是二元向量函数，如果极限存在，则称它为函数存在，则称它为函数 r(u,v)在
21、点在点(u0,v0)处关处关于于 u 的的偏导数偏导数，记为，记为 ru(u0,v0)；同样，我们；同样，我们可以定义关于可以定义关于 v 的偏导数的偏导数 rv(u0,v0)二元向量函数二元向量函数是形如是形如 r(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v)的向量，其中的向量，其中 x(u,v)、y(u,v)、z(u,v)是普通是普通的二元函数的二元函数返回章首1.21.2 向量分析向量分析-二元向量函数的微分二元向量函数的微分返回章首设设 r(u,v)是二元向量函数，令是二元向量函数，令D Dr=r(u0+D Du,v0+D Dv)r(u0,v0).如果存在向量如果存在向量 a、
22、b 使使D Dr=aD Du+bD Dv+o(D Du)2+(D Dv)2 1/2,则称则称 r(u,v)在点在点(u0,v0)处处可微可微，而而 aD Du+bD Dv就叫就叫 r(u,v)在点在点(u0,v0)处的处的微分微分，记为，记为 dr(u0,v0)=aD Du+bD Dvr 的微分简记为的微分简记为 dr=aD Du+bD Dv 或或 dr=adu+bdv.定理定理.如果如果 r 是可微向量函数，则是可微向量函数，则 dr=rudu+rvdv.返回章首1.21.2 向量分析向量分析-微分的计算微分的计算1.21.2 向量分析向量分析-二元向量函数的链式法则二元向量函数的链式法则定
23、理定理.（链式法则链式法则）设设 r(u,v)可微如果可微如果 u=u(s,t)和和 v=v(s,t)有连续偏导数，则有连续偏导数，则返回章首1.21.2 向量分析向量分析-向量函数的积分向量函数的积分其中其中 a=t0 t1 tk-1 tk=b 是区间是区间 a,b 的分点，的分点，xi 是区间是区间 (ti-1,ti)内任一点，内任一点，l lk 是是定义如下：定义如下：向量函数向量函数 r(t)在区间在区间 a,b 上的上的积分积分定义为：定义为：返回章首向量函数的积分就是将其每个分量进行积分向量函数的积分就是将其每个分量进行积分定理定理.设设 r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)
24、k，则有，则有 返回章首1.21.2 向量分析向量分析-向量函数积分的计算向量函数积分的计算1.21.2 向量分析向量分析-向量函数的积分的性质向量函数的积分的性质 设设 r(t)、s(t)是向量函数，是向量函数，c 是常向量，则有是常向量，则有（c 为常数）为常数）返回章首（c 为常向量）为常向量）（c 为常向量）为常向量）练习题练习题1已知已知 r(t)=a（a 为常向量），求为常向量），求 r(t)2已知已知 r(t)=ta，（，（a 为常向量），求为常向量），求 r(t)返回章首1.31.3曲线与曲面的概念曲线与曲面的概念内容：曲线的切线与法平面、曲面的法线内容：曲线的切线与法平面、曲
25、面的法线与切平面、曲线和曲面的参数变换、曲线与切平面、曲线和曲面的参数变换、曲线的弧长等的弧长等重点：切线、法线、切平面、法平面的方重点：切线、法线、切平面、法平面的方程程返回章首1.31.3 曲线与曲面的概念曲线与曲面的概念-曲线曲线一元向量函数一元向量函数 r(t)所描绘的图形所描绘的图形 C 叫叫曲线曲线，r(t)叫曲线叫曲线 C 的的参数化参数化，或者叫曲线的或者叫曲线的向量函向量函数数，t 叫曲线的叫曲线的参数参数曲线曲线 C 连同它的参数化连同它的参数化 r(t)一起叫一起叫参数曲线参数曲线参数曲线用参数曲线用 C:r=r(t)表示表示如果对某个如果对某个 t0 使得使得 r(t0
26、)0，就称，就称 r(t0)（或者简称（或者简称 t0）是曲）是曲线的线的正则点正则点如果曲线上处处是正则点，就称如果曲线上处处是正则点，就称该曲线是该曲线是正则曲线正则曲线，相应的参数叫，相应的参数叫正则参数正则参数今后为了简便，我们把今后为了简便，我们把“参数曲线参数曲线”简称为简称为“曲线曲线”；把把 R2 中的曲线叫平面曲线，把中的曲线叫平面曲线，把 R3 中的曲线叫空间曲线中的曲线叫空间曲线返回章首圆弧圆弧.曲线曲线 C:r=(cost,sint),t(0,2p p)是正则是正则曲线，它是一条半径为曲线，它是一条半径为 1 的的 圆弧圆弧（如图）（如图）返回章首tOcostsint1
27、31.3 曲线与曲面的概念曲线与曲面的概念-曲线的例子圆弧曲线的例子圆弧(cost,sint)1.31.3 曲线与曲面的概念曲线与曲面的概念-曲线的例子抛物线曲线的例子抛物线抛物线抛物线.曲线曲线 C:r=(x,x2),x(,+)也也是一条正则曲线，它是是一条正则曲线，它是抛物线抛物线返回章首圆柱螺线圆柱螺线.曲线曲线 C:r=(a cost,a sint,bt),t (,+)也是一条正则曲线，它是缠绕在半径也是一条正则曲线，它是缠绕在半径为为 a 的圆柱面的圆柱面 x2+y2=a2 上的一条上的一条圆柱螺旋圆柱螺旋线线返回章首1.31.3 曲线与曲面的概念曲线与曲面的概念-曲线的例子曲线的
28、例子圆柱螺线圆柱螺线r1.31.3 曲线与曲面的概念曲线与曲面的概念-曲面曲面二元向量函数二元向量函数 r(u,v)所描绘的图形所描绘的图形 S 叫叫曲曲面面，r(u,v)就叫曲面就叫曲面 S 的的参数化参数化，也叫曲也叫曲面的面的位置向量位置向量，或者叫曲面的或者叫曲面的向量函数向量函数，u 和和 v 都叫曲面的都叫曲面的参数参数曲面曲面 S 连同它的连同它的参数化参数化 r(u,v)一起叫一起叫参数曲面参数曲面返回章首SO参数曲面用参数曲面用 S:r=r(u,v)表示表示设设 r(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v)，则则 x=x(u,v),y=y(u,v),z=z(u,v
29、)就是曲面的就是曲面的参数方程参数方程返回章首1.31.3 曲线与曲面的概念曲线与曲面的概念-曲面的参数方程1.31.3 曲线与曲面的概念曲线与曲面的概念-正则曲面正则曲面设曲面设曲面 S:r=r(u,v).如果如果 ru(u0,v0)与与 rv(u0,v0)线性无关，就称线性无关，就称 r(u0,v0)是曲面是曲面的的正则点正则点如果曲面上的所有点都是正则如果曲面上的所有点都是正则点，就称该曲面是点，就称该曲面是正则曲面正则曲面，相应的参数，相应的参数叫叫正则参数正则参数曲面曲面 S:r=r(u,v)是正则曲面的充分必要是正则曲面的充分必要条件是条件是 rurv 0.返回章首1.31.3 曲
30、线与曲面的概念曲线与曲面的概念-正则曲面的例子平面正则曲面的例子平面平面平面.设设 a=(a1,a2,a3)是是 R3 的一个固定的非的一个固定的非零向量，零向量，r0=(x0,y0,z0)是曲面是曲面 S:r=r(u,v)上的一个定点，上的一个定点，r=(x,y,z)是该曲面上的动是该曲面上的动点如果点如果(r r0)a=0，则该曲面是以，则该曲面是以 a 为为法向量的平面该平面可表示成如下法向量的平面该平面可表示成如下点法式点法式方程方程：a1(x x0)+a2(y y0)+a3(z z0)=0.返回章首Or0rr r0aS(r r0)a=0圆柱面圆柱面.半径为半径为 R，中心轴为中心轴为
31、 z-轴的圆柱面的轴的圆柱面的向量函数为向量函数为 r=(Rcosq q,Rsinq q,z),其中其中 0 q q 2p p,a z b.返回章首1.31.3 曲线与曲面的概念曲线与曲面的概念-曲面的例子圆柱面曲面的例子圆柱面1.31.3 曲线与曲面的概念曲线与曲面的概念-曲面的例子球面曲面的例子球面球面球面.半径为半径为 R，中心为原点的球面的向量中心为原点的球面的向量函数为函数为r=(Rcosj j cosq q,Rcosj j sinq q,Rsinj j),p p/2 j j p p/2,0 q q 2p p.返回章首旋转曲面旋转曲面.考虑考虑 Oxz 平面上的平面上的曲线曲线 C:
32、x=j j(t),z=y y(t)，a t b 绕绕 z 轴旋转一周得到的曲面轴旋转一周得到的曲面叫旋转曲面，其向量函数为：叫旋转曲面，其向量函数为：r=(j j(t)cosq q,j j(t)sinq q,y y(t),a t b,0 q q 0，所以由反函数定理，所以由反函数定理，s 有有反函数反函数t=t(s)代入曲线的向量函数就得到代入曲线的向量函数就得到了以弧长为参数的向量函数了以弧长为参数的向量函数 C:r=r(s)正则曲线总可以经过重新参数化，将其参正则曲线总可以经过重新参数化，将其参数变成弧长参数数变成弧长参数曲线的弧长参数也叫曲线的弧长参数也叫自然参数自然参数返回章首1.31
33、3 曲线与曲面的概念曲线与曲面的概念-自然参数自然参数因为弧长函数可以取负值，所以弧长参数也因为弧长函数可以取负值，所以弧长参数也可以为负值可以为负值弧长参数根据基点的不同选择可能相差一个弧长参数根据基点的不同选择可能相差一个常数常数关于弧长参数，我们用关于弧长参数，我们用 r 表示表示 r 对对 s 的导数的导数 r 是单位向量是单位向量返回章首1.31.3 曲线与曲面的概念曲线与曲面的概念-曲面的重新参数化曲面的重新参数化设设 S:r=(x(u,v),y(u,v),z(u,v)是一张曲面，是一张曲面，(u,v)U，其中其中 U 是是 R2 的开区域设的开区域设 V 是是 R2 的另一个开
34、区域，的另一个开区域，f f :VU 是一个光滑同是一个光滑同胚（即双方光滑的映射），则称胚（即双方光滑的映射），则称 r=r f f 是是曲面曲面 S 的的重新参数化重新参数化 ，f f-1:(u,v)(u,v)和和 f f:(u,v)(u,v)都叫曲面的都叫曲面的参数变换参数变换定理定理.正则曲面的切空间和法线都与曲面参正则曲面的切空间和法线都与曲面参数的选取无关数的选取无关返回章首1.31.3 曲线与曲面的概念曲线与曲面的概念-曲面的曲面的正反向参数变换正反向参数变换如果如果(u,v)(u,v)是正向参数变换是正向参数变换，则，则 n(u,v)=n(u,v)；如果；如果(u,v)(u,v
35、)是反向参数变换是反向参数变换，则则 n(u,v)=n(u,v)如果参数变换的雅可比行列式大于零如果参数变换的雅可比行列式大于零，则称，则称此参数变换此参数变换为为正向参数变换正向参数变换；如果参数变换的如果参数变换的Jacobi行列式小于零，此时的参数变换叫行列式小于零，此时的参数变换叫反向反向参数变换参数变换下面的下面的向量向量 n 叫曲面叫曲面 S:r=r(u,v)的的单位法单位法向量向量：返回章首内容：欧氏空间等距变换的定义、解析表内容：欧氏空间等距变换的定义、解析表达式达式重点：等距变换的解析表达式重点：等距变换的解析表达式1.4 1.4 等距变换等距变换返回章首1.41.4等距变换
36、等距变换-定义定义设设 a=(x1,y1,z1)，b=(x2,y2,z2)是是 R3 中的任中的任意两点，它们之间的距离为意两点，它们之间的距离为如果如果 T T:R3 R3 是一一对应，且是一一对应，且对任意对任意 a、b R3 有有 d(a,b)=d(T T(a),T T(b)，则称则称 T T 是是 R3 的的等距变换等距变换，也叫，也叫合同变换合同变换、保长变换保长变换或或欧氏欧氏变换变换返回章首1.41.4等距变换等距变换-正交矩阵正交矩阵如果一个如果一个 3 阶矩阵阶矩阵 T 满足满足 TT t=E，则，则 T 是是一个一个 3 阶正交矩阵，其中阶正交矩阵，其中 T t 表示表示
37、T 的转置矩的转置矩阵，阵，E 表示表示 3 阶单位矩阵所有阶单位矩阵所有 3 阶正交矩阵阶正交矩阵关于矩阵的乘法构成群，叫关于矩阵的乘法构成群，叫三阶三阶正交矩阵群，正交矩阵群，记为记为 O(3)由线性代数知，对任意由线性代数知，对任意 3 阶矩阵阶矩阵 A 以及任以及任意的向量意的向量 a、b R3，有，有(aA)b=a (bAt)，这里，这里，aA 表示表示 13 矩阵矩阵 a 与与 33 矩阵矩阵 A 的积的积，bAt 等也作同样的解释等也作同样的解释返回章首1.41.4等距变换等距变换-解析表达式解析表达式定理定理.变换变换 T T:R3 R3 是等距变换的充要条件是等距变换的充要条
38、件是存在是存在 TO(3)以及以及 pR3，使，使 T T(r)=rT+p 对任意的对任意的 r=(x,y,z)R3 成立成立看证明看证明返回章首1.41.4等距变换等距变换-等距变换群等距变换群欧氏空间的等距变换的全体关于变换的复合欧氏空间的等距变换的全体关于变换的复合构成一个群，叫构成一个群，叫等距变换群等距变换群上面的定理说明等距变换一定是形如上面的定理说明等距变换一定是形如 rT+p 的变换，并且的变换，并且TO(3)，因此因此 T 的行列式的行列式等于等于 1 当当 T 的行列式等于的行列式等于+1 时，对应的等距变换时，对应的等距变换叫叫刚体运动刚体运动，简称，简称运动运动；当；当
39、 T 的行列式等于的行列式等于 1 时，对应的等距变换叫时，对应的等距变换叫反向刚体运动反向刚体运动刚体运动的全体也构成等距变换群的子群，刚体运动的全体也构成等距变换群的子群，叫叫运动群运动群返回章首1.41.4等距变换等距变换-切向量切向量设设 PR3，C 是过是过 P 点的曲线，我们把点的曲线，我们把 C 在在 P 点的切向量叫点的切向量叫 R3 在在 P 点的点的切向量切向量过过 P 点点可以作很多曲线，因此就有很多切向量可以作很多曲线，因此就有很多切向量 R3 在在 P 点的切向量的全体组成的集合记为点的切向量的全体组成的集合记为 TP R3，叫做，叫做 R3 在在 P 点的点的切空间
40、切空间注意到注意到 R3 在在 P 点的任一切向量是某条过点的任一切向量是某条过 P 点的曲线在该点的切向量，所以点的曲线在该点的切向量，所以对任意对任意 vTP R3 有如下形式有如下形式 v=r(t 0)=(x(t 0),y(t 0),z(t 0)切向量也可以看成是切向量也可以看成是 R3 的点，这样，的点，这样，R3 与与 TP R3 就自然等同起来了就自然等同起来了返回章首1.41.4等距变换等距变换-幺正标架幺正标架R3 的一个的一个标架标架 P;e1,e2,e3 是由是由 R3 的一个的一个点点 P（叫标架的原点）和（叫标架的原点）和 P 点的点的 3 个线性无关个线性无关的有序切
41、向量的有序切向量 e1,e2,e3 所构成如果这三个切所构成如果这三个切向量是两两正交的单位向量，则称相应的标架向量是两两正交的单位向量，则称相应的标架为为正交标架正交标架或或幺正标架幺正标架显然，显然，O;i,j,k 是是 R3 的一个幺正标架的一个幺正标架Oe1e3e2P返回章首1.41.4等距变换等距变换-正标架正标架设设 P;e1,e2,e3 是另一个标架，其中是另一个标架，其中 ei=aii+bij+cik,i=1,2,3令令如果如果 det A 0，则称则称 P;e1,e2,e3 是是正标架正标架或或右手标架右手标架或或右手系右手系P;e1,e2,e3 是正标架的充分必要条件是混合
42、是正标架的充分必要条件是混合积积(e1,e2,e3)0 返回章首第二章第二章 曲线论曲线论微分几何微分几何第二章第二章 曲线论曲线论平面曲线平面曲线空间曲线空间曲线本章补充习题本章补充习题第二章内容概要第二章内容概要本章我们讨论平面曲线和空间曲线的微分几何性本章我们讨论平面曲线和空间曲线的微分几何性质内容包括曲线的伏雷内标架、曲率、相对曲质内容包括曲线的伏雷内标架、曲率、相对曲率、挠率、伏雷内公式、近似结构、基本定理等率、挠率、伏雷内公式、近似结构、基本定理等重点：伏雷内标架、曲率、相对曲率、挠率的计重点：伏雷内标架、曲率、相对曲率、挠率的计算、伏雷内公式的应用算、伏雷内公式的应用如无特别说明
43、我们都是在曲线的正则点附近进如无特别说明，我们都是在曲线的正则点附近进行讨论行讨论返回章首2.12.1平面曲线平面曲线内容：曲率、相对曲率、伏雷内标架、伏内容：曲率、相对曲率、伏雷内标架、伏雷内公式等雷内公式等重点：曲率与相对曲率的计算重点：曲率与相对曲率的计算返回章首2.12.1 平面曲线平面曲线-伏雷内标架伏雷内标架设平面曲线设平面曲线 C:r=r(s)以弧长为参数，以弧长为参数，则其切向量则其切向量 a a (s)=r (s)是一个单位是一个单位向量，向量，即即 a a (s)a a (s)=1两边求导数得两边求导数得 a a (s)a a (s)=0，所以所以 a a (s)垂直于垂
44、直于 a a (s)，这说明，这说明 a a (s)是是曲线的法向量曲线的法向量令令 b b =a a /|a a|，则对于每一个，则对于每一个 s，r(s);a a (s),b b(s)构成平面曲线构成平面曲线 C 上上的一个幺正标架，我们称之为曲线的一个幺正标架，我们称之为曲线 C 上的上的伏雷内标架伏雷内标架返回章首由导数的定义我们可知由导数的定义我们可知 b b 总是指向曲线弯总是指向曲线弯曲的那一侧曲的那一侧Ca a(s)a a(s+Ds)a a(s+Ds)2.12.1 平面曲线平面曲线-b b 的指向的指向返回章首2.12.1 平面曲线平面曲线-伏雷内公式伏雷内公式由由 b b 的
45、定义有的定义有 a a (s)=|a a(s)|b b (s)令令 k k(s)=|a a (s)|，则有则有a a (s)=k k(s)b b (s).我们把我们把 k k (s)叫曲线叫曲线 C 在在 r(s)处的处的曲率曲率定理定理.（伏雷内公式伏雷内公式）我们有我们有 a a =k kb b ,b b =k ka a .以上伏雷内公式叫平面曲线的以上伏雷内公式叫平面曲线的基本公式基本公式返回章首2.12.1 平面曲线平面曲线-曲率计算公式曲率计算公式平面曲线为直线的充分必要条件是其曲率平面曲线为直线的充分必要条件是其曲率为零为零如果曲线方程为如果曲线方程为 y=y(x)，取取 x 为参
46、数为参数，则则曲线的参数表示为曲线的参数表示为 r=(x,y(x)，其曲率为，其曲率为定理定理.设曲线设曲线 C:r(t)=(x(t),y(t)，则其曲率，则其曲率为为返回章首2.12.1 平面曲线平面曲线-例子例子例例.求椭圆求椭圆 (x2/a2)+(y2/b2)=1 的曲率的曲率解解：椭圆可参数化为椭圆可参数化为 r(t)=(a cost,b sint)，参数方程为参数方程为 x=acost,y=bsint，所以有，所以有x=asint,x=acost,y=bcost,y=bsint.代入曲率公式得代入曲率公式得返回章首练习题练习题1求曲线求曲线 y=sinx 的曲率的曲率2求曲线求曲线
47、x=acos3t,y=asin3t 的曲率的曲率返回章首2.12.1 平面曲线平面曲线-标准伏雷内标架标准伏雷内标架前面我们有了平面曲线上的伏雷内标架前面我们有了平面曲线上的伏雷内标架 r(s);a a (s),b b(s)但伏雷内标架不一定是平面正但伏雷内标架不一定是平面正标架（即它们关于平面上的标准基的分量的标架（即它们关于平面上的标准基的分量的行列式不一定为正数）但我们总可以在曲行列式不一定为正数）但我们总可以在曲线上选取一单位法向量线上选取一单位法向量 n(s)，使使 r(s);a a(s),n(s)构成正标架，这个标架叫平面曲线的构成正标架，这个标架叫平面曲线的标标准伏雷内标架准伏雷
48、内标架a a b b a a n 返回章首2.12.1 平面曲线平面曲线-相对曲率与伏雷内公式相对曲率与伏雷内公式因因 a a /n，所以可令所以可令 a a (s)=k kr(s)n(s)我我们称们称 k kr 为曲线的为曲线的相对曲率相对曲率注意：相对曲率可正可负注意：相对曲率可正可负定理定理.我们有下述形式的伏雷内公式：我们有下述形式的伏雷内公式：a a =k krn,n =k kra a .返回章首2.12.1 平面曲线平面曲线-相对曲率计算公式相对曲率计算公式如果曲线由如果曲线由 y=y(x)给出，则相对曲率为给出，则相对曲率为kr =x y y x ；特别地，当用自然参数时，特别地
49、当用自然参数时，相对曲率为相对曲率为定理定理.在一般参数下，相对曲率为在一般参数下，相对曲率为返回章首2.12.1 平面曲线平面曲线-在一点附近的结构在一点附近的结构设曲线设曲线 C:r=r(s)则则当当 k k(s)不为不为 0 时，曲线近似于抛物线时，曲线近似于抛物线当当 k k(s)=0，但但 k k (s)不为不为 0 时，曲线近似时，曲线近似于一条近似立方抛物线（于一条近似立方抛物线（看证明看证明）返回章首2.22.2空间曲线空间曲线内容：三个基本向量、伏雷内标架、伏雷内容：三个基本向量、伏雷内标架、伏雷内公式、曲率、挠率、密切平面、从切平内公式、曲率、挠率、密切平面、从切平面、一
50、般螺旋线等面、一般螺旋线等重点：曲率与挠率的计算、密切平面与从重点：曲率与挠率的计算、密切平面与从切平面方程、伏雷内公式的应用切平面方程、伏雷内公式的应用返回章首2.22.2 空间曲线空间曲线-密切平面密切平面过曲线过曲线 C 上一点上一点 P 处的切线和曲线上位于处的切线和曲线上位于 P 点附近的另一点点附近的另一点 Q 作一平面作一平面 s s(Q)当当 Q 沿曲线趋向于沿曲线趋向于 P 时时 s s(Q)的极限位置的极限位置 s s 称称为曲线为曲线 C 在在 P 点的点的密切平面密切平面过曲线上一点可以作无数切平面（通过切线过曲线上一点可以作无数切平面（通过切线的平面），而密切平面则是
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