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1、第十章,一元函数积分学,多元函数积分学,重积分,曲线积分,曲面积分,重 积 分,三、二重积分的性质,第一节,一、引例,二、二重积分的定义与可积性,四、曲顶柱体体积的计算,二重积分的概念与性质,第十章,解法: 类似定积分解决问题的思想:,一、引例,1.曲顶柱体的体积,给定曲顶柱体:,底： xoy 面上的闭区域 D,顶: 连续曲面,侧面：以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面,求其体积.,“大化小, 常代变, 近似和, 求 极限”,1)“大化小”,用任意曲线网分D为 n 个区域,以它们为底把曲顶柱体分为 n 个,2)“常代变”,在每个,3)“近似和”,则,中任取一点,小曲顶柱体,4)“
2、取极限”,令,2. 平面薄片的质量,有一个平面薄片, 在 xoy 平面上占有区域 D ,计算该薄片的质量 M .,度为,设D 的面积为 ,则,若,非常数 ,仍可用,其面密,“大化小, 常代变,近似和, 求 极限”,解决.,1)“大化小”,用任意曲线网分D 为 n 个小区域,相应把薄片也分为小区域 .,2)“常代变”,中任取一点,3)“近似和”,4)“取极限”,则第 k 小块的质量,两个问题的共性：,(1) 解决问题的步骤相同,(2) 所求量的结构式相同,曲顶柱体体积:,平面薄片的质量:,二、二重积分的定义及可积性,定义:,将区域 D 任意分成 n 个小区域,任取一点,若存在一个常数 I , 使
3、,可积 ,在D上的二重积分.,积分和,是定义在有界区域 D上的有界函数 ,引例1中曲顶柱体体积:,引例2中平面薄板的质量:,如果 在D上可积,也常,二重积分记作,分区域D ,因此面积元素,可用平行坐标轴的直线来划,记作,这时,定理1.,二重积分存在定理:,若函数,定理2.,(证明略),在D上可积.,限个点或有限条光滑曲线外都连续 ,积.,在有界闭区域 D上连续,则,若有界函数,在有界闭区域 D 上除去有,例如,在D :,上二重积分存在 ;,在D 上,二重积分不存在 .,三、二重积分的性质,( k 为常数), 为D 的面积, 则,特别, 由于,则,5. 若在D上,6. 设,D 的面积为 ,则有,
4、7.(二重积分的中值定理),证: 由性质6 可知,由连续函数介值定理, 至少有一点,在闭区域D上, 为D 的面积 ,则至少存在一点,使,使,连续,因此,8. 设函数,D 位于 x 轴上方的部分为D1 ,当区域关于 y 轴对称, 函数关于变量 x 有奇偶性时, 仍,在 D 上,在闭区域上连续,域D 关于x 轴对称,则,则,有类似结果.,在第一象限部分, 则有,例1. 比较下列积分的大小:,其中,解: 积分域 D 的边界为圆周,它与 x 轴交于点 (1,0) ,而域 D 位,从而,于直线的上方, 故在 D 上,例2. 判断积分,的正负号.,解: 分积分域为,则,原式 =,猜想结果为负 但不好估计
5、.,舍去此项,例3. 估计下列积分之值,解: D 的面积为,由于,积分性质5,即: 1.96 I 2,解,解,解,解,设曲顶柱的底为,任取,平面,故曲顶柱体体积为,截面积为,截柱体的,四、曲顶柱体体积的计算,同样, 曲顶柱的底为,则其体积可按如下两次积分计算,解: 设两个直圆柱方程为,利用对称性, 考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为,则所求体积为,例1. 求两个底圆半径为R 的直交圆柱面所围的体积.,内容小结,1. 二重积分的定义,2. 二重积分的性质,(与定积分性质相似),3. 曲顶柱体体积的计算,二次积分法,被积函数相同, 且非负,思考与练习,解:,由它们的积分域范围可知,1. 比较下列积
6、分值的大小关系:,的大小顺序为 ( ),提示: 因 0 y 1, 故,故在D上有,2. 设D 是第二象限的一个有界闭域，且 0 y 1，则,解:,3. 计算,其中D 为,解: 利用题中 x , y 位置的对称性, 有,又 D 的面积为 1 ,故结论成立 .,4. 证明:,解 由于被积函数 在园盘 D 上连续，D 的面积为 。由二重积分的积分中值定理知，在 D 内存在点 使,当 时,于是，所求的极限为,其中,则,(2005考研（三）4分),例6 设,如图，正方形,被其对角线划分为四个区域,则,(A) ; (B) ; (C) ; (D),A,2009考研一,设区域,为,上的正值连续函数，为常数，则,(A) ; (B) ; (C) ; (D),D,2005考研（二）,练 习 题,练习题答案,