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1、第9章 重 积 分 问题的提出 二重积分的概念 二重积分的性质 小结 思考题 作业 double integral 9.1 二重积分的概念与性质 第9章 重 积 分 柱体体积=底面积高 特点：平顶. 柱体体积=？ 特点：曲顶. 曲顶柱体的体积 一、问题的提出 步骤如下： 用若干个小平 顶柱体体积之 和近似表示曲 顶柱体的体积， 先分割曲顶柱体的底 ，并取小区域， 曲顶柱体的体积 分割 求和 取极限 取近似 5 (1) 分割 相应地此曲顶 柱体分为n个小曲顶柱体. (2) 取近似 第i个小曲顶柱体的体积的近似式 (用 表示第i个子域的面积). 将域D任意分为n个子域 在每个子域内任取一点 6 (
2、3) 求和 即得曲顶柱体体积的近似值: (4) 取极限 作)趋于零, 求n个小平顶柱体体积之和 令n个子域的直径中的最大值(记 上述和式的极限即为曲顶柱体体积 求平面薄片的质量 将薄片分割成若干小块， 取典型小块，将其近似 看作均匀薄片， 所有小块质量之和 近似等于薄片总质量 分割 求和 取极限 取近似 二、二重积分的概念 积分区域积分区域 积分和积分和 被积函数被积函数 积分变量积分变量 被积表达式被积表达式 面积元素面积元素 对二重积分定义的说明： 连续函数一定可积 11 (2) 3. 二重积分的几何意义 (3) (1) 的二重积分就等于 二重积分是 二重积分是 而在其他的部分区域上是负的
3、. 这些部分区域上的柱体体积的 代数和. 那么， f (x, y)在D上 柱体体积的负值; 柱体体积; 当f (x, y)在D上的若干部分区域上是正的, 12 例 设D为圆域 二重积分 = 解 上述积分等于 由二重积分的几何意义可知, 是上半球面 上半球体的体积: R D 它的面密度 平面薄片D的质量 即 在薄片D上的二重积分, 二重积分的物理意义？ 在直角坐标系下 用平行于坐标轴的直线网 来划分区域D， 故二重积分可写为 D D 则面积元素为 三、二重积分的性质 复习：定积分的性质 （此性质可以推广到有限多个函数作和的情况） 性质1 性质2 性质3 性质4 性质5 性质5的推论 (1) 性质
4、5的推论： （2） 性质6 性质7（定积分中值定理） 积分中值公式 性质2 当 为常数时， 性质1 （二重积分与定积分有类似的性质） 三、二重积分的性质 性质对区域具有可加性 性质 若 为D的面积， 性质 若在D上 特殊地 则有 性质 性质 （二重积分中值定理） （二重积分估值不等式） 解 解 解 解 二重积分的定义 二重积分的性质 二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积） （和式的极限） 四、小结 29 选择题 (A) (B) (C) (D) 提示: B 设 f (x, y)是有界闭区域D:上的 连续函数, 不存在. 利用积分中值定理. 30 利用积分中值定理,解即得: 由函数的连续性知, 显然, 其中点是圆域 内的一点. 思考题1 将二重积分定义与定积分定义进行比较, 被积函数为定义在平面区域上 思考题解答 相同点定积分与二重积分都表示某个和式的 极限值,且此值只与被积函数及积分区域有关. 不同点 定积分的积分区域为区间, 被积函数为 定义在区间上的一元函数, 而二重积分的积分 区域为平面区域, 的二元函数. 找出它们的相同之处与不同之处. 思考题2 二重积分的几何意义是以 为曲顶, D为底的曲顶柱体体积. (是非题) 非. 作业 习题9.1(375页)