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1、 微积分期末考试综合题参考答案 一设，证明：条件收敛证明：（1）设则因此在 单调增加。故：即 又显然因此由莱布尼兹定理知收敛。 （2）再考察 因为故发散。综合（1）、（2）知：条件收敛。二设在的某一邻域内具有二阶连续导数，且。证明：级数绝对收敛。证明：因为在处具有二阶连续导数，且，根据可导必连续，有： =0，。麦克劳林展式：对， （。因此，因此， 所以，且收敛，所以，绝对收敛。三已知满足为正整数）。且求级数之和。解：（1）解一阶线性微分方程，得其通解： ，代入初始条件得故。 （2）原级数即为 令。当时，由逐项求导公式，有： ，故 所以，。四设求解：（1） （兜圈子），故，。（2）令当时，由逐项
2、求导公式，有： ，故 故：五已知函数的全微分并且求在椭圆域上的最值。解：（1）由得： 又故所以， （2）下面求在椭圆域上的最值。 （i）令，得驻点， （ii）在椭圆上，由椭圆的参数方程：， 。所以，综合(i),(ii)知，。六在椭球面上求一点，使得沿着点A(1,1,1)到点B(2,0,1)的方向导数具有最大值。解：（1）记，则沿椭球面上任意一点处的方向导数为 。（2）问题转化为求函数在条件下的极值，下用拉格朗日乘数法解之。令由解上述方程组，得：或因此有两个驻点及（3）因为，所以，椭球面上点处沿着A(1,1,1)到B(2,0,1)的方向导数具有最大值。七证明：曲面上任意一点处的切平面与曲面所围成
3、的立体体积为定值。证明：（1）令，则曲面上任意一点处的切平面的法向量为：，从而点M处的切平面方程为： ，化简得：。 （2）联立，消去z，得立体向xoy面上的投影区域因此，所求立体的体积为 注意：上述计算二重积分的过程中，其实用到了变量替换公式：令则八。设在上连续，试证明：证明： 其中，视为常数），所以， （交换积分次序后） （最后一步是利用积分与变量记号无关）。九设在上连续且单增，记 试证明证明：记 -（1） 由轮换对称性，易知： -（2） 所以，（因单增，故无论均有即，十证明：证明：一方面： 另一方面：注意：后一不等式用到了：当十一。设L是圆周取逆时针方向，又是正值连续函数，试证：证明：由格
4、林公式：记 -（1） 又由轮换对称性：-（2），代入（1）式，得： 十二。设曲线积分与路径无关，且方程所确定的曲线的图形过点。其中是可微函数，求所确定的曲线。解：（1）由于曲线积分与路径无关，所以， 即： （2）解此可分离变量型微分方程得其通解： 又曲线的图形过点，所以，因此所求曲线为：十三。设在xoy平面上具有一阶连续偏导数，曲线积分与路径无关，并且对任意的t，恒有求函数。解：（1）由于曲线积分与路径无关，所以 ，故：-（1）（思考一下，为什么此积分后带的不是任意常数C,而是？） （2）又因为，代入（1）式： -（2）选择平行于坐标轴的折线路径积分分别以定积分表示出左、右两曲线积分，得： ，
5、即 -（3）（3）式两边同时对t求导，得： ，所以。十四。设曲线与x轴交于点O(0,0),A(2,0).曲线在A点处的切线交y轴于B点积分，试计算解：（1）由，故曲线在A点处的切线方程为： ，其与y轴于B（0,4）. （2）记，因为 补充直线段，记由所围成的平面区域为，则 。所以，十五。设函数具有连续导数，试计算，其中为点与点的直线段下方的任意光滑曲线，且该曲线与直线段所围成的面积为解：记，则 因为-（1） 易知 又 ， -（2） -（3）注意到：划线部分可互相抵消： 所以，十六。设在上半平面内，函数具有连续偏导数，且对于任意都有。试证明：对D内的任意分段光滑的有向闭曲线L都有证明：（一）因为
6、-（1） （1）式两边对t求导，得： -（2） （2）式中，令t=1,得： -（3） （二）由格林公式： 十七。设S为椭球面的上半部分，点为S在点P处的切平面，为原点到平面的距离。求解：（一）设切点，则P处的切平面方程为： ，即 =2整理后，得： 由点到平面的距离公式： （二） 由，即：。 因此 （三） 十八。设闭区域，求。解：设，则由已知： -（1），从而 ，由上式解之，所以，十九。设在上连续，且满足，求。解：（一）由于 ，所以，-（1） （1）两边同时对t求导，得： ，即-（2） 此为一阶线性非齐才次微分方程。 （二）由公式，解方程（2），得： -（3） 又显见，代入（3），得：C=1.所
7、以，二十。设有半径为R的定球，另有一半径r为的变球与定球相割。若变球中心在定球球面上，试问：当r等于多少时，含在定球内的变球部分的表面积最大，并求出最大表面积。解：（一）建立空间直角坐标系，使原点在定球球心上，两球的球心连线为z轴。则定球的方程为：，变球：。 由，。所以， 又联立，消去z，得投影区域为 （二）由公式，所求变球含在定球内的变球部分的表面积 （三）令 又所以，在取到最大值。二十一。在底半径为R高为H的圆柱体上面拼加一个同半径的半球体，使整个立体的重心位于球心处，试求R与H的关系。设立体密度。解：建立空间直角坐标系，使球心在原点。则圆柱面方程为。半球面的方程为：。设重心。 由题设，应有。 由重心坐标公式： -（1）（为整个立体） 而-（2）（分别为圆柱体及半球体）又， 。所以，二十二。设具有连续导数，试计算，其中表面的外侧。解：（一）记 （二）补充平面，记与所围成的区域为。 。二十三。设对于半空间任意的光滑有向曲面都有： 其中，在上具有一阶连续导数，且求。解：（一）由高斯公式： 即： ，对对于半空间任意的光滑有向曲面都成立。故必须： -（1）为一阶线性非齐次微分方程。 （二）由公式，（1）的通解为： -（2） ，故必有：所以，二十四。设函数在点点可导，且，求，其中解：所以，