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1、最新 料推荐 中档题专练 ( 八)1.已知向量 a=(2sinx,cos x),b=(cos x,2cos x).(1)若 xk+,k Z,且 ab,求 2sin 2 x-cos 2x 的值 ;(2)定义函数 f(x)= ab-1,求函数 f(x) 的单调递减区间 ,并求当 x时,函数 f(x)的值域 .2.(2018 苏锡常镇四市高三调研 (一 )如图 ,正三棱柱 ABC-A 1B 1C1 的高为,其底面边长为 2.已知点 M,N 分别是棱 A1C1 ,AC 的中点 ,点 D 是棱 CC 1 上靠近 C 的三等分点 .求证 :(1)B 1M平面 A1 BN;(2)AD 平面 A1BN.3.(
2、2018 江苏海安高级中学高三月考)在平面直角坐标系xOy 中 ,椭圆 C:+=1(ab0) 的离心率为,且点在椭圆 C 上 .(1) 求椭圆 C 的方程 ;1最新 料推荐 (2) 设 P 为椭圆上第一象限内的点 ,点 P 关于原点 O 的对称点为 A,点 P 关于 x 轴的对称点为Q, 设=,直线 AD 与椭圆 C 的另一个交点为 B, 若 PA PB, 求实数 的值 .4.(2018 苏锡常镇四市高三调研 (一 )如图 ,某景区内有一半圆形花圃,其直径 AB 为 6,O 是圆心 ,且 OC AB. 在 OC 上有一座观赏亭Q, 其中 AQC=.计划在上再建一座观赏亭P, 记 POB=,连接
3、 PQ.(1) 当 =时,求 OPQ 的大小 ;(2) 当 OPQ 越大时 ,游客在观赏亭 P 处的观赏效果越佳 ,求游客在观赏亭 P 处的观赏效果最佳时角 的正弦值 .答案精解精析1.解析 (1) 因为 a b,所以 4sinxcosx-cos 2x=0,因为 xk+ Z,所以cos x0,即tanx= ,k所以 2sin 2x-cos 2 x=- =- .(2)f(x)= ab-1=2sin xcos x+2cos 2 x-1=sin 2x+cos 2x=2sin,2最新 料推荐 令 2k+2x+ 2k+ ,kZ,得 k+xk+ ,k Z.所以 f(x) 的单调递减区间为(kZ).因为 x
4、,所以 2x+,所以 sin -,所以当 x时 ,函数 f(x) 的值域为 -1,2.2.证明(1) 连接 MN, 正三棱柱 ABC-A 1B1C1 中,AA 1 CC 1 且 AA 1=CC 1,则四边形 AA1 C1C 是平行四边形 ,因为点 M,N 分别是棱 A1C1,AC 的中点 ,所以 MN AA1且 MN=AA 1,又正三棱柱 ABC-A 1 11 中AA1BB1 且11,所以MNBB1且1,所以四边形B CAA=BBMN=BBMNBB1是平行四边形 ,所以 BM BN, 又 BM?平面 A BN,BN ?平面 A BN,1111所以 B1M 平面 A1BN.(2) 正三棱柱 AB
5、C-A 1 B1C1 中,AA 1平面 ABC,BN? 平面 ABC, 所以 BN AA 1 ,正 ABC 中,N 是 AC 的中点 ,所以 BN AC,又 AA 1、AC? 平面 AA 1C1C,AA 1 AC=A,所以 BN 平面 AA 1C1C,又 AD? 平面 AA 1C1 C,所以 AD BN,因为 AA 1=,AC=2,AN=1,CD=,所以=,又 A1AN= ACD= ,所以 A1 AN ACD, 则 AA 1N=CAD,3最新 料推荐 所以 ANA 1+CAD= ANA 1+AA 1 N= ,则 AD A1N, 又 BN A1N=N,BN,A 1N? 平面 A1 BN,所以 A
6、D 平面 A1 BN.3.解析 (1) 因为点在椭圆 C 上,所以 +=1,又椭圆 C 的离心率为,可得 = ,即 c= a,所以 b2=a 2-c2 =a2 -= a2 ,代入上式 ,可得 +=1,解得 a2=4, 故 b2= a2=1.所以椭圆 C 的方程为+y2=1.(2) 设 P(x 0 ,y0),则 A(-x 0 ,-y0 ),Q(x 0,-y0 ).因为=,则(0,yD0)= (0,-2y0D0-y),故 y =(1- 2 )y.所以点 D 的坐标为 (x0,(1- 2 )y0).设 B(x 1,y 1),-kPBkBA= -= - =- -,又 kBA =kAD =- -=-=-
7、 ,故 kPB =-=-.又 PA PB,k PA=,-所以 kPB kPA =-1,即 - =-1, 解得 =.-所以 =.4.解析(1) 设 OPQ=,在 RtOAQ 中,OA=3, AQO= - AQC= -= ,所以 OQ=,在 OPQ 中,OP=3, POQ= -=- = .由正弦定理得=,即=,-所以sin =sin - -=sin- ,4最新 料推荐 则 sin =sincos=+sin,-cos sincos所以sin =cos ,因为 为锐角 ,所以 cos 0,所以 tan = ,得 =.所以 OPQ 的大小为.(2) 设 OPQ=,在 OPQ 中,OP=3, POQ= -,由正弦定理得=,即=- -,-所以sin =sin- -=sin -)=coscos+sinsin,- =cos( -从而 ( -sin)sin =cos cos ,其中-sin 0,cos 0,所以 tan =,-记 f()=,则 f-, ,( )=-令 f( )=0,则 sin= ,存在唯一 使得 sin =,00当 (0, 0( )0,f()单调递增当 时,f ( )0,f()单调递减,)时, f,所以当 =0时 , f( )最大 ,即 tan OPQ 最大 ,又 OPQ 为锐角 ,从而 OPQ 最大时 sin = .答 :观赏效果达到最佳时 , 的正弦值为.5