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1、6.3 二阶线性微分方程的解法,6.3.1 二阶线性微分方程解的结构,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第6章,一、概念的引入,解,受力分析,物体自由振动的微分方程,强迫振动的方程,串联电路的振荡方程,二阶线性微分方程,二阶线性齐次微分方程,二阶线性非齐次微分方程,n阶线性微分方程,二、二阶线性微分方程的解的结构,1.二阶齐次方程解的结构:,问题:,例如,线性无关,线性相关,特别地:,例如,2.二阶非齐次线性方程的解的结构:,解的叠加原理,6.3.2 二阶常系数齐次线性微分方程 的特征根求法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第6章,将其代入上方程, 得,故有,特征方程,特征根,对于二阶常
2、系数齐次线性微分方程, 有两个不相等的实根,两个线性无关的特解,得齐次方程的通解为,特征根为,反之：, 有两个相等的实根,一特解为,得齐次方程的通解为,特征根为,反之：, 有一对共轭复根,重新组合,得齐次方程的通解为,特征根为,定义,由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征根求法.,解,特征方程为,解得,故所求通解为,例1,解,特征方程为,解得,故所求通解为,例2,*n阶常系数齐次线性方程解法,特征方程为,注意,n次代数方程有n个根, 而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项, 且每一项各一个任意常数.,特征根为,故所求通解为,解,特征方程为,例4,二阶常系数齐次微分方程求通
3、解的一般步骤:,（1）写出相应的特征方程; （2）求出特征根; （3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解.,(见下表),6.3.3 二阶常系数非齐次线性微分方 程的解法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第6章,对应齐次方程,通解结构,常见类型,难点：如何求特解？,方法：待定系数法.,二阶常系数非齐次线性方程,设非齐方程特解为,代入原方程,一、 型,综上讨论,注意,上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程（k是重根次数）.,特别地,解,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,代入方程, 得,原方程通解为,例2,解,设 的特解为,设 的特解为,则所求特解为,特征根,（重根）,例3 写出微分方程,的待定特解的形式.,利用欧拉公式,注意,上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程.,解,对应齐方通解,作辅助方程,代入上式,所求非齐方程特解为,原方程通解为,（取虚部）,例4,解,对应齐方通解,作辅助方程,代入辅助方程,例5,所求非齐方程特解为,原方程通解为,（取实部）,注意,解,对应齐方通解,用常数变易法求非齐方程通解,原方程通解为,例6,课外作业,P28-29 习题6-3 1 2(1)(4)(6) 3(2) 4(2)(3) 5(1)(3)（选做）,