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1、2 随机变量的方差及标准差,例如：有两批钢筋，每批十根，它们的抗拉指标依次为 第一批：110，120，120，125，125，125，130，130，135，140； 第二批：90，100，120，125，125，130，135，145，145，145. 这两批的抗拉指标的平均值都是126.但是，使用钢筋时，一般要求不低于一个指定数值，例如115.那么，第二批钢筋的诸抗拉指标由于与平均值偏差较大，即取值较分散，所以它们中间尽管有几根的抗拉指标很大，但是不合格的根数比第一批多. 从而，从实用价值来讲，可以认为第二批的质量比第一批差.从这个例子中看到，了解实际指标与平均值的偏差情况是有必要的.,通
2、常用它的数学期望 来计量 取值时 以它的数学期望 为中心的分散程度.把这个数 字特征叫做 的方差，记作 （或 ）. 即规定 （2.1）,定义,同时称 为随机变量 的标准差.,注,这个表达式有时可以用来计算,按数学期望的性质，由于 是一个常数，因此,对离散型随机变量，按上（2.1）式有,其中 是 的分布律.,对连续型随机变量，按上（2.1）式有,其中 是 的概率密度.,方差具有下列性质：,（2）设 是随机变量， 是常数，则有,（3）设 ， 是随机变量，则有,（4） 的充要条件是 以概率取常数 即 显然，这里,这一性质可以推广到任意有限多个相互独立的随机变量之和的情况.,特别，若 相互独立，则有：
3、,（1）设 是常数，则,证明 （4）证略.下证（1），（2），（3）.,（3）,（2）,（1）,上式中,若 相互独立，由期望的性质知上式右端为，从而,例1 设随机变量 具有数学期望 方差 记，则,即 的数学期望为，方差为， 称为 的标准化随机变量.,例2 设随机变量 具有（）分布 ，其分布律为 也记为 求,例3 设 服从 即 ， 求 .,解,由（22）式得：,解,又 所以,例4 设 服从 ，求,例5 设随机变量 服从指数分布： 其中 求,解 的概率密度为,即数学期望位于区间 的中点.从而方差为,的数学期望为,解 由上节例3有 , 又,于是,例6 设 .求,例7 设 求,解 由二项分布的定义知，
4、随机变量 是 重贝努里 试验中事件 发生的次数，且在每次试验中 发 生的概率为 引入随机变量,易知， 由于 只依赖于第 次 试验，而各次试验相互独立，于是 相互 独立，又知 服从同一（0-1）分布 ，即,从而，以 为参数的二项分布随机变量，可分 解成 个相互独立且都服从以 为参数的（0-1） 分布的随机变量之和.,由例2知 故有,又由于 相互独立，得,解 先求标准正态随机变量 的数学期望和 方差， 的概率密度为,因 得,于是,从而看出，一般正态分布中的参数依次是相 应随机变量的数学期望及方差，只要利用数学期望 及方差这两个数字特征便能完全定出这一分布.,这就是说，正态分布的概率密度中的两个参数 和 分别就是该分布的数学期望和均方差，因而正 态分布完全可由它的数学期望和方差所确定.,再者，由上一章4 中例3 知道，若 则它们的线性组合： 是不全 为0的常数）仍然服从正态分布，于是由数学期望 和方差的性质知道,这是一个重要结果.,例如，若，且 相互独立，则 也服从正态分布，而,故有,下面，我们把一些常见随机变量的概率分布、均值、方差等列出表4-2，以便查阅.,