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1、正余弦定理与解三角形目标认知：学习目标：1掌握正弦定理、余弦定理及其推导；2能初步运用正弦定理、余弦定理求解一些斜三角形及解决一些简单的三角形度量问题学习重点：运用正弦定理、余弦定理探求任意三角形的边角关系，解决与之有关的计算问题与实际问题学习难点：灵活运用两个定理解决相关的解三角形问题内容解析：一、正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 注：1应用正弦定理，可以研究两类解三角形问题：(1)已知两角和任意一边，求其他两边和一角；(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角2正弦定理的常见变形公式： （其中为三角形外接圆的半径）； ； ；; 三角形面积公
2、式：二、余弦定理三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即，余弦定理的变式：，注：1应用余弦定理，可以研究两类解三角形问题：(1)已知三边，求三个角；(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角 2余弦定理的几种常见变形式：；（求任意两边的夹角）；（式的化简）；是锐角；是钝角（判断三角形的形状）3正弦定理、余弦定理建立了三角形中边与角的联系，对任意三角形都适用。三、解斜三角形学习了正弦定理、余弦定理以后，我们就有了解三角形的工具，三角形中三条边、三个角一共六个条件，已知其中的三个，都可以把另外三个求出 要训练在做题中能正确的选择正弦定理与余弦定理的能力
3、，就要明确正弦定理、余弦定理的求解条件，并特别注意正弦、余弦、正切几个三角函数间的转化，及内角的三角函数值的取值范围 注：1解斜三角形的常规方法是：(1) 已知两角和一边（如），由求，由正弦定理求(2) 已知两边和夹角（如），应用余弦定理求边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用，求另一角(3) 已知两边和其中一边的对角（如），应用正弦定理求，由求，再由正弦定理或余弦定理求边，要注意解可能有多种情况；(4) 已知三边，应用余弦定理求，再由，求角2两内角与其正弦值的大小关系：在 中，3解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角”定理及几何作图来帮助理解本周典
4、型例题：1、在中，求解：由正弦定理可知，即 因为，所以2、在中，若，求 分析：由角的正切值可以求解出的度数，因而转化为“已知两角和一个角的对边，求另一条对边”的问题，可用正弦定理求解解：由可知， 又因为，所以联立两个方程可解得，因为是三角形的内角，所以正弦值取正，即。所以代入，即题记：三角形内角的正弦值是正数，是一个隐含条件。3、若，则ABC是（ ）A正三角形 B有一内角为30的直角三角形C等腰直角三角形 D有一内角为30的等腰三角形解：由正弦定理，所以可知，根据正弦函数与余弦函数的图象知，两个函数在内有且只有一个交点，即处，所以，是等腰直角三角形，选C4、在中，求解： 由余弦定理可得，题记：
5、余弦定理建立了三条边与一个角的正弦之间的联系，其中的角可以是三角形中的任何一个角5、在中，角所对的边分别为，若，b=，求 解：由余弦定理的变形公式直接代入数据可得:，所以题记：“ 已知三条边求一个角”的题目形式是应用余弦定理的典型表征 由此题可知余弦定理可作为对三角形形状判断的方法:余弦值为负，说明这个角是一个钝角，该三角形是一个钝角三角形；余弦值为0，说明这个角是直角，该三角形是直角三角形但注意：余弦值为正，说明这个角是一个锐角，还仍需求其他角的余弦，而不能直接得到“三角形是锐角三角形”的结论6、中，若，则_ 分析：题目只给出了一个角，需要求三条边的一个比例关系，只能用余弦定理解：由余弦定理
6、 可知:，即,所以法2（特殊值法,可用来解小题）由题目条件，上式的值对所有包含一个角的三角形都是相同的，所以不妨设是等边三角形，即，代入可得7、锐角中，若，则的取值范围是（ ）A B C D 解：由已知及正弦定理，可得由可知，因为，所以在内，余弦函数是单调递减的，所以，即答案选择C8、中，若，求解：因为，所以由余弦定理可得，题记：正弦定理、余弦定理都阐述了三角形内边与角的关系，但是它们的适用范围是存在着差异的一般来讲，题目给出了较少的边、角信息，优先考虑用正弦定理9、在中，判断这个三角形的形状解：应用正弦定理、余弦定理，可得,整理为，即所以，即所以是直角三角形10、在中，分别为的对边，(1)求
7、的值；(2)求的值解：(1) 由及正弦定理得(2) 由，解得由余弦定理得，化简得，解得或若，则，所以，与条件矛盾，所以不合题意，舍去所以11、若钝角三角形中，一个锐角与钝角之和等于另一个锐角度数的两倍，且最大边长与最小边长的比值为，则的取值范围是（ ）A(1,2) B (2,+) C 3,+) D(3,+)分析：考虑到题目给出了三个内角的关系式与一组边的比值，所以应选用正弦定理，边的范围可以借助三角函数的求解。解：在钝角中,设,则依题意可得,则,设,由得于是，而,则,所以,答案为B题记：应注意根据正弦定理可得到“边与所对角的正弦值的比值为常数”，不能由角的关系直接得出边的关系若利用和角公式展开
8、还要用到余弦值的转化，问题会变得比较麻烦，所以先根据“三角形内角之和为180度”确定一个角才是比较英明的做法12、在中，是方程的一个根，求周长的最小值 解：因为，所以由是方程的一个根，所以由余弦定理可得：，则，当时，最小且，此时所以，的周长的最小值为正余弦定理的应用撰稿：叶彩娟 审稿：谷 丹 责编:王静伟目标认知：学习目标：1进一步理解正、余弦定理2掌握用正余弦定理解决问题的思想方法学习重点：正余弦定理的应用学习难点：正余弦定理的综合应用本周典型例题：11）求证：平行四边形各边的平方和等于对角线的平方和2）如图，AD是BAC的角平分线求证：1）证明：法一：因为ABC中，由余弦定理， ABD中，
9、 而AB=CD，AD=BC，ABC=-BAD， 所以 法二：设AC=a，BD=b，则 AOB中， AOD中， 从而， 即小结：注意到要证明平方关系，又由平行得到互补角，从而考虑用余弦定理2）证明：ABD中，根据余弦定理， ACD中， 又因为ADB=-ADC，BAD=DAC， 所以小结：注意到欲证式为关于边的比例式，而题目条件含有相等角、互补角，故联想到正弦定理事实上，此题目为角平分线定理，在学习平面几何时，可以借助辅助线证明此问题，如下图，过点B作BEAC交AD延长线于E，则BAC=DAC=AEB，从而AB=BE因为BDECDA，所以即相比之下，用正弦定理解决此问题更为简洁方便综上，此例为正余
10、弦定理的直接运用，需要关注到正余弦定理的形式，正弦定理为对称的边角关系，余弦定理则为一角将三边的平方沟通起来的一种关系2已知ABC，记AB=c，BC=a，AC=b1）若，求角C2）已知三边长分别为3，4，求ABC中的最大角3）当，c=2，求b解析：1）分析：欲求C，只需求，即 注意到已知式为4次式，则求即可，即只需求 原式变形即可得 解：因为， 所以 即 从而 所以或2）分析：先确定哪个边所对的角为最大角，然后利用余弦定理，即可实现已知三边求一角，根据正弦 定理，三角形中大边对大角，可判定所对角为最大 解：根据正弦定理， 可知，若ab，则 1若A，B都为锐角，则AB 2若A，B中有一个为钝角，
11、则必为A，否则为锐角， 从而与三角形内角和为矛盾 所以，ABC中最大角为所对的角 ，即为3）分析：已知两边及其夹角可唯一确定一个三角形，而已知一个角，它的一对边和一邻边则可对应两 个三角形或一个三角形，此题由于故应有两个三角形符合已知条件 解：因为，所以，则 又因为 所以 所以小结：提前关注解的个数可以避免丢解的情况4）分析：因为sinAsinB，从而AB即B只能为锐角，所以此题目相当于已知两角和一边，唯一确定一 个三角形 解：因为，所以 即3在ABC中，据下列条件分别判断三角形的形状1）2）解析：判断三角形的形状可以从边和角两个角度考虑，而正弦定理又将两者很好的联系到了一起1）因为，所以 又
12、因为，所以 即 所以2A=2B或2A=-2B即等腰三角形或直角三角形2）法一：因为， 所以 即 即 或 或 即ABC为等腰三角形或直角三角形 法二：注意到sinA-sinB，cosB-cosA，可利用和差化积公式 因为 所以 即 即 即或 或 所以ABC为等腰三角形或直角三角形小结：此类问题由于三角函数有多种公式可以应用，处理起来更方便，所以常常将已知条件化归为角的三角函数之间的关系，然而变形得到角满足的条件，从而判断三角形的形状4在ABC中，1），求最大角2）已知a+c=3b，C=120，求a:b:c解析：1）因为 所以 设，则， 由大边对大角可知，C所对角为最大 ，即2）因为C为钝角，所以A、B均为锐角 因为a+c=3b，C=120，所以 即 所以 所以 所以a:b:c=8:7:13小结：正余弦定理实现了边角关系的转化，而三角形内角和为180又实现了角之间的互相表示，解决此类问题时，明确方向，适当运用方程思想非常关键5在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，其中c最长，且1）求证：ABC为直角三角形2）当c=1时，求ABC面积的最大值解析：1）因为c最长，所以A、B 均为锐角， 又 所以 即ABC为直角三角形2） 因为c=1即，所以 所以，当且仅当时取等小结：关注此题C为最长的条件，否则由条件也可得到的情况注意时刻保持思维的严谨性。14