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1、函数与方程思想在例题教学中的体现1已知函数f(x)ax3|xa|，aR（1）若a1，求函数yf(x) (x 0，)的图象在x1处的切线方程；（2）若g(x)x4，试讨论方程f(x)g(x)的实数解的个数；（3）当a0时，若对于任意的x1 a，a2，都存在x2 a2，)，使得f(x1)f(x2)1024，求满足条件的正整数a的取值的集合【答案】（1）2xy30（2）当a1时，方程f(x)g(x)有两个不同的解a，1；当1a1时，方程f(x)g(x)有三个不同的解a，1，1；当a1时，方程f(x)g(x)有两个不同的解a，1（3）1【解析】试题分析：（1）当a1，x 0，)时，f(x)x3x1，从
2、而f (x)3x21当x1时，f(1)1，f (1)2，所以函数yf(x) (x 0，)的图象在x1处的切线方程为y12(x1)，即2xy30（2）本题第一个难点在于化简方程，提取公因式；第二个难点，在于讨论三个条件关系. f(x)g(x)即为ax3|xa|x4所以x4ax3|xa|，从而x3(xa)|xa|此方程等价于xa或或所以当a1时，方程f(x)g(x)有两个不同的解a，1；当1a1时，方程f(x)g(x)有三个不同的解a，1，1；当a1时，方程f(x)g(x)有两个不同的解a，1（3）对条件的转化是本题难点，本题从函数值域包含关系出发. 易得函数f(x)在(a，)上是增函数， f(a
3、2)，)从而f(a2)所以f 2(a2)1024，即f(a2)32，也即a(a2)3232因为a0，显然a1满足，而a2时，均不满足所以满足条件的正整数a的取值的集合为1试题解析：解：（1）当a1，x 0，)时，f(x)x3x1，从而f (x)3x21当x1时，f(1)1，f (1)2，所以函数yf(x) (x 0，)的图象在x1处的切线方程为y12(x1)，即2xy30 3分（2）f(x)g(x)即为ax3|xa|x4所以x4ax3|xa|，从而x3(xa)|xa|此方程等价于xa或或 所以当a1时，方程f(x)g(x)有两个不同的解a，1；当1a1时，方程f(x)g(x)有三个不同的解a，
4、1，1；当a1时，方程f(x)g(x)有两个不同的解a，1 9分（3）当a0，x (a，)时，f(x)ax3xa，f (x)3ax210，所以函数f(x)在(a，)上是增函数，且f(x)f(a)a40所以当x a，a2时，f(x) f(a)，f(a2)， ，当x a2，)时，f(x) f(a2)，) 11分因为对任意的x1 a，a2，都存在x2 a2，)，使得f(x1)f(x2)1024，所以 f(a2)，) 13分从而f(a2)所以f 2(a2)1024，即f(a2)32，也即a(a2)3232因为a0，显然a1满足，而a2时，均不满足所以满足条件的正整数a的取值的集合为1 16分考点：利用
5、导数求切线方程，利用导数求函数值域2已知集合=|在定义域内存在实数，使得成立（）函数是否属于集合？说明理由；（）证明：函数；.（）设函数，求实数a的取值范围.【答案】（1）；（2）见解析；（3）【解析】试题分析：（1）假设，则存在，使得成立，而此方程无实数解，所以；（2）构造函数，则，所以在（0，1）上有实数解，因此；（3）因为函数，所以，令,则t0,，由t0得，即a的取值范围是.试题解析：（1）假设，则存在，使得即，而此方程的判别式，方程无实数解，。令，则，又故，在（0，1）上有实数解，也即存在实数，使得成立，。因为函数，所以存在实数，使得=+，=，所以，令,则t0,所以，由t0得，即a的取
6、值范围是.考点：1.零点存在性定理；2.构造函数求解；3.函数的值域3设函数，.（1）当（为自然对数的底数）时，求的极小值；（2）讨论函数零点的个数.【答案】（1）极小值；（2）当时，无零点，当或时，有且仅有个零点，当时，有两个零点.【解析】试题分析：（1）要求的极小值，可以通过判断其单调性从而求得其极小值，对求导，可知，再通过列表即可得当时，取得极小值；（2）令，可得，因此要判断函数的零点个数，可通过画出函数的草图来判断，同样可以通过求导判断函数的单调性来画出函数图象的草图：，通过列表可得到的单调性，作出的图象，进而可得当时，无零点，当或时，有且仅有个零点，当时，有两个零点.试题解析：（1）
7、当时，其定义域为，1分，2分令，3分极小值故当时，取得极小值； 6分（2），其定义域为， 7分令，得，8分设，其定义域为.则的零点为与的交点， 9分，极大值故当时，取得最大值，11分作出的图象，可得当时，无零点， 12分当或时，有且仅有个零点，13分当时，有两个零点. 14分. 考点：导数的运用.4已知函数，在点处的切线方程为（I）求函数的解析式；（II）若对于区间上任意两个自变量的值，都有，求实数的最小值；（III）若过点，可作曲线的三条切线，求实数的取值范围【答案】（1）;（2）4;（3）.【解析】试题分析：（1）由题意，利用导函数的几何含义及切点的实质知:,可建立a，b的方程，然后求解即
8、可；（2）由题意，对于定义域内任意自变量都使得|f（x1）-f（x2）|c，通过分离参数,可以转化为求函数在定义域下的最值即可得解；（3）由题意，若过点M（2，m）（m2）可作曲线的三条切线，等价与函数在切点处导函数值等于切线的斜率这一方程有3解,求参数m的取值范围试题解析：（1） 根据题意，得 即解得 （2）令，解得，时，则对于区间-2，2上任意两个自变量的值，都有 所以所以的最小值为4（）设切点为， 切线的斜率为则 即，因为过点，可作曲线的三条切线所以方程有三个不同的实数解 即函数有三个不同的零点，则令0（0，2）2（2，+）+0-0+极大值极小值 即， 考点：1导数的几何意义；2利用导数
9、研究函数的极值；3利用导数研究曲线上某点的切线方程5已知二次函数的导函数的图像与直线平行，且在处取得极小值设(1)若曲线上的点到点的距离的最小值为，求的值；(2)如何取值时，函数存在零点，并求出零点. 【答案】（1）或；（2）当时, 函数有一零点；当()，或（）时，函数有两个零点；当时，函数有一零点.【解析】试题分析：（1）先根据二次函数的顶点式设出函数g（x）的解析式，然后对其进行求导，根据g（x）的导函数的图象与直线y=2x平行求出a的值，进而可确定函数g（x）、f（x）的解析式，然后设出点P的坐标，根据两点间的距离公式表示出|PQ|，再由基本不等式表示其最小值即可（2）先根据（1）的内容
10、得到函数y=f（x）-kx的解析式，即（1-k）x2+2x+m=0，然后先对二次项的系数等于0进行讨论，再当二次项的系数不等于0时，即为二次方程时根据方程的判别式进行讨论即可得到答案试题解析：（1）依题可设 ()，则；又的图像与直线平行 ， ， 设，则 当且仅当时，取得最小值，即取得最小值当时， 解得 当时， 解得（2）由()，得 当时，方程有一解，函数有一零点；当时，方程有二解，若，函数有两个零点，即；若，函数有两个零点，即；当时，方程有一解, , 函数有一零点 综上，当时, 函数有一零点；当()，或（）时，函数有两个零点；当时，函数有一零点.考点：导数的几何意义；利用导数研究函数的极值；函
11、数零点与方程根的关系6设函数，曲线在点（1，处的切线为. （）求；（）证明：.【答案】（）a=1，b=2；（）祥见解析【解析】试题分析：（）由曲线在点（1，处的切线为可知 ，求出函数的导函数，可得到关于a，b的一个二元方程组，解之即可得到a，b的值；（）由（）得，从而等价于；在分别利用导数求函数的最小值，和函数的最大值；从而就可证明不等式成立，即成立试题解析：（）由已知得:函数的定义域为，；由题意可得，即故有a=1，b=2；（）由（）知，从而等价于；设函数则；所以当时，0；当时， 0故在上单调递减，在上单调递增，从而在（0，+）上的最小值为.设函数，则；所以当时；当时，故在上单调递增，在上单调
12、递减，从而在（0，+）上的最大值为综上得：当时，恒有，即考点：导数的几何意义；利用导数证明不等式7如图有两条相交直线成角的直路交点是甲、乙两人分别在上，甲的起始位置距离点乙的起始位置距离点后来甲沿的方向乙沿的方向两人同时以的速度步行（1）求甲乙在起始位置时两人之间的距离；（2）设后甲乙两人的距离为写出的表达式；当为何值时甲乙两人的距离最短并求出此时两人的最短距离【答案】 【解析】试题分析：（1）由余弦定理得：，所以甲乙在起始位置时两人之间的距离为（2）当时，因此当时，两人的最短距离为2km. 当时，因此当时，两人的最短距离为4km. 综上，当时，两人的最短距离为2km.试题解析：（1）由余弦定
13、理得：，所以甲乙在起始位置时两人之间的距离为（2）当时，因此当时，两人的最短距离为2km. 当时，因此当时，两人的最短距离为4km. 综上，当时，两人的最短距离为2km.考点：余弦定理8已知函数f（x）x（xa）lnx，其中a为常数.（1）求f（x）的单调区间；（2）问过坐标原点可以作几条直线与曲线yf（x）相切？并说明理由；（3）若在区间（0，1）内是单调函数，求a的取值范围.【答案】（1）在区间内单调递减，在内单调递增；（2）一条；（3）【解析】试题分析：（1）利用导函数确定单调区间；（2）设出切线方程，根据切线过原点求出切线条数；（3）g（x）在（0，1）内单调，则g（x）在（0,1）内
14、大于0或者小于0恒成立，由此求a的范围.试题解析：（1）由得，（舍去）.所以f（x）在区间内单调递减，在内单调递增.（3分）（2）设切点，则切线方程为.因为过原点，所以，化简得（）.设，则，所以在区间内单调递增.又，故方程（）有唯一实根，从而满足条件的切线只有一条.（8分）（3）.设，则，显然在区间（0，1）内单调递减.当时，从而在（0，1）内恒成立，即在（0，1）内单调递增.注意到，所以即在（0，1）内恒成立.于是在区间（0，1）内单调递减，符合题意.当时，从而，使得在 内恒成立，在内恒成立.即在内单调递增，在内单调递减.又，所以，又，所以存在，使得即在内恒成立，即在内恒成立.因此在区间（0
15、，1）内既有递减区间，也有递增区间，不符合题意.综上可知，实数的取值范围是.（14分）考点：函数的导数，导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性，不等式恒成立问题.9已知函数满足，且当时，.（1）证明：函数是周期函数；（2）若，求的值.【答案】(1)证明略；（2）.【解析】试题分析：（1）对应函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有，那么为这个函数的周期；（2）函数在定义域上满足，则的周期为的周期函数；（3）进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序，需注意下列问题：一是对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂来表
16、示，二是应用平方差、完全平方公式及简化运算.试题解析：（1），又，函数是以4为周期的周期函数； 6分（2）由（1）可知，从而，又， 12分考点：函数的周期性；（2）指数幂的运算.10已知函数的减区间是（-2，2）（1）试求m,n的值；（2）求过点且与曲线相切的切线方程；（3）过点A(1,t)，是否存在与曲线相切的3条切线，若存在，求实数t的取值范围；若不存在，请说明理由【答案】m=1，n=0; 或;存在, .【解析】试题分析：（1）由已知函数单调减区间为(-2,2)即为的解集为(-2,2)，利用根与系数的关系求出m与n的值即可；（2）当A为切点时，利用导数的几何意义求出x=1处的切线的斜率，利
17、用点斜式求出切线方程，化成一般式即可，当A不为切点时，设切点为P（x0，），这时切线的斜率是k=，将点A（1，-11）代入得到关于x0的方程，即可求出切点坐标，最后求出切线方程；（3）存在满足条件的三条切线设点P（x0，）是曲线f（x）=x3-12x的切点，写出在P点处的切线的方程为y-=（x-x0）将点A（1，t）代入，将t分离出来，根据有三条切线，所以方程应有3个实根，设g（x）=2x3-3x2+t+12，只要使曲线有3个零点即可建立不等关系解之即可试题解析：由题意知：的解集为（-2，2），所以，-2和2为方程3mx2+4nx-12=0的根，由韦达定理知，解得:m=1，n=0. ，当A为切
18、点时，切线的斜率 ，切线为，即； 当A不为切点时，设切点为，这时切线的斜率是，切线方程为，即 因为过点A（1，-11）， ， 或，而为A点，即另一个切点为， ，切线方程为 ，即 所以，过点的切线为或. 存在满足条件的三条切线. 设点是曲线的切点，则在P点处的切线的方程为 即因为其过点A（1，t），所以， 由于有三条切线，所以方程应有3个实根， 设，只要使曲线有3个零点即可设 =0， 分别为的极值点，当时，在和 上单增，当时，在上单减，所以，为极大值点，为极小值点.所以要使曲线与x轴有3个交点，当且仅当即，解得：.考点：1.导数研究函数的单调性;2.导数研究曲线上某点切线方程.11已知函数，其中
19、，为自然对数的底数.（1）设是函数的导函数，求函数在区间上的最小值；（2）若，函数在区间内有零点，求的取值范围。【答案】（1）当时，g(x)在0，1上的最小值是1b；当时，g(x)在0，1上的最小值是g(ln(2a)2a2aln(2a)b;当时，g(x)在0，1上的最小值是e2ab.（2）(e2，1).【解析】试题分析：（1）先求出的导函数即为的解析式，再求出的导函数，研究的值在0,1上的正负变化情况，得出的单调性，根据单调性求出在0,1上的最小值，因导数函数参数，故需要分类讨论；（2）设函数在区间内有零点，利用=0，判定出在0,1间的单调性，从而得出在0,1间的正负变化情况，得出在0,1上零
20、点的个数，结合（1）的结论，得出在零点所在区间的端点的正负，列出关于的不等式，求出的范围.试题解析：（1）由，有所以因此，当x0，1时，当时，所以g(x)在0，1上单调递增因此g(x)在0，1上的最小值是g(0)1b当时，所以g(x)在0，1上单调递减因此g(x)在0，1上的最小值是g(1)e2ab当时，令g(x)0，得xln(2a)(0，1)所以函数g(x)在区间0，ln(2a)上单调递减，在区间ln(2a)，1上单调递增于是，g(x)在0，1上的最小值是g(ln(2a)2a2aln(2a)b综上所述，当时，g(x)在0，1上的最小值是1b；当时，g(x)在0，1上的最小值是g(ln(2a)
21、2a2aln(2a)b;当时，g(x)在0，1上的最小值是e2ab.（2）设x0为f(x)在区间(0，1)内的一个零点，则由f(0)f(x0)0可知f(x)在区间(0，x0)上不可能单调递增，也不可能单调递减，则g(x)不可能恒为正，也不可能恒为负.故g(x)在区间(0，x0)内存在零点，同理，g(x)在区间(x0，1)内存在零点所以，g(x)在区间(0，1)内至少有两个零点由（1）可知，当时，g(x)在0，1上单调递增，故g(x)在(0，1)内至多有一个零点，当时，g(x)在0，1上单调递减，故g(x)在(0，1)内至多有一个零点，所以，此时，g(x)在区间0，ln(2a)上单调递减，在ln
22、(2a)，1上单调递增因此，x1(0，ln(2a)，x2(ln(2a)，1)，必有g(0)1b0，g(1)e2ab0由f(1)0有abe12有g(0)1bae20，g(1)e2ab1a0解得e2a1当e2a1时，g(x)在区间0，1内有最小值g(ln(2a)，若g(ln(2a)0，则g(x)0(x0，1)从而f(x)在区间0，1上单调递增，这与f(0)f(1)0矛盾，所以g(ln(2a)0又g(0)ae20，g(1)1a0故此时g(x)在(0，ln(2a)和(ln(2a)，1)内各有一个零点x1和x2，由此可知，f(x)在0，x1上单调递增，在x1，x2上单调递减，在x2，1上单调递增.所以f
23、(x1)f(0)0，f(x2)f(0)0故f(x)在(x1，x2)内有零点综上所述，a的取值范围是(e2，1).考点：导数的运算,导数在研究函数中的应用，函数的零点，推理论证能力，运算求解能力，创新意识，12已知函数 (R)(1)当时，求函数的极值；（2）若函数的图象与轴有且只有一个交点，求的取值范围【答案】（1）当时, 取得极大值为;当时, 取得极小值为. （2）a的取值范围是 【解析】试题分析：（1）遵循“求导数，求驻点，讨论驻点两侧导数值符号，确定极值”.（2）根据 = ，得到= = . 据此讨论： 若a1，则0， 此时0在R上恒成立，f（x）在R上单调递增 . 计算f（0），,得到结论
24、. 若a1，则0，= 0有两个不相等的实数根，不妨设为有 给出当变化时，的取值情况表.根据f（x1）f（x2）0, 解得a作出结论.试题解析： （1）当时，. 令=0, 得 . 2分当时, 则在上单调递增;当时, 则在上单调递减;当时, 在上单调递增. 4分 当时, 取得极大值为;当时, 取得极小值为. 6分 （2） = ，= = . 若a1，则0， 7分0在R上恒成立， f（x）在R上单调递增 .f（0），,当a1时，函数f（x）的图象与x轴有且只有一个交点 9分 若a1，则0，= 0有两个不相等的实数根，不妨设为 当变化时，的取值情况如下表：xx1（x1，x2）x2+00+f（x）极大值极
25、小值 11分,.=.同理.令f（x1）f（x2）0, 解得a而当时, 13分故当时, 函数f（x）的图象与x轴有且只有一个交点.综上所述，a的取值范围是 14分考点：应用导数研究函数的极值、单调性及函数的图象，分类讨论思想.13已知函数，（1）若的最小值为2，求值；（2）设函数有零点，求的最小值.【答案】（1）1；（2）.【解析】试题分析：（1）本小题可利用对勾函数（a0,b0）的性质：当时，在x=时，取最小值完成求值；（2）本小题等价于方程 有实根时求的最小值问题，令，问题可化为方程（）有实根问题.试题解析：（1）因为函数为对勾函数，而为偶函数，所以只需把问题转化为考虑时，有最小值为2，求值
26、问题，令，可得，代入中，有，得.（2）等价于方程 有实根，x=0显然不是根令, x为实数，则，同时有：，方程两边同时除以,得：，即，此方程有根，令 ，有根则= -4(b-2) 0，若根都在(-2,2),则有=2-2a+b0, =2+2a+b0, 即, 也可表为，故有的根的范围是： , 即，故，当b=时，a=时, 取得最小值.（另解：由于，则，从而，令，从而，从而.当且仅当取等号.故的最小值为.考点：对勾函数性质，函数的零点，一元二次方程根的分布问题.14已知函数f（x）=x3+x2+ax+b,g（x）=x3+x2+ 1nx+b，（a，b为常数）（1）若g（x）在x=l处的切线方程为y=kx5（
27、k为常数），求b的值；（2）设函数f（x）的导函数为f（x），若存在唯一的实数x0，使得f（x0）=x0与f（x0）=0同时成立，求实数b的取值范围；（3）令F（x）=f（x）g（x），若函数F（x）存在极值，且所有极值之和大于5+1n2，求a的取值范围【答案】（1）；（2）；（3）【解析】试题分析：（1）根据导数的几何意义，先求 ,利用,然后将代入，求出,此点也在函数f(x)上，代入，即可求出;（2）根据,消去,得到关于的三次方程，此方程有唯一解，令，求出,利用导数求出极值点，以及两侧的单调性，从而分析图像，得到的取值范围；（3），因为存在极值，所以在上有根即方程在上有根得到根与系数的关系，代入极值,得到的取值范围.试题解析：（1） 所以直线的，当时，将（1，6）代入，得 4分（2），由题意知消去，得有唯一解令，则， 6分所以在区间上是增函数，在上是减函数，又，故实数的取值范围是 9分（3）因为存在极值，所以在上有根即方程在上有根 10分记方程的两根为由韦达定理，所以方程的根必为两不等正根 12分 所以满足方程判别式大于零故所求取值范围为 14分考点：1.导数的几何意义；2.利用导数求函数极值，单调性；3.导数解决函数的综合问题.第29页 共32页 第30页 共32页