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1、名校名 推荐2019 届北师大版（文科数学）导数及其应用(5)单元测试一、选择题1(选修 1-1 P110A 组 T 2(2)改编 )曲线 f(x) exln x 在 x1 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 ()A eC4ex解析： 选 B. f(x)exln x e ex(ln x1)，xx所以 f(1)e， f(1) 0，所以曲线 f(x) exln x 在 x 1 处的切线方程为得 x 1.所以切线与坐标轴围成的三角形面积为eB 2D 2ey e(x 1)，令 x 0，得 y e，令 y 0，S1e 1 e，故选 B.222 (选修 1-1P104 A 组 T 2 改编 )将一边长为
2、4 的正方形铁片四角截去大小相同的四个小正方形后，做成一个无盖方盒，则方盒的最大容积为()128A 4B. 27C6D 8V(x) x(4 2x)2 4x3 16x2解析：选 B.设截去的小正方形的边长为x，则做成的方盒体积16x(0 x0 3时， 0x23；2V(x)0 时， 3x2 ，所以 V(x)在 0， 23 上是增函数 ，在 23， 2 上是减函数 ，2 128所以 V(x)max V 3 27 .选 B.3 (选修 1-1P99 B 组 (3)改编 ) 已知 e 是自然对数的底数，若函数xf( x) e x a 的图象始终在 x 轴的上方，则实数 a 的取值范围为 ()A 2， 2
3、B (， 2)(2 ， )C( 1， )D (， 2 2， )解析： 选 C.因为函数 f(x)ex xa 的图象始终在 x 轴的上方 ，所以 f(x) ex x a 的最小值大于零由f(x) ex 1 0，得 x 0，当 x ( ， 0)时，f(x)0 ，f( x)单调递增所以f(x) ex x a 的最小值为 f(0) 1a，由 1a0，得实数 a 的取值范围为 ( 1， )4(选修 1-1 P99 A 组 T6(2) 改编 ) 已知函数 f(x) x3 3x2 9x 1，若 f(x)在区间 k，2上的最大值为 28，则 ()1名校名 推荐A k 3B k 3Ck 3D k 3解析： 选
4、C. 由题意知 f(x) 3x2 6x 9，令 f(x)0，解得 x1 或 x 3，所以 f(x)，f(x)随 x 的变化情况如下表：x( ， 3)3( 3， 1)1(1， )f(x)00f(x)极大值极小值又 f( 3) 28， f(1) 4， f(2) 3， f(x)在区间 k， 2上的最大值为28，所以 k 3.故选 C.二、填空题15 (选修 1-1 P99 B 组 (4)改编 )已知 f(x)是奇函数，当 x(0 ，2)时， f(x) ln x ax(a2) ，当 x ( 2， 0)时， f(x)的最小值为1，则 a 的值为 _1解析： 因为 f(x)是奇函数 ，所以 f(x)在 (
5、0，2)上的最大值为1，当 x (0，2)时，f(x) x1，又 a1111a，令 f(x) 0，得 x，所以00 ，得 x，所以 f(x)在 (0， )上单调a2aaa111递增；令 f(x)，所以 f(x)在( ， 2)上单调递减所以当x (0， 2)时， f( x)max f( )aaa111 0，所以 a1.ln a 1，所以 lnaaa答案： 16 (选修 1-1 P98 练习 (2)改编 )设函数 f(x) kx3 3x1(x R )，若对于任意 x 1， 1，都有 f( x) 0 成立，则实数k 的值为 _解析： 若 x 0，则不论 k 取何值 ， f(x) 0 都成立；当 x
6、0，即 x (0， 1时，3 3x1 0可化为 k31f(x) kxx2 x3.3 13（ 12x）设 g(x) x2 x3，则 g(x)x4，所以 g(x)在区间 0，1 上单调递增 ，21在区间， 1 上单调递减 ，1因此 g(x)max g 2 4，从而 k 4；当 x 0，即 x 1，0)时，331f(x) kx 3x1 0 可化为 k x2 x3，31g(x) x2 x3在区间 1，0) 上单调递增 ，因此 g(x)min g( 1) 4，从而 k 4，综上 k4.答案： 4三、解答题2名校名 推荐7 (选修 1-1 P99B 组 (4)改编 )已知函数f(x) ln x x.(1)
7、判断函数f(x)的单调性；(2)函数 g(x) f(x) x1 m 有两个零点 x1， x2，且 x11.2x解： (1)由题意得 ，函数 f(x)的定义域为 (0， ) f(x) 1 11 x1 x，由 f(x)x0，得 0x1；xx1x由 f(x)x1.所以函数 f(x)的单调递增区间为(0， 1)，函数 f(x)的单调递减区间为(1， ) 1(2)证明： 根据题意得 ，g(x) ln x2x m( x0) ，1因为 x1， x2 是函数 g(x) ln xm 的两个零点 ，所以 ln x1 1 m 0， ln x2 1 m 0.2x12x2x111两式相减 ，可得 ln，1x1 x2x1
8、 x2即 lnx，故 x.x22x2x11x22lnx1x2x11x2所以 x1x2， x21 x1x1.x12ln x22ln x2x1令 t，其中 0t1，11则 x1 x2 t 1 1 t t t . 2ln t 2ln t 2ln t构造函数 h(t) t 1t2ln t(0t1) ，（ t 1）2则 h(t)t2.因为 0t0 恒成立 ，故 h(t)h(1)，即 t 12ln t0. 又因为 ln t1，故 x1 x2 1.8 (选修 1-1 P99B 组 (1)(3) 改编 )设函数 f(x) ex asin x b.(1)当 a 1， x 0， )时， f(x) 0 恒成立，求b
9、 的范围；(2)若 f(x)在 x0 处的切线为x y 1 0，求 a、b 的值并证明当x (0， )时，f(x)lnx.解： (1)由 f(x) ex asin x b，3名校名 推荐当 a1 时，得 f(x)ex cos x.当 x 0， )时， ex 1， cos x 1，1，且当 cos x 1 时， x 2k ， kN ，此时 ex1.所以 f (x) ex cos x0，即 f(x)在 0， )上单调递增 ，所以 f(x)min f(0) 1 b，由f(x) 0 恒成立 ，得 1b 0，所以 b 1.(2)由 f(x) exasin x b 得f(x) ex acos x，且 f(
10、0) 1 b.由题意得 f(0) e0 a 1，所以 a0.又 (0， 1 b) 在切线 x y 1 0 上所以 0 1 b1 0.所以 b 2.所以 f(x) ex 2.先证 ex 2x1，即 ex x 10(x0)，令 g(x) exx 1(x0) ，则 g(x) ex 10，所以 g(x)在 (0， )上是增函数所以 g(x)g(0) 0，即 ex2x 1.再证 x1 ln x，即 x1 ln x 0(x0) ，令 (x) x 1 ln x，则 (x) 1 1xxx 1，(x)0 时， x 1， (x)0 时， x1， (x)0 时， 0xln x，即 f(x)ln x 在(0 ， )上成立4